Fiche 1 : le rectangle. (définition , propriétés ,…)

Fiche 2 : Comment reconnaître qu’un quadrilatère est rectangle ?

Le rectangle

Définition : On appelle  « rectangle » tout parallélogramme ayant un angle « droit ».

Puisqu’un rectangle est d’abord un parallélogramme , alors il possède toutes les propriétés du parallélogramme.

Il en possède d’autres ( étudiées en 6^ème  et  5^ème  ).

Nous allons les récapituler ci-dessous.

Propriété 28 :

Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont  perpendiculaires .

Ce qui revient à dire : ses 4 angles sont des angles droits.

Propriété 29 :

Si un quadrilatère est un rectangle alors il possède deux axes de symétrie qui sont les médiatrices  des côtés opposés.

Activité : Tracez ces axes sur la figure ci-dessus.

Propriété 30 :

Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales se coupent en leur milieu .

Activité 1 :

Considérons le rectangle « ABCD » ci-contre.

Puisque tout rectangle est un parallélogramme  , alors grâce à la propriété n°8 , ses diagonales se coupent en leur milieu .

Soit « O »  ce point .

D’après la propriété « 30 » ,

  les diagonales ont même mesure donc «  OA = OB = OC = OD ».

Donc  les 4 points « A » , « B », « C » , « D » sont situés sur le cercle de centre  « O ».

Activité : Tracez ce cercle sur la figure.

Théorème 4 .

Si un quadrilatère est un rectangle , alors ses sommets sont situés sur un cercle.

Le centre de ce cercle est le centre du rectangle.

On dit que le rectangle  est inscrit dans le cercle.

Le cercle est appelé « cercle circonscrit »  au rectangle.

Activité n° 2  …

Dites  en l’expliquant si la réciproque de ce théorème est vraie.

Illustrez votre réponse en complétant le dessin ci-contre.

Activité n° 3

« EFG » est un triangle rectangle en « F ».

« H » , « I » ,  «J » sont les milieux respectifs de  [  FG ]  ,  [GE ] ,  [EF].

Démontrez que « FHIJ » est un rectangle .

Activité n° 4

« KLM » est un triangle rectangle en « L ».

« N » est un point de [ KM ]

On trace par « N » la parallèle à ( LM ) qui coupe ( L K ) en « P ».

On trace par « N » la parallèle à ( LK ) qui coupe ( L M ) en « R ».

Démontrez que «  LN = PR ».

Fiche 2 : Comment reconnaître qu’un quadrilatère est rectangle ?

La première façon de reconnaître un rectangle c’est partir de sa définition.

Mais voici une autre façon que vous avez étudiez dans les niveaux précédents :

Propriété 29 :

Si un quadrilatère a ses côtés consécutifs perpendiculaires alors ce quadrilatère est un rectangle.

On peut dire aussi   que  «si un quadrilatère a 3 angles droits alors c’est un rectangle ».

(vous pouvez expliquer pourquoi (verbalement) il suffit de trois angles droits.) 

Activité n°1

« ABCD » est un parallélogramme de centre « O ».

Ses diagonales [ AC ]  et [ BD ]  ont même longueur.

Nous devons prouver que « ABCD » est un ..rectangle..

Hypothèse

-         ………….

-        ……………………………………………..

Conclusion :

Démonstration :

Puisque « ABCD » est un parallélogramme, alors grâce à la propriété n°8 : « O » est le milieu de [ AC ]   et de  [ BD ].

Et comme par hypothèse , « AC = BD »  alors  «  OA  = OB  =  OC  = OD » .

Donc , par définition , « AOB » et « BOC » sont des triangles  isocèles.

Donc , d’après la propriété « 24 » ,   =      et     =      .

Dans le triangle « ABC », la somme des angles est égale à   180°   ( propriété 6)

Donc : ,   +      +     +      =  360° .

En  tenant compte des deux égalités précédentes , on peut écrire :

2       +   2      =    …360..° or , ,   +    =       donc    =  90°

Et comme par hypothèse , « ABCD » est un parallélogramme , alors grâce  à la …………………………………………………, « ABCD » est un ……………………………………..

Théorème 5 :

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors ce parallélogramme est un rectangle.

Autre façon :

Si dans un quadrilatère les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un rectangle.

Activité n°2

[ EF]  et [ GH ]  sont deux diamètre du cercle .

Démontrez que  « EGFH » est un rectangle.

Activité n°3

 « ABCD » est parallélogramme.

-        La bissectrice de    coupe la bissectrice de   en « E » et la bissectrice de   en « H ».

-        La bissectrice de    coupe la bissectrice de   en « F » et la bissectrice de   en « G».

1°) Démontrez que  est droit.

2°) Démontrez que « EFGH » est un rectangle.

Fait le 9 oct.2014

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

Quelles sont les caractéristiques ( propriétés ) du rectangle   ?

EVALUATION

Tracer :

INTERDISCIPLINARITE