Fiche 1 :  Le quadrilatère.

Fiche 2 :  Le parallélogramme.

Fiche 3 : Le quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Fiche 4 : Quadrilatère dont le point d’intersection des diagonales est centre de symétrie.

Fiche 5 : Quadrilatère dont les côtés opposés ont  même longueur

Fiche 6 : Quadrilatère ayant deux côtés parallèles de même longueur.

Fiche 7 : Constructions de parallélogrammes

Fiche 8 : Quadrilatère convexe dont les angles sont supplémentaires ou égaux.

Fiche 9 : Récapitulatif des propriétés des différents quadrilatères

Activités : Fiche 10  construction d’un carré

Fiche 1 : Le quadrilatère.

·       « A »,  « B »,  « C », « D » sont quatre points distincts .

Ci-dessous on vous a représenté 3 dessins identiques  comportant ces quatre points dans la même position.

Dans les trois cas , joignez par des segments les points dans l’ordre indiqué.

( n’oubliez pas de joindre le dernier point au premier…)

Figure  1 :

« ABDC »  

Figure  2 :

 « ABCD »

Figure  3 :

 « ACBD »

Vous constatez que vous n’obtenez pas la même figure dans les trois cas. :

La figure « 2 »  : représente un « quadrilatère convexe ».

La figure « 1 » et « 3 » : représentent  chacune un « quadrilatère croisé ».

·       Sans changer la disposition des points , mais en changeant l’ ordre, pensez-vous qu’il soit possible d’obtenir d’autre figures ? ………………………

·       L’ordre des points étant donné, il n’y a qu’une possibilité de figure. 

                             Par contre, la figure, on pour la désigner, on opérera  toujours de la façon suivante : le premier point nommé est celui qui se trouve le plus à gauche et le plus haut , ainsi dans l’exemple ci-dessus ,  le point le plus haut à gauche est « A ». ensuite on listera les autres points l’un après l’autre, dans le sens des aiguilles d’une montre… Ici le parallélogramme est « ABCD ».

Fiche 2 :  Le parallélogramme.

On entend souvent  : Si un quadrilatère a ses côtés opposés  parallèles deux à deux c’est un parallélogramme. 

A )  Définition.

Si nous énonçons que :

 Un quadrilatère est un parallélogramme, cela signifie que « ses côtés opposés sont parallèles ».

Cet énoncé peut s’appeler  une définition.

Elle nous donne deux informations :

1°) Dans l’ensemble des quadrilatères  ceux qui ont leurs côtés opposés parallèles sont appelés « parallélogrammes ».

2°) Si on sait qu’un quadrilatère est un parallélogramme, alors on peut affirmer que ses côtés opposés sont parallèles.

·       Le parallélogramme possède d’autres propriétés :

Nous allons vous les rappeler  ci-dessous ( vous les avez rencontrées  dans les fiches précédentes )

Auparavant , remarquez que tout parallélogramme est nécessairement  « convexe » et qu’on le nomme comme il l’est dit dans la fiche 1 .

B ) Propriétés L5)

Dans tout parallélogramme :

-        Les diagonales se coupent en leur ……………….……..

Voir : Cours p5 le parallélogramme –fiche 2

-        Les côtés opposés ont même ………………..……

Voir : Cours p5 le parallélogramme –fiche 2

-        Le centre est centre de …………………..….pour ce parallélogramme

Voir Cours p5 ..symétrie centrale..

-        Les angles opposés sont …………………………

Voir cours p5  les angles- fiche 9

-        Les angles consécutifs sont ………………..……

Voir cours p5  les angles- fiche 9

C ) Posons la question suivante :

Si un quadrilatère possède une de ces propriétés , est-il un parallélogramme ?

C’est ce que nous allons étudier dans les fiches suivantes.

Fiche 3 : Le quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Ci-contre on vous donnes deux droites « xx’ »  et « yy’ » qui se coupent en « O ».

A l’aide de votre compas , que vous piquez en  « O », placez sur « xx’ » deux points « A » et « C » tels que « O » soit le milieu de [ AC ] .

Changez l’écartement de votre compas et placez sur « yy’ » deux points « B » et « D » tels que « O » soit le milieu de [ BD].

Tracez les côtés du quadrilatère  « ABCD ».

Apparemment « ABCD » est-il un parallélogramme ?...............

C’est ce que nous allons prouver par un raisonnement.

Considérons la symétrie de centre « O ».

Puisque « O » est le milieu de [ AC ] , alors « A » a pour  symétrique  …. « …….. »..

Puisque « O » est le milieu de [ BD ] , alors « B » a pour  symétrique  …. « ……… ».

Donc la droite  ( AB ) a pour symétrique la droite ……………….

Or vous savez que dans toute symétrie centrale , si deux droites sont symétriques alors elles sont ………………………

Donc ( AB )  et ( CD ) sont ……………….…..

Ayant ses côtés opposés parallèles ,alors par définition , «  ABCD » est un …………………………..

A retenir :

Tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un  ……………………….. …..

Activité n°……..

« EFGH » et « EKGL » sont deux parallélogramme qui ont la même diagonale [ E G ].

Nous allons prouver que « KFLH » est un parallélogramme.

______________________________________________

Appelons « M »  le milieu de [ EG ].

Puisque « EFGH » est un parallélogramme alors « M » est aussi le milieu de ……………. ………

Puisque « EKGL » est un parallélogramme alors « M » est aussi le milieu de ………………….…….

Donc ………… ……….et …………….... ont le même milieu.

 Puisque « HKFL » a ses diagonales qui se coupent en leur milieu , alors «  HKFL »  est un ……………………..…

Fiche 4 : Quadrilatère dont le point d’intersection des diagonales est centre de symétrie.

Ci-contre , on vous donne un quadrilatère « A BCD»  dont les diagonales se coupent en « O »et tel que « O » soit le centre de symétrie.

Prouvons que « ABCD » est un « ………………………… ».

Réponse :

Puisque « O » est centre de symétrie, alors « O » est le milieu de [ AC ]  et « O » est milieu de [ BD].

Onc les diagonales du quadrilatère « ABCD » se coupent ………………………….

Donc « ABCD » est un  ………………..………..

A retenir :

Tout quadrilatère ayant pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales est   un ………………………….

Fiche 5 : Quadrilatère dont les côtés opposés ont  même longueur

Il est possible de prouver par un raisonnement que :

Tout quadrilatère ayant ses côtés opposés de même longueur est :

soit un quadrilatère croisé.

soit un parallélogramme.

A retenir :

Tout quadrilatère « convexe » ayant ses côtés opposés de même longueur est un ……………………………..

Activité n°….

En utilisant la règle et le compas , ( ne prenez pas d’équerre pour tracer les parallèles), vous allez construire les parallélogrammes  « EFGH »   et  « ABCD ».

Parallélogramme  « EFGH ».

Parallélogramme  « ABCD ».

On donne le côté  [ H G ] .

HE = 28 mm et      = 53 °

On donne la diagonale  [ DB ]

Et    DA = 25 mm   ; BA =  45 mm

Activité n°2 ..

Toujours en utilisant le compas (sans utiliser d’équerre pour tracer les parallèles ) ,

Vous allez construire le parallélogramme  « MNPR » dont on donne le point « N » et le côté [ RP ]

Activité n°3 ..

En vous inspirant de la construction précédente , (c'est-à-dire en utilisant le compas mais pas l’équerre ) , par le point « O » , vous allez tracer la parallèle à la droite « d ».

Fiche 6 : Quadrilatère ayant deux côtés parallèles de même longueur.

Par abus , on dit  « côtés parallèles »  au lieu de « côtés dont les supports sont parallèles ».

« ABCD » est un quadrilatère convexe tel que ( AB ) et ( DC ) sont parallèles et   AB = DC .

Nous allons prouver par un raisonnement que « ABCD »   est un …………………………………….…

Appelons « O » le milieu  de [ AC ].[

Considérons la symétrie de centre « O ».

Puisque « O » est le milieu de [ AC ] , alors « A » et « C » sont symétriques.

La droite ( CD ) étant parallèle à la droite  ( A B ) et « ABCD » étant convexe,  les demi- droites  [ AB )   et  [ CD ) sont symétriques.

Et comme AB = CD  , alors « B » a pour symétrique « ……….. ».

Donc « O » est le milieu de    ……………………………….

Le quadrilatère  « ABCD »  a donc ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

Alors, grâce à ce que l’on a établi à la fiche 3 .

On peut dire que « ABCD » est un …………………………...

A retenir .

Tout quadrilatère convexe ayant deux côtés parallèles et de même longueur est un …………………………………

Activité n°……

« EFGH »  est un parallélogramme.

Placez sur [ EF ]  le point « M » tel que

Placez sur [ HG ] le point « N » tel que

Prouvez par un raisonnement que ( EN ) et ( MG ) sont parallèles.

Indication :

Que pouvez-vous dire du quadrilatère « EMGN » ?   …………………………………….……          Prouvez –le……………

Fiche 7 : Constructions de parallélogrammes

Dans les 3 cas ci-dessous  , on donne 3 points  « A » , « B » , « D ».

A vous de déterminer le pont « C » pour que « ABCD » soit un parallélogramme.

Et cela de trois façons différentes ( suivant la propriété utilisée ).

Laissez les constructions apparentes et tracez les côtés du parallélogramme.

1°)  Les diagonales se coupent en leur milieu. Tracez – les .

Utilisez la règle graduée.

2°)  Côtés opposés  parallèles .

Utilisez le compas.

3°) Côtés opposés de même longueur.

Utilisez le compas.

Fiche 8 : Quadrilatère convexe dont les angles sont supplémentaires ou égaux.

Situation A :

Les données sont :

Ci-contre un quadrilatère convexe « ABCD » dont les anges consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Nous allons prouver par un raisonnement que « ABCD » est un ……………………………………………

Désignons par « uv » le support du côté [ AB ] .

 Donc        et       sont ….. …………..………

Or, les angles       et     sont aussi supplémentaires  donc           et       sont ………………………….…..  

Relativement aux droites ( A D ) et ( B C ) et  à  la sécante ( A B ) ,       et       occupent  la position  de ………………………..

Donc, d’après ce qui a été étudié dans la leçon n°…. fiche …….

On peut dire que les droites ( A D ) et ( B C ) sont …………………….

On  prouverait de même que ( A B ) et  ( D C ) sont …………………….

« ABCD »  est , par définition  , un ……………………………………………..

Situation B :

Ci-contre un quadrilatère convexe « EFGH » dont les angles opposés sont égaux deux à deux .

Nous allons montrer et prouver par un raisonnement que « EFGH » est un ……………………………….

Les angles     et     sont égaux . Nous appelons « x » leur  valeur .

Les angles     et     sont égaux . Appelons   « y » leur valeur.

« EFGH » étant un quadrilatère convexe , la somme de ses angles est égale à   …. ……………..……

On peut alors écrire : «  x + y + x + y = 360° »

C'est-à-dire :                «  2 x  + 2 y = 360° »

Ou encore :                  «  2 ( x + y ) = 360° »

Donc :    «  x + y =  360°  2 »      , c'est-à-dire    «  x + y = 180° »

Puisque «  x + y = 180° »  alors   et         sont supplémentaires.

Il en est de même pour      et     ,     et    ,    et    .

Donc, d’après ce qui a été prouvé plus haut , on peut affirmer que « EFGH »  est un …………………………..…….

A retenir :

           Tout quadrilatère convexe dont les angles consécutifs sont supplémentaires ou dont les angles opposés sont égaux  deux à deux est un parallélogramme.

Activité n° :……….

« PRST » est un parallélogramme  tel que   = 56 °.

Tracez la bissectrice de   . Elle coupe ( TS ) en « M ».

Tracez la bissectrice  de   . Elle coupe (PR) en « N » .

Complétez : 

  = ……………………° ;   ……………° ;    = ………..° ;

 =  ………………°   ;   = …………..° ;   = ………….° ;

 = …………………..° ;

Calculez :    et  

Puis prouvez que « PNSM » est un parallélogramme.

Fiche 9 : Récapitulatif des propriétés des différents quadrilatères.

Quadrilatères 

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

       Propriétés

Deux paires de côtés parallèles.

Côtés consécutifs perpendiculaires.

Côtés opposés de même longueur.

Côtés consécutifs  de même longueur.

Diagonales se coupant en leur milieu.

Diagonales de même longueur.

Diagonales perpendiculaires.

Angles consécutifs supplémentaires.

Angles opposés égaux .

Ce tableau une fois rempli faire apparaître des faits déjà connus :

·       Le rectangle possède toutes les propriétés du parallélogramme.  ( il en possède d’autres en plus.). Ce qui est normal car tout rectangle est d’abord un …………………………..

·       De même tout losange est d’abord un …………………………….………….

·       Et tout carré est d’abord  un ..parallélogramme…………….

·       Vous constatez aussi que le carré possède à la fois les propriétés  du ……………….. et du ……………………….……

Ce qui est normal car tout carré est à la fois un  « ……………….. » et un « ………………………….. »………. 

Activités : Fiche 10  construction d’un carré.

Construisez le carré « ABCD » dont on donne la diagonale [ AC ]

Laissez les constructions apparentes.

Oral : justifiez que le quadrilatère obtenu est un bien un carré.