classe de troisième_calcul_tracé _équation de droites ; de la forme y=mx ;linéaire; corrigé

 

Classe de 3ème

 

 

 

 

 

corrigé

Fiche n°1 :   Droite passant par l’origine du repère.  Equation de la forme «  y = mx »

 

 

Info pédagogique : cours niveau V

Ce cours est à maîtriser entièrement par les élèves Bac prof. :

1°) il faut savoir  tracer une droite à partir d’un point  donné et connaissant la  pente de cette droite.

2°) savoir  tracer  la droite  tangente  en un point d’une courbe  et connaissant sa dérivée en ce point.

Pré requis:

Droites et repérage

 

Les repère cartésiens

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Equation de droite .

2°) « Pente »

COURS

APRES :

1°)  Les droites croissante ; décroissante,..

)le parallélisme et la perpendicularité

3°) recherche de l'équation d'une droite .

Complément d’Info :

 

 

 

Classe de 3ème

 

 

TITRE : Fiches sur   LES EQUATIONS DE DROITES dans un repère.

 

 

Fiche n°1 :   Droite passant par l’origine du repère.  Equation de la forme «  y = mx »

 

 

 

 

 

Voir la suite : Droite ne passant pas par l’origine du repère : équation de la forme : y = mx + p  

 

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

Fiche n°1 : Droite passant par l’origine du repère.

 

 

 

 

Rappel :

 

 

 

Etant donné un nombre «  » , on appelle « application linéaire » de coefficient «  » le procédé qui  a tout nombre «  » faire correspondre «  ».

Dire que «   » par cette application linéaire c’est dire que  «   » 

La représentation graphique d’une application linéaire de coefficient « m » est la droite passant par l’origine du repère et le point de coordonnées «  (  ) ».

 

 

 

Exemple : Considérons l’application linéaire de coefficient :    

«  » désignant un nombre quelconque et «  » son image  , .

 

Complétez le tableau ci-dessous :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sur la figure ci-contre placez les 7 points dont les coordonnés sont dans le tableau ci-dessus.

 

Tracez la droite par les points que vous avez placés.

 

Nous  appelons «  » cette droite.

 

On dira que :

 

«  «  » est la représentation graphique  de l’application linéaire »

 

Ce qui signifie que :

equat_droite001

 

 

 

 

 

·       D’après ce que l’on vient de rappeler , on peut dire dans le cas général :

 

 

 

Le théorème suivant :

                                        Dans le plan muni d’un repère, l’ensemble des points dont les coordonnées  (  ) vérifient une relation de la forme « »  ( « » étant un nombre déterminé ) est (a pour forme )  une droite passant par l’origine du repère.

«  » est appelé « coefficient directeur » de la droite.

 

 

 

 

 

 

Inversement :

Dans un plan muni d’un repère,  étant donné une droite quelconque passant par l’origine du repère, existe-t-il toujours une relation de la forme «  y = mx » liant les coordonnées ( x ; y ) de chacun des points de la droite ?

 

 

 

Voir ci-contre ;la figure :

Prenons par exemple la droite « Δ » passant par l’origine et le point  «   ».

 

Cherchons si les coordonnées (  ) des points de « Δ » qui vérifient une relation de la forme « » 

equat_droite002

 

 

On place un point sur « Δ » ( exemple « A » ), on relève ses coordonnées.

 

 Pour le point « A » son abscisse  «  »   et son ordonnée  «   »  sont telles que «  »

( Vérifiez-le )

 

 

 

En effet :

Dans l’équation  « »  on remplace les lettres :  et    ; on obtient l’égalité :   

ou  « » ; en transformant l’égalité on obtient :   ; 

On remplace  la valeur de « m » trouvée dans l’égalité  « » pour obtenir : « »   

 

 

 

Or d’après le théorème précédent , l’ensemble des points du plan , donc les coordonnées ( x ;y ) vérifient l’égalité «  » est une droite passant par l’origine.

 

Puisqu’elle passe aussi par « A » , elle est confondue avec « Δ » , donc tous les points de « Δ » ont des coordonnées ( x ; y) qui vérifient la relation  «  » et sont les seuls à vérifier.

 

L’écriture «  » est appelée  « équation de la droite  « Δ » ».   et   «  »  est le coefficient directeur.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas général :

Info ++@ ….

 

 

 

Ce que l’on vient de faire pour « Δ »  , on peut le faire dans le cas général.

 

A part l’axe des ordonnées pour lequel tous les points ont pour abscisses « 0 », pour toute droite passant par l’origine , il est possible de trouver un nombre « m » tel que les coordonnées ( x ; y )  de tous les points  de la droite vérifient une relation de la forme « »  . On dira alors :

 

 

 

 

 

Définition :

Dans le plan muni d’un repère, on appelle  « équation de droite »  toute relation vérifiée  par les coordonnées  ( x ; y) des points de la droite et par eux seulement.

 

 

 

 

 

 

Théorème :

Dans un plan muni d’un repère , toute droite passant par l’origine du repère ( autre que l’axe des ordonnées ) a une équation de la forme « »  .

 

 

 

 

 

 

Remarque 1 :

«  » est vérifiée par les coordonnées de tous les points de  « Δ » et par eux seulement .

                            Ce qui est vrai pour  «  »   l’est  aussi pour «  » ou   «  » ou  «  »  ou   «  » ; etc. ….On les appelle aussi équations de la droite  « Δ » ; mais il  n’y  a qu’une seule de la forme  « » 

C’est   « »   quand on dit « l’équation d’une droite » on sous-entend « équation de la forme « » ».   

 

 

 

 

 

 

Remarque 2 :

Tous les points de l’axe des ordonnées ont pour abscisse :   0

L’axe des ordonnées a pour équation  « x = 0 » . Il n’a pas d’équation de la forme « »  .

 

Tous les points de l’axe des abscisses ont pour ordonnée :   0

L’axe des abscisses  a pour équation  « y = 0 » . Il n’a pas d’équation de la forme « » ; avec « m = 0 » .

 

 

 

 

 

 

Recherche de l’équation de droites passant par l’origine.

 

 

 

 

 

 

Dans le plan muni d’un repère, déterminons l’équation de la droite passant par l’origine et le point  « A ( 4 ; 5 ) »

 

 

 

 

 

Puisque la droite passe par l’origine ( point  « O (0 ;0)») , son équation est de la forme  «  y = m x »

« A » étant un point de la droite , ses coordonnées  « ( 4 ; 5 ) »  vérifient la relation «  y = m x ».

C'est-à-dire :  «    »  d’ où    :    ; Equation de la droite :   . 

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

Déterminez , comme ci-dessus , l’équation de la droite passant par l’origine et le point « B ( - 7 ; 2 ) ».

 

 

 

 

 

Dessin d’une droite dont on connaît l’équation ( de la forme « y= mx » ) 

Info plus. ++++

 

 

 

 

 

Exemple 1 : Dans le plan muni d’un repère d’origine « O »  (ci-contre). Nous allons dessiner la droite d’équation «  y = - 3 x ».

 

Puisque la droite passe par l’origine, il suffit de connaître un autre de ses points.

 

Par exemple : pour «  x = 1 » ; « y =  -3 » Le point de coordonnés ( 1 ; -3)   est un point de la droite.

 

Placez –le . La droite cherchée passe par ce point et l’origine .

Tracez -  la.

 

 

 

 

 

Exemple 2 :

 

Dessinons la droite d’équation :

 

Pour « x = 1 »  on a   , le point déterminé par les coordonnées ( 1 ; ) n’est pas facile à placer avec précision.

Il est préférable d’en choisir un autre  dont les coordonnées sont des nombres entiers.

Par exemple : «  x = 3 » on trouve « y = 4 » . A vous de terminer..

 

 

 

 

 

Activités :

 

Dans le repère ci-contre , dessinez les droites (d )  ayant pour équations :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

- Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

 

EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

 

 

 

 

 

 


 

corrigé CONTROLE:

 

Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

Procédure :

Equation de la forme « y = m x +p »

On connaît « m » et A ( xA; y A)

On place le point A

On place un point B dont les coordonnées sont

(xA + 1) ; (y A + m )

On trace  la droite ( D) qui passe par les deux points

 

 

corrigé  EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Soit  m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Placer A ;

 coordonnées  x A= -1 ; y A=+2

On place un point B dont les coordonnées sont :

( xA + 1) ; (y A + m )  soit

(-1 + 1) ; (2 + 3 ) ;

soit les coordonnées de  B ( 0 ; 5)

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