Programme de 3ème collège.

3ème Collège.

Pré requis:

 

1°) le premier degré : résolution d'équations types. Et Problèmes  résolus.

 

Résolution d’équations du premier degré à plusieurs termes.

Allez au corrigé…….

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

1°) comment traiter un problème . Sphère metallique

3°)  Résumé .

4°) Autre résumé : exemples.

5°) Résolution de problèmes en 4ème collège.

6°) Résolution de problèmes en 5ème collège.

Objectif suivant :

1°) autres problèmes 

2°) Problèmes d’application .impossible ; indéterminé, inacceptable .

 

)liste des cours

tableau    )Présentation des cours et travaux du premier degré

Fiches :    Résolution de problèmes équations.

 

 

 

 

Fiche 1 : Résolution de problème.

 

 

Fiche 2 : Equations.

 

 

Fiche 3 : Résolution de problèmes – Interprétation de résultats

 

 

Fiche 4 : Situations particulières.

 

 

Fiche 5 : Equation de la forme : «  a x + b = 0 »

 

 

Fiche 6 : Résolution d’équations.

 

 

 

 

 

TEST :           FilesOfficeverte

COURS :                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

  1. Interdisciplinarité

 

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

  1.   Problèmes du premier degré ;                      Filescrosoft Officeverte

 

 

 

 

 

 

 

  1. Autres problèmes ..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Fiche 1 : Résolution de problème.

 

 

 

Situation problème :

Pierre , Léonie, Simon viennent de faire un héritage .

 Voici le testament :

La part de Léonie est égale à 5000 € plus deux fois la part de Pierre.

La part de Simon plus 30 000€ est égale à 4 fois la part de Pierre.

La part de  Léonie est le triple de la part de Simon.

Combien chacun des héritiers doit-il recevoir ?

 

 

 

Pour résoudre ce problème , vous procédez comme vous l’avez fait en 4ème.

 

 

1°) Choix de l’inconnue :  Appelons «  » la part de Pierre.

2°) Mise en équation : C’est la traduction de l’énoncé en langage mathématique.

«  » étant la part de Pierre ,

«  la part de Léonie  ( en € ) est »   :   .

« La part de Simon « plus » 30 000€  est égale à 4 fois la part de Pierre. » : se traduit par :

soit la part de

« La part de  Léonie est le triple de la part de Simon » ce qui se traduit par : .

 

3°) Résolution de l’équation :  (il ne vous reste qu’à résoudre cette équation , comme vu en 4ème )

 

-        La part de Pierre est de  9 500 €.

-        Part de Léonie : 5 000  + 2 ………….  =  5 000  +  …………….  =  ……………..

-        Part de Simon :     4     ………..  - 30 000 = 38 000 – 30 000 =   000 , La part de Simon est de …………..€ ;

-         

 vérification :

 

4°) Réponse a la question du problème :

 

 

Part de Pierre :  ………………

Part de Léonie :  ……………….

Part de Simon : …………………..

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Equations

Info @ ++++++

 

 

 

Activités : Résolvez, comme vous l’avez fait en 4ème , les équations d’inconnue «  » .

 

 

 

Equation 1

 

 

 

Equation  2

 

 

Equation  3

 

 

Equation  4

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Résolution de problèmes – Interprétation de résultats.

 

 

 

Voici quatre problèmes qui se ressemblent par leur énoncé mais qui sont bien différents par la réponse à la question posée.

 

 

 

 

 

Problème 1 :

Un père à 42 ans , son fils à 12 ans . Ils ont leur anniversaire le même jour.

Dans combien d’années, l’âge du fils sera-t-il le tiers de l’âge du père ?

 

 

 

1°) Choix de l’inconnue : appelons «  » le nombre d’années cherché.

 

2°) Mise en équation .  Dans «  » années , l’âge du père sera  , l’âge du fils sera : ………

« l’âge du fils est le tiers de l’âge du père » se traduit par : ..  

 

3°) Résolution de l’équation :                                

 

 

 

 

 

 

4°) Réponse à la question du problème :

Comme « »   ; c’est dans . ………. que l’âge du père aura 3 fois l’âge du fils…  quand  «  » le fils aura «  »

 

 

 

Problème 2 :

Un père à 42 ans , son fils à 12 ans . Ils ont leur anniversaire le même jour.

Dans combien d’années, l’âge du fils sera-t-il le quart  de l’âge du père ?

 

 

 

1°) Choix de l’inconnue : appelons «  » le nombre d’années cherché.

 

2°) Mise en équation .  Dans «  » années , l’âge du père sera  , l’âge du fils sera : ………

« l’âge du fils est le tiers de l’âge du père » se traduit par : ..  

 

3°) Résolution de l’équation :                                

 

 

 

 

 

 

4°) Réponse à la question du problème :

Comme « »   ; c’ était il y a .       ans que l’âge du père avait  4 fois l’âge du fils…  quand  «  » le fils avait «  » .

 

 

 

 

 

 

Problème 3 :

Un père à 42 ans , son fils à 12 ans . Ils ont leur anniversaire le même jour.

Dans combien d’années, l’âge du fils sera-t-il le   de l’âge du père ?

 

 

 

1°) Choix de l’inconnue : appelons «  » le nombre d’années cherché.

 

2°) Mise en équation .  Dans «  » années , l’âge du père sera  , l’âge du fils sera : ………

« l’âge du fils est le tiers de l’âge du père » se traduit par : ..

 

3°) Résolution de l’équation :                                

 

 

 

 

 

 

 

4°) Réponse à la question du problème :

Comme « »   ; c’ était il y a  ……. ans que l’âge du père avait   ….. fois l’âge du fils…  quand  «  » le fils avait «  » . ;   père = . ……. ; fils = ……..       

 

Le problème n’a pas de solution car au bout de . …….. ans , le père et le fils seront « mort » depuis longtemps.

 

 

 

Problème 4 :

Un père à 42 ans , son fils à 12 ans . Ils ont leur anniversaire le même jour.

Dans combien d’années, l’âge du fils sera-t-il le   de l’âge du père ?

 

 

1°) Choix de l’inconnue : appelons «  » le nombre d’années cherché.

 

2°) Mise en équation .  Dans «  » années , l’âge du père sera  , l’âge du fils sera : ………

« l’âge du fils est le tiers de l’âge du père » se traduit par : ..

3°) Résolution de l’équation :  

 

4°) Réponse à la question du problème.

Le nombre trouvé n’est pas  ……………..donc le problème ………………………………………………….

( Il n’est même pas possible de donner un  nombre entier de jours , expliquez pourquoi ) .

                             

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Situations particulières.

 

 

 

Problème 1 :

Paul, Victor et Lison ont leur anniversaire le même jour.

Paul à 14 ans , Victor 17 ans et Lison 25 ans.

Dans combien d’années la somme des âges de Paul et de Lison sera-t-elle égale au double de l’âge de Victor.

 

 

1°) Choix de l’inconnue : Appelons «  » le nombre d’années cherché.

 

2°) Mise en équation. 

-        Dans « x » années , l’âge de Paul  sera …………………………….

-        Dans « x » années , l’âge de Victor  sera …………………………….

-        Dans « x » années , l’âge de Lison  sera …………………………….

« La somme des âges  de Paul et de Lison est le double de l’âge de Victor  se traduit par :

………………….+ ………………...=  2 (……..)

3°) Résolution de l’équation.

 

 

 

 

 

Quel que soit le nombre mis à la place de «  » , «   »

On aboutit alors à l’égalité «   »  , égalité qui est …………………………………………….

Donc cette équation n’a pas de solution.

 

4°) Réponse à la question du problème.

 

 

 

Problème 2 :

 

 

Partant d’un rectangle dont la longueur est le double de la largeur, on augmente la longueur de « 11 m »et la largeur de « 3m ».

On voudrait obtenir un nouveau rectangle dont la longueur surpasse de « 5m » le double de sa largeur.

Quelle doit-être la largeur du rectangle initial ?

 

vecteu_trans_025

 

 

1°) Choix de l’inconnue : appelons «  l » la largeur ( en mètre) du rectangle initial.

 

 

 

2°) Mise en équation :

 

-        Longueur du rectangle initial :……..

-        Largeur du nouveau rectangle. : ……………….

-        Longueur du nouveau rectangle : …………………………………………..

La longueur surpasse de « 5 m » le double de sa largeur » se traduit par : ………………………….= 2 ( ……..) + ……..

 

3°) Résolution de l’équation.

 

 

 

 

Quel que soit le nombre mis à la place de  «  l » ,  «0  l  = 0»  est toujours ……………………………donc tous les nombres sont solutions de l’équation.

 

)Réponse à la question du problème. :

……………………………………………………………………………………………………………..

 


 

 

Fiche 5 : Equation de la forme : «  a x + b = 0 »

Info ++@ :égalité l’on a transposé

 

 

 

 

 

Exemple 1 : Résolvons l’équation de la forme :    d’inconnue  «  ».

 

Ta sais que «  A = B » a la même signification «  A – B = 0 »

L’équation donnée a donc les mêmes solutions que l’équation :    

On dit que l’on a transposé  «   » dans le premier membre .

Transformons l’écriture du premier membre , pour cela :

Développons : ……    devient :  ………

Réduisons les termes semblables : ………………………………

                                  On obtient alors une équation qui a les mêmes solutions que l’équation donnée et qui est de la forme «   »dans laquelle «  »  et  «»   

 

 

 

 

 

 

A  les mêmes solutions que  «   »

On divise les deux membres par   « . …… ».

L’équation a pour solution : 

« a » les mêmes solutions que «   »

Si    , on divise les deux membres par « a ».

L’équation a pour solution unique

 

 

v Que se passe-t-il si «  a = 0 » ?    ( on a déjà étudié ce cas dans la fiche 4)

 

 

 

 

 

Exemple 2 : Résolvez l’équation :               d’inconnue « y ».

Info +++@++

 

 

En transposant :        

En développant :           ; c'est-à-dire         

 

On a alors   …. + 7 = 0   ce qui est faux. Donc l’équation n’a pas de solution.  

 

 

 

Exemple 3 :

Résolvez l’équation :               d’inconnue «  ».

 

 

En transposant on obtient  :               

 

 

En développant on obtient :         c'est-à-dire   

 

 

Quel que soit le nombre mis à la place de « z » ;

 

 

 est toujours vraie. Donc tous les nombres sont solutions de l’équation.

 

On énoncera alors le théorème :

 

 

Théorème :

Etant donné l’équation «   » d’inconnue  «  » , ( «  » et «  » étant des nombres )

-        Si « a » l’équation possède une solution unique :

-        Si «  »

 

 

 

 

 

 

Activité n° ………Exercice :

Vous devez être capable de résoudre instantanément les équations suivantes :

 

 

2     

Solution : ……………………

«  -  5 x  + 4 = 0 »

Solution : ……………………

 

Solution : ……………………

«  - 6v x – 5 = 0 »

Solution : ……………………

 

 

Quelle remarque pouvez-vous faire à propos des signes ?  ( verbalement)

 

 

 

v           Désormais , toutes les fois que c’est possible , après avoir transposé , essayiez de vous ramener à une équation de la forme   :   ( équation du premier degré  à une inconnue) et expliquez le théorème.

 

 

 

 

 

Activité n° ……. :   Résolvez l’équation :   d’ inconnue «  ».

 

 

1° ) Vous transposez : ……………………………………………………………………………

2°)  Vous développez : ………………………………………………………………………………

 3° ) Vous réduisez les termes semblables : ………………………………………………………

4 ° )  L’équation a alors pour solution : ………………………………………………………………..

 


 

 

Fiche 6 : Résolution d’équations.

 

 

 

Exemple 1 : Vous allez  résoudre l’équation :    d’inconnue «  ».

 

En multipliant les deux membres de l’équation par un même nombre, on obtient une équation qui a les mêmes solutions.

Multiplions alors les deux membres par un multiple des dénominateurs.

Pour que le calcul soit le plus simple possible , il est préférable de choisir un multiple commun le plus petit possible . Vous choisissez …… ……………

 

On obtient alors : :   

 

En développant, on obtient :    

 

Et après simplification, on obtient :       , finissez la résolution.

 

L’équation possède la solution unique : …………………………..

 

 

Exemple 2 :

Résolvez l’équation :   d’inconnue «  ».

 

 

 

2  façons peuvent être utilisées : le produit en croix ou passer par le multiple commun des dénominateurs …….

 

 

Le multiple commun des dénominateurs le plus petit possible est :   .. …..

Multipliez les deux membres de l’équation par ce nombre , vous obtenez :

 

 

Après simplification , il reste :

 

Finissez la résolution :       ;      ;    .

 

 

 

 

 

 

Exemple 3 :

Résolvez l’équation :       d’inconnue «  ».

 

Le multiple commun des dénominateurs le plus petit possible est :   .. …..

Multipliez les deux membres de l’équation par ce nombre , et développez  vous obtenez :

 

 

Attention : n’oubliez pas qu’un trait de fraction tient lieu de parenthèses.

 

Prés simplification, il reste :

 

L’équation possède une solution unique :

 

 

 

 

 

Exemple 4 :

Résolvez  l’équation :     d’inconnue «  ».

 

Vous multipliez les deux membres par  « . …… » .

 

Après simplification , il reste :

Finissez la résolution …………

 

 

 

 

 

Activités « exercices » ……..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 7 : Situations problèmes.

 

 

 

 

 

Problème 1  La contenance totale de trois tonneaux est 177 L ( litres)

La contenance du deuxième est les deux tiers de celle du première . Le troisième contient 15 L de moins que le premier. Déterminez la contenance de chacun des tonneaux.

 

 

 

Problème 2 Des enfants collectionnent des timbres-poste. Eric a 537 timbres de plus que David Si Eric donne 43 timbres à David, Eric a alors deux fois plus de timbres que David. Calculez le nombre de timbres que possédaient initialement Eric et David.

 

 

 

Problème 3  Un enfant joue aux billes. Il perd 6 billes puis le tiers de ce qu'il lui reste et enfin il en perd encore 8. 11 lui reste alors les deux cinquièmes de ce qu'il avait au départ. Combien avait-il de billes initialement ?

 

 

 

Problème 4 Deux villes A et B sont distantes de 48 km.

Un cycliste "a" part de A en direction de B.

Au même moment, un cycliste "b " part de B à la rencontre de a.

La vitesse moyenne de « a »  est les   de celle de « b ».

A quelle distance de A se rencontreront - ils ?

Indication :

La vitesse de a étant les   de celle de « b » , la distance parcourue par « a »  sera les  de la distance parcourue par « b » pendant le même temps.

 

 

Problème 5 :  Arnaud, Benoît et Caroline se partagent une somme d'argent.

La part de Benoît est les  de celle d'Arnaud plus 1 200 €.

La part de Caroline est les   de celle d'Arnaud moins 15300 € .

Sachant que Caroline a reçu 5400  € de plus que Benoît, détermine la part de chacun.

 

 

 

Problème 6  (D'après Brevet Créteil 88)

La largeur d'un rectangle est 3 cm . On augmente la longueur et la largeur de ce rectangle de 2 cm . L'aire du nouveau rectangle est supérieure de 20cm à celle du rectangle initial. Quelle est la longueur du rectangle initial ?

 

 

 

Problème 7 Un bassin est plein. On en vide le quart  , puis le tiers du reste et enfin la moitié du nouveau reste.

Sachant qu'il y a encore 230 L  dans le bassin, quelle est la contenance de ce bassin.

 

 

 

Problème 8    Un voyageur part en train d'une ville A vers une ville B a la vitesse moyenne de

90km/h . Il revient de B vers A en automobile par un trajet de 20km de plus qu'en train à la vitesse moyenne de 70km/h . Sachant que la durée totale aller retour a été de 6 h , détermine la longueur du trajet en train de A à B,

Indication

Evalue le temps passé dans chacun des deux trajets.   ,

Si « d » est la distance, « v » la vitesse et « t »   le temps, v =  et alors t = …..

 

 

Problème 9  Un cycliste monte une côte à La vitesse de 15km/h .

Il la descend à la vitesse de 40km/h . Sachant qu'il met un quart d'heure de moins à la descente qu'à la montée, détermine la longueur de la côte.

Indication Evalue le temps passé en montée et en descente comme au problème 8.

 

 

 

Problème 10 J'ai trois fois l'âge que j'aurai dans trois ans diminué de trois fois l'âge que j'avais il y a trois ans. Quel est mon âge ?         

 

 

 

 

 


 

 

 








 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO  FORMATIFS.

 

CONTROLE :

Citer les 4 parties de la résolution d’un problème d’algèbre :

 

EVALUATION

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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