I ) But  de l’algèbre : emploi des signes et des lettres .

II est difficile, dès le principe, de définir l'algèbre d'une manière intelligible ; néanmoins nous allons essayer d'en faire comprendre le but par les considéra­tions qui suivent.

Dans toutes les questions que l'on peut se proposer sur les nombres, il existe des quantités connues qu'on appelle les données de la question, et des quantités in­connues qu'il s'agit de déterminer. L'arithmétique nous a appris, en général, par quelle série d'opérations et de raisonnements on arrive à la détermination des incon­nues ; mais les calculs successifs qu'on effectue sur les nombres modifient les quantités connues, de telle sorte qu'on ne voit plus? les relations qui lient ces données au résultat final. Aussi, pour chaque question du même genre, faut-il recommencer et le raisonnement et les opérations.

L'algèbre, au contraire, à l'aide de certains signes, permet de généraliser les résultats et d'en déduire des règles applicables à toutes les questions qui diffèrent seulement entre elles par les données numériques. C'est ce que nous allons éclaircir par quelques exemples.

Or, dans toutes les questions qui traitent des nom­bres et des grandeurs en général, l'algèbre a pour but d'obtenir des formules qui s'appliquent à toutes tes questions de même espèce; on pourrait donc définir l'algèbre : la science des formules mathématiques.

La discussion des formules conduit à la détermination de certaines lois que l'arithmétique est impuissante à découvrir.

II ) Conventions d’écriture .

Vous savez que   «  3 + 3 + 3 + 3 + 3 » correspond à  « 5 » fois « 3 » et que l’on écrit    

De même si on dit que « a » est le représentant d’un nombre quelconque  alors  « a + a + a + a + a » correspond à « 5 » fois « a » et s’écrit «  »

Par convention, pour ne pas confondre le « ixe » et le signe « multiplier »,  «  » s’écrit  «  5a » ,  donc « a + a + a + a + a = 5 a »

Activité 1  : « a + a + a + a + a+ a + a + a  = 8 a »

Remarque 1 :

Le nombre écrit en chiffres se place toujours devant (à gauche de la lettre) : on écrit  « 5a » et non « a5 »

Exemples :      s’écrit …  …  et       s’écrit  

ATTENTION : ne pas confondre   «   »  et    «  »

Dans le cas de nombres écrits en lettres, on applique la même convention.

« a » et b » représentant des nombres  «  »  s’écrit  « ab »

Remarque 2 :

En principe , mais sans être obligatoire, on écrit les lettres dans l’ordre alphabétique.

  Ainsi «  » on écrira  «  »  et   «  »  on écrira «  »

Remarque 3 :

Dans le cas de nombres écrits en chiffres, on ne peut pas supprimer le signe   «  » .  « 3  7 »ne peut pas s’écrire « 37 » .

Vous pouvez expliquer pourquoi : parce que 3 fois 7 est égal à « 21 »

La règle de la priorité  de la multiplication sur l’addition et la soustraction s’applique encore quand il y a des lettres.

Ainsi :

·       ( ) + ( 7  ) s’écrit :   «  3x + 7y »

·       ( ) + ( 7  )+ (  )   s’écrit :   «  3x + 7y + 5 st »

De même    s’écrit :  ………..

Et  il faut savoir que  «   »  est  la forme simplifiée de : «   » 

Activité 2  : ( Ffaire les exercices suivants)

Calculer pour trouver la valeur de J ; K ; L ; M   en remplaçant « a ; b ; c ; d »  respectivement par 4 ; 5 ; 3 ; 2

J = a b + c + d

J = 4 fois 5 +3 + 2

J =  25

K = a + bc + d

K = 4 + 5 fois 3  + 2

K = 21

L = ab + cd

L = 4 fois 5 + 3 fois 2

L = 26

M = a + b + cd

M = 4  + 5 + 3 fois 2

M = 15

Autre cas de simplification d’écriture :

·        et  que l’on lit :  « a plus b » facteur de  « c plus d »

·         et  que l’on lit :  « 6 » facteur de  « e plus f »

·         et  que l’on lit :  « m » facteur de  « n plus p »

Activité 3

Calculez   R ;S ; T ;V ;  en remplaçant   w ; x ; y ; z     respectivement par 8 ; 4 ; 5 ; 6 .

R =   w + xy +z

R =     8 +  4 fois 5 + 6

R =   34

S =  ( w + x ) ( y + z )

S =  ( 8  + 4  ) ( 5 + 6  )

S =  12 fois 11 = 131

T =   ( w + x )  y + z 

T =   ( 8 + 4  )  5 + 6 

T =   12 fois 5 + 6  = 66

V =   w + x ( y – z )

V =   8 +  4   ( 5 + 6  )

V =   8 + 4 fois 11 = 52

III ) Exercice :

Sachant que «  A = 5 x + 7 » complétez le tableau après avoir calculé les valeurs de « A » correspondant aux différentes valeurs de « x ».

Faites de même pour « B ».

Exemple : pour  x = 6 ; « A =  5 fois 6 + 7 » =  30 +7  = 37

A = 5 x + 7

x

0

0,3

6

8,16

10

12,7

A

7

5 fois 0,3 plus 7

37

5 fois 8,16 plus 7

5 fois 10 plus 7

5 fois 12,7 plus 7

B = 42,76 – 2,3 x

x

0,4

1,6

6

10,2

18,5

B

42,76 – 2,3 fois 0,4

42,76 – 2,3fois 1,6

42,76 – 2,3 fois 6

42,76 – 2,3 fois 10,2

42,76 – 2,3  fois 18,5

IV Simplification de l’écriture d’un produit.

·       L’écriture d’un produit se simplifie en supprimant le signe «  » mais aussi en utilisant l’associativité et la commutativité de la multiplication…

·       On place devant, (à gauche) , le nombre écrit en chiffres.

Exemple 1 :     , c’est une forme simplifiée de     .

Grâce à la commutativité et l’associativité, on peut écrire   En effectuant le calcul , on obtient   qui s’écrit

Exemple 2 :     , c’est une forme simplifiée de     .

Grâce à la commutativité et l’associativité, on peut écrire      En effectuant le calcul , on obtient      qui s’écrit  pour enfin s’écrire : 15

A retenir :

Pour simplifier l’écriture d’un produit, on procède de la manière suivante :

1°) On effectue le produit de tous les nombres écrits en chiffres.

2°) On écrit ce résultat suivi des lettres placées dans l’ordre alphabétique.

Activité 4

Simplifiez l’écriture de :  

a

V) Pourquoi utilise-t-on des lettres dans les calculs ?

Problème 1 :

On sait que la somme de trois chiffres entiers consécutifs est « 69 ».

On demande de trouver ces trois nombres ( et d’expliquer le calcul)

Dans ce genre de problème, il est commode de désigner par des lettres le ou les nombres cherchés ( si ils existent). On dira alors :

·       Appelons « x » le plus petit des entiers cherchés.( N1)

·       Le suivant est alors égal à « x + 1 » . ( N2)

·       et le troisième est égal à  « x +2 ». ( N3)

Sachant que la somme de ces trois entiers est « 69 » , on peut écrire :  N1 + N2 + N3  =  x + ( x + 1) + ( x + 2 ) = 69

Grâce à la commutativité et à l’associativité de l’addition , on peut écrire : ( x + x + x  ) + ( 1 + 2 ) = 69

Ce qui s’écrit après simplification : 3 x + 3 = 69   c'est-à-dire que  3 x = 69 – 3   ; soit   3 x = 66

Donc : 

·       N1   =    x =  66/ 3 soit    x = 22

·       N2   =    x + 1     soit   22 + 1  = 23

·       N3  =    x + 2       soit   22 + 2  = 24

Conclusion : les trois nombres recherchés sont  «  22 » ; « 23 » ; « 24 ». ( vérification : on remarque : la somme est égale à « 69 ») 

Problème 2 :

Trouvez les 5 entiers pairs consécutifs qui ont pour somme « 260 ».

(faire la rédaction sur une feuille à part )