Pré requis:

Composantes d'un vecteur

Boule verte

Notions sur la translation.

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°)  « direction »

2°) Les transformation géométriques  :

3°) La translation (cours n°1) .

4°) Fiches découvertes collèges 3ème .

 

   Info générales :

1°) Le repérage.

2°) « Vecteur » : liste des cours .

3°  ) liste alphabétique.

4°) liste des cours sur les projections.

Objectif suivant :

 

Voir la projection dans l’espace  ( à venir) …

Module : LES  VECTEURS

DOSSIER    La translation , dans un plan .

 

 

 

 

 

COURS

 

 

Et  des  problèmes …

 

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité :

Voir exemple « concret »  d’application

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

                                                       COURS

 

 

 

 

 

COURS :

 

 

 

 

 

La translation est la transformation dans laquelle à tout point « M » d’une figure (F) on fait correspondre le point ( M’ ) , qui engendrera la figure ( F ‘ ) tel que :   = 

«  » est le vecteur donné.

 

 

Voici les propriétés essentielles :

 

a ) Les vecteurs définis par deux couples de points homologues dans ( F ) et ( F ‘ ) sont équipollents :  = 

 

b)     Deux courbes déduites l’une de  l’autre par translation sont égales.

c)      Les tangentes à ces courbes en deux points homologues sont parallèles.

d)     La translation permet dans certains cas  l’obtention de lieux géométriques. Il suffira, connaissant la courbe décrite par un point « M » , qu’un point « M’ » du lieu soit tel que :   =        ;     étant un vecteur fixe.

 

 

 

 

 

Problème 1 :

 

 

Un losange articulé «  M N P Q » formé de quatre tiges rigides , se déforme dans son plan de manière que les diagonales  « MP » et « NQ »  passent constamment par deux points  fixes « A » et « B » et que la direction des côtés « NP » et « MQ » soit constamment perpendiculaire à « AB » .

1°) Lieux des sommets de ce losange.

2°)Lieux des milieux des côtés.

 

NB : La distribution des  lettres  «  M N P Q »  est celle de la figure.

 

 

 

 

 

Solution : Il convient d’abord de faire une figure soignée en prenant pour centre « O » du losange un point de la circonférence de diamètre « AB ».

Soit « a » la longueur du côté du losange.

 

 

1°) Faisons subir au point « A » la translation de vecteur . Nous obtenons un point fixe « S » sur la tangente en « A » au cercle de diamètre « AB ».

 

La figure «  A S P N » est un parallélogramme .

 Donc . =  = 1 droit.

Le lieu du point « P » est sur le cercle de diamètre « SB ». Ce cercle passe par « A ».Il est décrit en entier par « P » parce que le point « O » décrit en entier le cercle de diamètre « AB ». Mais :  = 

 

Le lieu de « N » se déduit du lieu de « P » par la translation de  (orthogonale à « AB », dans le sens « SA », de grandeur « a ». Le lieu de « N » est un cercle égal au lieu de « P » passant  par « A » et « B ».

En faisant subir de même à « B » la translation   =  =  , on voit que le lieu de « Q » est le cercle de diamètre « AT » , confondu avec le lieu de « P » parce que la figure « ASTB » est un rectangle.

 

vecteur019

 

 

Le lieu de « M » se déduit de celui de « Q » par la translation :  =  =

C’est le même que le lieu de « N ».

En résumé , les lieux cherchés , pour les sommets, sont les cercles circonscrits aux rectangles «  ABST » et «  ABS ’T ’ ».

« S » , « T » sont obtenus en faisant subir « AB » la translation orthogonale à « AB » , et d’ intensité « a ».

« S ’ » , « T ’ » sont obtenus en faisant subir « AB » la translation orthogonale à « AB » , et d’ intensité « - a »., le sens positif sur la perpendiculaire à « AB » étant  «  N P » . 

 

 

 

2°) Le lieu des milieux « I » et « J » de « PN » et « QM » sont déduits du lieu de « P » et « Q » par la translation  . Il s’agit du cercle circonscrit au rectangle  « E F H G » défini par les milieux  de « SA » , « SA’ » , « B T’ » et « BT ».

 

Le lieu des milieux « K » et « L » des côtés « PQ » et « NM » est celui des milieux des cordes de longueur constante « a » dans un cercle fixe. C’est un ensemble , de deux nouveaux cercles ayant pour centres les points de concours des diagonales des rectangles «  A B S T » et «  A B S ’ T ’ »

vecteur020

 

 

Problème 2 :

 

 

On joint un point fixe « P » au point « M » d’une courbe donnée ( ) . Par un autre point fixe « A », on mène la parallèle à « PM » sur laquelle on marque « N » tel que :

lieu du point « N ».

Indications :

Faire subir à « N » la translation du vecteur . Il vient en  « N1 » tel que :

 

 = 

 

Le lieu de « N1 » est une homothétique de  ( )

 

« N » se déduit de  « N 1 » par la translation

vecteur021

 

 

 

 

 

Problème 3 :

 

 

Reprendre le problème précédent ; en précisant que   ( ) est soit une droite, soit un cercle, et en variant la valeur numérique du rapport :

 

 

 

Problème 4 

 

 

On donne deux parallèles  ( D ) et  ( ) et deux points « A » et »B » de part et d’autre de la bande de plan définie par ( D ) et ( ). Trouver ( D ) un point « N »tels que « M N » ait une direction  donnée «  »  et que le chemin «  A M + M N + N B » soit minimum.

 

 

 

 Parfois la symétrie vient s’adjoindre à la translation.

 

 

 

 

 

Problème 5 

 

 

On considère un cercle fixe de centre « O » et deux points « A »  et « A‘ »symétriques par rapports à « O »et extérieurs au cercle.

Par un point  « M » du cercle on mène les vecteurs  équipollent à    et   équipollent à  .

 

1°) lieux des points « B » et « B’ ».

2°) Lieux du symétriques « C » et « B » par rapport à « AM » et du symétriques « C’ » de « B’ » par rapport à « AM ’ » .

3°) « D » étant le point commun à « OM » et « AC » , montrer qu’il existe une relation simple entre « OD »  et «  AD ».   ( travail niveau 4 : bac )

vecteur022

 

 

 

 

 

Solution : 

1°) Soit « R » le rayon du cercle.

Les équipollences  =   ;   =  .

 

Entraînent les équipollences :   =    =   et ceci montre que les lieux de « B »  et « B’ »  sont des cercles déduits du cercle  ( ) donné par les translations  ou

 

2°) « AM » étant le support d’un diamètre du lieu de « B » , le point « C » décrit le même cercle que « B ».

De même « C ’ » décrit le même cercle par «  B ’ ».

vecteur023

 

 

A cause de la symétrie : 

   =               ( relation 1 )

 

Mais le parallélogramme «  M B A O »

 

 

 

   =               

   =               

( relation 2 )

 

( relation 3 )

 

 

 

D’où par soustraction « membre à membre » :  =       ( relation 4 )

Ces angles sont d’ailleurs « alternes internes » :

En comparant  la relation 1 avec la relation 4

 

 

  = 

 

 

Le triangle AMD est isocèle : 

MD = AD

Ou       OD   – R =   AD

            OD – AD   =  R

Comme il peut y avoir des cases de figure    OD  est plus court que «  A D » , nous adoptons pour relation : 

 

 

 

 

 

Problème 6

 

 

Reprendre les mêmes données et résoudre les mêmes questions en supposant que les points « A » et « A ‘ » sont symétriques par rapport au point « O », mais intérieurs au cercle donné.

 

 

 

 

 

COURS (suite 1)

 

 

La translation est un moyen puissant pour réaliser des constructions .

 

 

Elle permet la résolution du problème suivant :

 

 

Entre deux courbes données :  ( C )  et  ( ) placée un segment « MN » parallèle à un segment donné « AB » et de même grandeur que « AB » .
Solution :

Nous faisons abstraction de la courbe ( ).

Nous assujettissons le segment « MN » (voir vecteur MN)   à être parallèle à un segment donné « AB » (voir vecteur témoin AB)    de même grandeur et par exemple de même sens. C'est-à-dire opérons sur ( C ) la translation du vecteur  . La courbe ( C ) lieu de « N » devant être sur  ( ) sera aux points communs à  ( ) et à ( C ’ ) ; donc , sur la figure , en N 1  ou N 2 .

 

Nota :

Lorsque le sens « MN » n’est pas précisé, il y a lieu de faire subir à  ( C ) les  translations du vecteur AB et le vecteur BA  , ce qui donne pour lieu  de « N » deux courbes  ( C ’ )  et ( C ’ ‘ )  .
Dans de la figure ci contre  ( C ’’ )ne couperait pas ( )

vecteur024

 

 

Problème 7

 

 

Reprendre le problème ci-dessus en spécialisant les courbes ( C ) et  ( ) ; droite ou cercle ; et en supposant que « MN = 2 AB » ; « 3AB » ,  et en général  «  MN = AB »

Indications : Faire subir à la courbe ( C ) la translation «  » ou  «  » suivant le sens désiré…

 

 

 

 

 

Problème 8

 

 

Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés.

Solution :

Sur la figure  d’étude « ABCD » ci contre faisons subir au point « A » la translation : qui l’amène en « E ».

Désormais le triangle « ECB » peut être construit car on connaît les longueurs « CB » ; « CE = DA »  et  « BE = AB – AE »  et « «  AB –C D »  , de ses trois côtés.

Ce triangle construit , le trapèze s’achève en marquant « A » sur le prolongement  de « BE » et en faisant subir la translation  .

vecteur025

 

 

 

 

 

Problème 9

 

 

Construire un quadrilatère « ABCD » connaissant les longueurs des quatre côtés et le segment « EF » joignant les milieux de deux côtés opposés.

 

Indications :

Faire subir à « ED » la translation «  » et à « EA » la translation « » ; « E » milieu de « AD » ; « F » milieu de « BC »

Voir que les points D1 F B1 sont alignés.

Construire le triangle  E D1  B1 connaissant les longueurs de deux côtés et celle de la médiane comprise.

Construire « C » et « B » . En déduire « A » et  « D ».

vecteur026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

 

CONTROLE

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION.

 

 

Refaire les problèmes…du cours  …… ;;;;

 

 

 

 

 

 

:p>