Classe de  3ème collège.

 

Programme  3ème .

 

 

 

 

 

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Pré requis:

Point : Pré requis : ce qu’est un point..................)

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Revoir le cours sur l’addition de deux nombres relatifs@…

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

-          Plan , ligne , point : généralités  Sphère metallique

-          Voir : cours de 4ème

Objectif suivant :

1°) Le bipoint équipollent Sphère metallique

2°) mesure algébrique d'un bipoint  sur une droite.

3°) Vers le cours sur « translation et vecteur »

4°) Composition de translation et « somme de deux vecteurs »)

 

1°) Vecteur : présentation des objectifs.

Fiches 3ème :   La translation de vecteurs 

 

 

Fiche 1 : Prérequis :

 

 

rappel : Translation.

 

 

Fiche 2 : Vecteurs égaux et parallélogramme.

 

 

Fiche 3 : Milieu d’un segment.

 

 

Fiche 4 : Situation problème.

 

 

Fiche 5 :  Translation et coordonnées.

 

 

(voir  suite : les coordonnées appliquées aux vecteurs )

 

 

 

 

 

 

 

 

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Fiche 1 :  on revoit les Prérequis : voir en classe de 4ème

Translation et vecteurs.

 

 

 

 

 

Rappels :  « Translation »  et  «translation d’un vecteur » :

 

 

Le dessin ci-contre illustre le fait que «  F’ »  et l’image de « F » dans la translation de vecteurs :

 

·      Pour comprendre cette situation , imaginez que l’on a déplacé en bloc  « F » pour l’amener sur « F’ » de telle sorte que ce déplacement se fasse :

vect006

 

 

Dans cette  translation, tout point « M » de « F »  a pour image « M’ » de « F’ » tel que :

 

 

 

-          (MM’) a la direction de (AA’) c'est-à-dire  (MM’)  est  …………………..   à ( AA’)

 

 

 

-          Le sens de « M » vers « M’ » est le même que le sens de « ….. » vers  « ……. »

 

 

 

-          Les longueurs  « MM’ »  et « AA’ » sont  ……………..

 

 

-           

 

 

-          Cette direction

 

 

 

-          Ce sens

Caractérisent le vecteur de la translation.

 

 

-          Cette longueur

 

 

 

Le vecteur   définit la même translation des  ; on écrit alors :      

 

 

 

A retenir :

 

 

 

( AA’) et ( MM’) ont même  ………………, c'est-à-dire  ( AA’)  // ( MM’)

 

 

     signifie

Le sens de « A » vers « A’ » est le même que le sens de  « ….. »  vers « …… »

 

 

 

Les longueurs  « AA’ »  et  « MM’ »  sont …………………..

 

 

 

 

 

Dessin représentant un vecteur :

 

 

Pour représenter graphiquement un vecteur, on dessine un segment fléché.

 

 

Exemple : ( voir ci-contre)

La droite  (TS) donne la …………… du vecteur .

La flèche indique le ………….. du vecteur.

« T » est l’origine et « S » l’extrémité du couple ( T , S )  ( appelé : bipoint)

La longueur de   donne la ……………… du vecteur.

vect007

 

 

 

 

 

Nota : il y a une infinité de couples de points correspondant au même vecteur.

Il y a donc une infinité de façons de représenter un vecteur.

(voir ci-contre)

vecteu_trans_005

 

 

Notation : On a désigné par   le vecteur correspondant au couple de points   noté   ( M , M’ ) ; mais on peut désigner un vecteur par une seule lettre  , par exemple :  ;   ;    …. ;  etc. ……….

 

Dire que « B’ » est l’image de « B » dans la translation de vecteur   ; c’est dire que : ……………..= ……………….

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

Dessinez   « B’ » ; « C’ » ; « D’ » des points  « B » , « C » , « D » dans la translation de vecteur     .

vect008

 

 

 

 

 

Activité 2 :

 

 

Dessinez l’image de la figure ci-contre   dans la translation de vecteur  .

vect009

 

 

 


 

 

Fiche 2 : Vecteurs égaux et parallélogramme.

Info ++@...

 

 

 

 

 

 

« A » , « B » , « C » , « D » sont quatre points non alignés .

Considérons le cas où les couples  ( A, B) et (C,D ) représentent le même vecteur. On a alors

 

Vous savez que    signifie que :

vect001

 

 

 

 

 

 

-          (AB) et (CD) sont   ………………….  .

 

 

 

-          Le sens de « A » vers « B » est le même sens de  « ……… » vers « ………… » .(

 C’est à dire que le quadrilatère n’est pas croisé

).

 

 

 

-          AB   = …….

 

 

 

 

 

Considérons le quadrilatère « ABCD » . ON vient de dire qu’il est non croisé et qu’il a une paire de côtés   …………………..  et de même ………………………..

C’est donc un  …………………………...

On dira alors : si      alors « ABCD » est un parallélogramme.

 

 

Inversement : Démontrez oralement que : si  « ABCD » est un parallélogramme alors     .

 

 

 

 

 

Remarque : Dans le cas où « ABCD » sont alignés , nous dirons que le quadrilatère « ABCD » est un parallélogramme aplati.

vect002

 

 

 

 

 

Théorème :

  signifie que « ABDC » est un parallélogramme.

vect003

 

 

Attention : ne vous trompez pas dans la disposition des points : « ABDC »  et non pas « ABCD »

 

 

Activité : complétez :

 

 

   signifie « …….. » est un parallélogramme.

 

 

Activité n° … :

 

 

Dans chacun des 6 cas , placez le point « D » tel que :      

 

 

 

 

 

vect004

 

 

v  Sachant que « ABCD » est un parallélogramme , vous pouvez  écrire les 4 égalités vectorielles :

 

 

 

 

Et inversement , si l’une de ces égalités est vraie alors  « ABDC » est un . …………………………...

 

 

 

 

 

Théorème :

« A »,  « B » , « C » , « D »  étant des points du plan, les égalités suivantes sont équivalentes :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vecteurs opposés :

 

 

Des vecteurs qui ont même direction et même longueur mais de sens contraires sont dits « opposés ».

vect005

 

 

Exemple : « A » et « B » étant des points quelconques  ,      sont   « …………………. ».

 

 

 

 

 

Vecteur nul :

 

 

A partir d’un couple  (A,A’) de points distincts, on a pu définir  une translation et le vecteur  associé à cette translation.

Si les points « A » et « A’ » sont confondus alors ,dans la translation correspondante, chaque point est confondu avec son image. Le vecteur de cette translation a pour longueur « 0 »  et sa direction n’est pas définie.

Ce vecteur est appelé    le vecteur nul. On le note :

 

 

 

    signifie que «  »

 

 

 

 

 


 

 

 

Fiche 3 : Milieu d’un segment.

Info @ calcul sur le milieu..

 

 

 

 

 

Voici ci-contre un segment  et son milieu « M ».

Comparons les vecteurs    et .

« M » est le milieu de   signifie :

vect010

 

 

 

 

 

 

-          « M » est situé sur (AB ) c'est-à-dire  ( AM ) a même direction que  ……………. ; AM MB

-          « M » est entre « A » et « B ». ( Le sens de « A » vers « M » est le même que le sens de  « …..» vers « …… » .

 

 

Ce qui revient à dire que :

 

 

D’où le théorème :

« M » est le milieu de   signifie que :

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

 

Ci-contre , on vous donne trois points « A » , « B » , «  C »  distincts.

Placez le point « E » tel que

Placez le point « F » tel que

Démontrez que « A » est le milieu de

vect011

 

 

Activité 2 :

 

 

Voici un parallélogramme @  «  » et un point « O ».

Placez les points « M » , « N » , «  P » , « R » tels que :

 ;  ;    ;

Démontrez que «  » est un parallélogramme.

vect012

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Situation problème.

 

 

 

«  » est un parallélogramme  de centre « O ».

On trace par « O » la parallèle à ( AD ) et ( BC )qui coupe (AB ) en « M » et ( DC ) en « P ».

On trace par « O » la parallèle à ( AB ) et ( DC ) qui coupe ( AD ) en « R » et ( BC ) en « N ».

vect013

 

 

1°) Démontrez ( verbalement , oralement ) que « M », « N » , « P », «  R »  sont les milieux des côtés du parallélogramme.

 

 

2°) En utilisant les points de la figure , écrivez toutes les égalités vectorielles  possibles . (sauf  les égalités de vecteur nul).

Vous démontrerez oralement ces égalités .

 

 

 

 

 

Instructions.

Recherchez tous les parallélogramme de la figure.

N’oubliez pas les vecteurs tels que :    et   .

Pour vous simplifier la tâche , on a fait deux colonnes :

Dans l’une vous écrirez une égalité vectorielle et dans l’autre vous écrirez l’égalité des vecteurs opposés.

 

 

 

 

 

Exemple

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 5 Translation et coordonnées.

Translation…@….

 

 

                                   On a représenté ci-dessous  trois fois la figure « F ».( le polygone «  » )avec le même système d’axes de coordonnées d’origine «  ».

Etudes de 3 cas :

 

 

 

 

Cas 1 :

 

 

 

Dessinez l’image de la figure « F » dans la translation correspondant au vecteur donné   :   .

Vous appelez :

 les images de   dans la translation de vecteur .

Complétez le tableau donnant les coordonnées des images

vect014

 

 

A(-2 ;3 )

B ( -2 ; -1)

C ( 1 ; -4)

D ( 3 ;2 )

O ( 0 ;0 )

 

 

 

 

 

Cas 2 :

 

 

 

 

 

Dans chacun des cas , Dessinez l’image de la figure « F » dans la translation correspondant au vecteur donné :   ;

vect015

 

 

A(-2 ;3 )

B ( -2 ; -1)

C ( 1 ; -4)

D ( 3 ;2 )

O ( 0 ;0 )

 

 

 

 

 

Cas 3 :

 

 

 

 

 

Dessinez l’image de la figure « F » dans la translation correspondant au vecteur donné :

 

vect016

 

 

A(-2 ;3 )

B ( -2 ;-1 )

C ( 1 ; -4)

D ( 3 ; 2 )

O ( 0 ;0 )

 

 

 

 

 

 

 

Comparez , dans les 3 cas, les coordonnées de chaque point avec les coordonnées de son image.

Vous constatez alors que :

A partir des coordonnées  d’un point , pour obtenir les coordonnées de l’image de ce point,

-          Dans la translation de vecteur    , à l’abscisse on ajoute ., à l’ordonnée on ajoute …..

-          Dans la translation de vecteur    , à l’abscisse on ajoute  .., à l’ordonnée on ajoute  ……..

-          Dans la translation de vecteur    , à l’abscisse on ajoute …….., à l’ordonnée on ajoute ……..

 

 

Aussi :

Le nombre  « 3 » que l’on a ajouté à l’abscisse est appelé la « première coordonnée » du vecteur   ,

Le nombre  « 7 » que l’on a ajouté à l’ordonnée est appelé la « deuxième coordonnée » du vecteur   ,

( 3 ; 7 ) est appelé le « couple de coordonnées » du vecteur   .  On écrira   .

Complétez de même :      ;  

Ce que vous avez étudié sur trois exemples  est vrai dans le cas général.

 

 

 

 

 

Théorème :

Ayant choisi dans le plan un système d’axes de coordonnées , « M »  étant un point quelconque et « M’ » son image dans la translation de vecteur    ,