Pré requis:

Les triangles (informations)

Nomenclature 1

L’homothétie

Le triangle

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   : warmaths .

Objectif précédent  

Les triangles semblables

Objectif suivant

1°) Informations sur les triangles

)Les triangles ( Thalès)

3°) L’homothétie et les vecteurs.

Tout sur la géométrie plane.

.

Cours sur :LES TRIANGLES homothétiques.

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                    

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

COURS

 

TRIANGLES  SEMBLABLES ET  HOMOTHETIQUES

 

Soit un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe AB  en M et AC en N .

Menons par N la parallèle  à AB qui coupe  BC en P .

 

        

 

Comparons les triangles  ABC et AMN .

Appliquons le théorème de Thalès  au triangle ABC : MN et parallèle à BC .

 

( 1)  

mais  MN //PB  et NP // MB ; nous avons donc  un parallélogramme  BNMP  ainsi  BP = MN

( à terminer )


 

 

COTE HOMOLOGUE : (définition)

 

 

(la condition de départ : les triangles sont semblables)

 

On appelle « cotés homologues » de deux triangles , les cotés opposés aux angles égaux.

(voir figure ci dessous ; AB et A’’B’’ sont des cotés homologues

 

Traçons deux triangles semblables ( ABC et A’’B’’C’’)en prenant la précaution de tracer les cotés opposés aux angles égaux ,  parallèles                                

 

B’’

 
 

 

 

 


Les cotés homologues sont :

 

 AB et A’’B’’ (coté opposé à l’angle « C » et « C’’ ») ;

BC et B’’C’’ , (coté opposé à l’angle « A » et «A’’ »)

CA et C’’A’’ (coté opposé à l’angle « B » et « B’’ »);

 

 

 

Ces cotés sont proportionnels .(faire l’égalité des rapports)

Les angles sont égaux deux à deux .

Les deux triangles sont homothétiques .

 

Par définition :   TRIANGLES HOMOTHETIQUES

On  dit que deux triangles sont « homothétiques » si les cotés de l’un sont respectivement parallèles aux cotés de l’autre .

Les angles sont égaux deux à deux ; les côtés homologues sont proportionnels.

 

« RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE »

 

 

TRIANGLES HOMOTHETIQUES  ET « RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE ».

 

    Soit un triangle ACB ; on trace une droite( MN ) parallèle à BC  ,passant par MN.

 Nous obtenons un « autre » triangle   ANM.

    Les triangles ACB et ANM sont semblables et homothétiques  (d’après ce qui à été déclaré précédemment )

semblables :leurs angles sont égaux et leurs cotés sont proportionnels ;et homothétiques : les cotés opposés aux angles sont tracés parallèles .

 

 

C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Rapport  d ’ homothétie

 

Nous savons que deux triangles sont homothétiques si leurs cotés homologues sont proportionnels.

      Ainsi AM et AB sont homologues ; AN et AC sont homologues ; MN et BC sont homologues ; ces cotés homologues sont proportionnels ; nous pouvons donc  écrire l’égalité :

     

 

= k

 

k est appelé « rapport d’homothétie ».

 

Ces rapports ont été établis à partir d’un tracé d’une droite parallèle à un coté d’un triangle ; nous pouvons  écrire :

 

(théorème)

   Toute parallèle à un coté d’un triangle détermine un deuxième triangle homothétique du premier.

 

 

   (autre façon de traiter le problème sur le triangle « coupé » par « une parallèle » à un des cotés : voir : les projections et Thalès )

 

 

EXERCICES RESOLUS :

E

 
 

 

 


Enoncé :

  les triangles ADB et AEC sont semblables

 

AD =   27   ;  DE  = 13

BC =   26    ; AB  =   ?

AC =     x      ; AE  =   ?

BD  =  30    ; CE   =   y

 

 

 

 

 

  Questions : 

1.    Tracer les deux triangles homothétiques.

2.    Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3.    Etablir les rapports  d ’ homothétie

4.    Calculer « x » et « y »

 


 

 

E

 
 


Enoncé :

  A partir des triangles semblables et homothétiques LAC et FE sont parallèles.

On donne :

AB =  25        ;   AF  = ?

BC =   ?          ;  CE  = ?

BF =   40            ;  BE  =36

AC  = « x »       ;  FE  = 40

 

 

 

Questions et réponses: 

1 )  Tracer les deux triangles homothétiques.  ABC  et  FBE

 2 )  Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux) :

                 Attention :pour nommer un coté et son homologue  il faut choisir le « triangle de départ ou référent » et conserver ce choix pour nommer les cotés et leur homologue;

        je choisis de prendre le premier  triangle ABC comme « référent » alors pour les trois cas  je nomme en premier le coté appartenant au triangle « référent » :

    les coté  AB et BF sont homologues

   les cotés AC et FE  sont homologues

   les cotés BC et BE  sont homologues

3 ) Etablir le rapport d ’ homothétie Lsi l’ordre à été suivi les rapports s’établissent sans risque d’erreur :  ==

 

 

4 ) Remplacer les lettres par les valeurs données :

                                          ==

 

Calculer « x »

 

 

CALCUL : ==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Construction particulière se ramenant  à deux triangles homothétiques

 

Rappel : deux droites  sécantes  forment  quatre angles ;  égaux deux à deux.

 

 

 

Thalès de Milet :  « Travaillant sur les lignes ,fut le premier à démontrer que deux angles opposés par leur sommet sont égaux.

 

B

 
 

 

 


Exemple :

 

Les angles A et A’ sont égaux.

 

Les angles B et B’ sont égaux.

 

 

 

 

 

 

 

 

A partir de la construction précédente (deux droites sécantes) ,nous traçons deux parallèles (MN) et (BC) aux deux  droites sécantes en  « A » :

 

 

 

 

 


Nous obtenons deux triangles :

 

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    AMN  et ACB

 

 

 

 

Nous pouvons transformer la figure    ( I ) ,par rotation autour du point « A » ,pour montrer que nous avons deux triangles semblables.(voir transformation par rotation autour de A) )

A

 
 

 

 

 


Les triangles ANM et ACB sont  semblables  donc homothétiques ; Les cotés homologues sont proportionnels,  Il suffit d’établir l’égalité  des rapports , pour obtenir le rapport d’homothétie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


APPLICATION

 

Soit la figure  I

 

On donne : AN = 12 cm ;NM = 6cm ;MA = 9 cm ; AC =15 cm .

 

 On nomme AB =  « x »  ; 

        BC = « y »

 

Calculer : « x » et « y »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Résolution :

   

 les triangles     AMN  et ACB sont des triangles semblables :

(l’angle B  et N sont égaux ; l’angle C et M sont égaux ainsi que l’angle A,)

 

Nous pouvons appliquer le théorème lié au rapport d ’ homothétie :

Nous pouvons transformer la figure    ( I ) pour montrer que nous avons deux triangles semblables.

A

 
 

 


Les triangles ANM et ACB sont  semblables  donc homothétiques ; Les cotés homologues sont proportionnels,  Il suffit d’établir l’égalité  des rapports , pour obtenir le rapport d ’ homothétie.

 

 qui donne : = k

 

On remplace les lettres par les données :                                                                                                                           = k

Voir Objectif « proportion »des rapports égaux  nous en tirons deux égalités :

 

          et       

 

Calcul de « x » :      9x = 15 fois12   ;  « x »  = 180 : 9    ;    « x » = 20 cm

calcul de « y » :       9y = 15 fois 6   ;  « y »   =   90 : 9    ;   « y »  = 10 cm

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 

1°) Quand dit - on que deux triangles sont égaux ?

2° ) Quand dit - on que d’eux triangles sont isométriques ?

3° ) Compléter la phrase :  deux triangles sont dits semblables si :.............................................

4° ) Qu’appelle -t  - on  « cotés homologues » ?

5° ) Quand dit - on que deux triangles sont homothétiques .

6° )Compléter la phrase suivante :

Toute parallèle à un coté  d ’ un triangle détermine .............

7°) Qu’est  qu ‘un rapport d ’ homothétie .(aidez vous d’ un exemple )

EVALUATION :

 

1°) Tracer un triangle quelconque (ni rectangle ; ni isocèle) ; ensuite tracer le triangle égal au précédent et  un triangle isométrique.

2° ) Les angles d’un triangle mesurent 43° et 54° .Construire un triangle « isométrique ».

3° ) Les angles A et B  d’un triangle ABC  mesurent  43° et 54°,on donne BC = 40 mm Construire un triangle A’B’C’ semblable .avec B’C’ = 55mm

 

4°) On donne deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles passant par MN et BC

 

On donne : AN = 12 cm ;NM = 6cm ;MA = 9 cm ; AC =15 cm .

 On nomme AB =  « x »  ; 

        BC = « y »

  Calculer : « x » et « y »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


C

 

B

 

A

 
3°)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRIANGLES HOMOTHETIQUES EXERCICES RESOLUS :

E

 
 

 


Enoncé :

  les triangles ADB et AEC sont semblables

 

AD =      ;  DE  =

BC =       ; AB  =

AC =       ; AE  =

BD  =      ; CE   =

 

 

 

 

 

  Questions : 

1.       Tracer les deux triangles homothétiques.

2.    Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3.    Etablir le rapport d’homothétie

4.     Calculer « x »

 

 

 

E

 
 


Enoncé :

  A partir des triangles semblables et homothétiques LAC et FE sont parallèles.

On donne :

AB =           ;   AF  =

BC =            ;  CB  =

BF =            ;  BE  =

AC  =           ;  FE  =

 

 

 

Questions : 

1.       Tracer les deux triangles homothétiques.

2.    Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3.    Etablir le rapport d’homothétie

4.     Calculer « x »

 

 

Calculer « x »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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