Pré requis:

Tracer une perpendiculaire., une médiatrice , une bissectrice ….

direction

Direction et projection

Projeté orthogonal et distance d’un point d’une droite

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index         Boule verte

Objectif précédent :

 

Projection d’un point  sur une droite

 

Objectif suivant :

Projection  orthogonal d’un segment  sur une droite.

)Projection orthogonale dans un repère cartésien.

   Tableau  Sphère metallique

1.       Liste des tracés

2.      Liste des cours sur la géométrie plane

DOSSIER  PROJECTION  d ' un point sur une droite  perpendiculaire à une droite  donnée.

Dit aussi : « projection orthogonale »

TEST

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COURS

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Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité La symétrie orthogonale Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

COURS

 

 

 

 

 

Voir définition du mot « direction et sens ».

Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur

Préambule :

   La projection  d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) :

 

n  une direction  (c’est une droite )

n la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et

n  la droite support qui recevra le « projeté du point » .

 

 

 

I )  Projection d’un point   sur une droite:

 

 


                                                                                                                 d        

 

                                                                                                                                                                           A

            Le point  A’ est le projeté du point  A par rapport à  la droite  de direction "d" ;

 (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite  d), A' se trouve sur la droite orientée  « axe » .

   La droite  "d"  indique la ligne "direction" de la projetée.

                                                                                                            

                                                                                                                        A’

 

 

 

 

 

 


II )  PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

 

 

 

Par définition :

d

 
Si  ( D) est perpendiculaire à "d" et

si MM' est parallèle à "d" alors  M' est le projeté orthogonal de M sur la droite ( D) ;

 

on appelle « distance d’un point à une droite » ; la mesure du segment de droite MM’ portée par un perpendiculaire à la droite « D » passant par le point « M ». .

média10

 

 

On réalise  la « projection orthogonale » d’un point « M » lorsque  la direction (delta) et la droite sur laquelle on trace « le projeté du point « M’ » » sont perpendiculaires.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

- On dit :  que le point " M' " est le projeté orthogonal du point  "M"  sur la droite (D) .

- On dit aussi  : que "M' " est l'image de "M" par la projection orthogonale dur ( D ).

Soit  un point  "N"  appartenant à  la droite ( D ) , on dira alors que la projection de "N'  "  et  le point " N"  sont superposé sur ( D)

 

 

 

 

 

 

 

III )  Longueur de la distance du point M  au point  M' .

 

Activité : sur une droite "d" on a placé quatre points.

 

 

 

 

média4

 

 

1°) On demande de mesurer les longueurs des distances séparant ces points.

2°) tracer le projeté orthogonal  "M'"  de M  sur cette droite "d" .

3°) classer ces 5 longueurs .

4°) Que peut-on dire de la longueur MM'

5°) Peut - on trouver un autre point de ( d )  qui soit un distance plus petite ?

compléter  la phrase suivante :

 

Sur la droite ( D ) , le point le plus proche de M est  ……………………….

Ainsi :

La distance entre le point « M » et sa projeté « M’ » est la distance la plus courte qui sépare ces deux points.

 

A savoir :    la distance  la plus courte entre un point et une droite se mesure sur la droite support de la projetée  orthogonale .

 


Construction de la projetée orthogonale  d'un point :

a) avec une équerre:

 

perpac5

 

b) avec un compas   ( en utilisant les propriétés de la médiatrice , on peut tracer une perpendiculaire d'un point extérieur à une droite)

 

C

 
Le point A est hors de la droite x y :

Tracer de A un arc de cercle qui coupe la droite en « x » et « y » . De « x » et de « y » , avec un même rayon , choisi assez grand pour que  les cercles se coupent , décrire deux arcs de cercles qui se coupent en un point  « C »  

per3

 

Activité Cours : construire la projection orthogonale des point  M , N et P .

 

média8

 

 

Résultat : on appellera la  projetée de M  ®  M' ; de N ®  N'  et de P ® P'.

média9

 

Comparaison de distances :

On peut , à partir de la trace de la projection orthogonale , comparer les distances qui sépare ces points  à l'aide d'un compas .

média13

Projetée orthogonales et "parallèles":  ( cliquer ici : info plus!!)

Si les deux  droites  des projetées sont du même côté : et si les points M et N sont  à la même distance  de la droite ( D)    , on peut tracer  ( D ' )  parallèle à ( D)

 

média6

On peut vérifier  le parallélisme  avec une équerre.

média19

 

Autre application de la projetée d'un point .

 

Construction de la tangente à un cercle.

Soit un point M et une droite D .

Si je trace la projetée de M sur  (D) j'obtient le point "H"  . Avec un compas je trace un cercle de rayon [MH] ;

La droite ( D) peut être appelée : tangente au cercle .

média14

 

 

 

 

 

Domaines  intéressés  par la projection orthogonale :

1.     Les projections orthogonales

2.     la  : symétrie orthogonale)

3.     La géométrie descriptive : l’épure d’un point

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS. 

 

CONTROLE

1°) Pour tracer la projection orthogonale du point "M" il faut compléter le dessin par la direction"d"

Compléter le dessin et tracer M'  le projeté orthogonal de M .

média5

EVALUATION  

 

1°) Construire les projection orthogonales des point M , N  et P

 

média8

 

 

 

 

2°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a)     tracer une droite passant par AD ;

b)     tracer les projetés B' et C'

média15

 

3°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par CD ;

b) tracer les projetés A ' et B' .

média15

 

 

 

 

4°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par AC ;

b) tracer les projetés B' et D'.

média15

 

 

 

5°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par AB ; b) tracer les projetés C ' et D' .

média15

 

 

Série 2

1°) Sur la droite "d" , les deux points  A et B sont distants de 5 cm .

 

Déterminer la longueur de       [ A' ; B ']  , projeté orthogonale sur  (D ) de [A B]

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Même question avec des angles  de 30° ; 60 ° et 90°

( ce travail  sera exploité par   "Thalès"  et en trigonométrie "tangente")

 

2°) Projection orthogonale d'un segment sur une droite :

a)  Reproduire la figure . Construire A' et B'  , projetés orthogonaux de A et B  respectivement sur  ( D)  , et tracer [ A ' B' ]   : le segment [ A ' B' ] est le projeté orthogonal du segment [A B] .

b)      Placer  le point M , milieu de [A B]  et construire M' son projeté  orthogonal sur  ( D )  . Quelle est la position de M' sur [ A ' B' ]

 

 

média17

Idem :

 

média18

Idem :

 

média191