classe de troisième_calcul_équation de droites ; y = mx +p ;fonction affine; corrigé

 

Classe de 3ème

 

Programme de la classe de 3ème .

 

 

 

 

 

CORRIGE

 

 

 

Pré requis:

Droites et repérage

 

Les repère cartésiens

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Equation de droite .

2°) « Pente »

COURS

APRES :

1°)  Les droites croissante ; décroissante,..

)le parallélisme et la perpendicularité

3°) recherche de l'équation d'une droite .

Complément d’Info :

 

 

 

Fiche précédente :  Droite passant par l’origine du repère.  Equation de la forme «  y = mx » . ( dite aussi : fonction linéaire )

 

 

Classe de 3ème

 

 

TITRE : Fiche  sur   LES EQUATIONS DE DROITES  de la forme : y = mx + p   dans un repère

 

 

( dite aussi : fonction affine )

 

 

 

 

 

Fiche  : Droite ne passant pas par l’origine du repère : Equation de la forme : y = mx + p 

 

 

·       Droites particulières.

 

 

 

 

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche:

 

 

 

Le plan est muni d’un repère d’origine « O ».

« d » est la droite d’équation «  ».

« B » est le point de coordonnées ( 0 ; 3 ).

Complétez :  .

 

Considérons la translation de vecteur  .

Vous savez que l’image d’une droite  par une translation est une droite.

equat_droite005

 

 

La droite et son image  sont  parallèles .

On vous demande de tracer la droite «  » image de la droite « d » dans la translation de vecteur  .

Soit « M » un point quelconque de «  ». Appelons ( x ; y ) les coordonnées de « M ».

On peut considérer que « M » est l’image par la translation d’un point « N » de « d ». Placez « M »  et « N »  sur la figure.

 

 

D’après ce que l’on a vu dans le cours … « vecteur et translation »  , on peut dire :

 

 

 

 

 

Puisque  , la première coordonnée  de   est  ……. Alors

(  ) =  (  ).  Donc  (  )   .

Puisque « N » est situé sur « d » qui a pour équation «  » , l’ordonnée de « N » est donc «  »  et comme l’ordonnée de « M » est « y » et que la deuxième coordonnée de  est  ………

 

On a alors    et cela quel que soit le point « M » de «  »

 

 

 

 

 

 

Inversement : un point dont les coordonnées  ( x ; y ) vérifient la relation   est- il forcément sur la droite «  » ?

 

Considérons un point   R ( x ; y )   tel que   et cherchons si « R » est situé sur «  » 

equat_droite006

 

 

Traçons par « R » la parallèle à l’axe des ordonnées.

Elle coupe «  »  en un point « K ».

« R » et « K » ont alors la même abscisse :  « »

Puisque « K » est sur «  » alors « K » a pour ordonnée    .

C’est la même que celle de « R ».

 

« R » et « K » ayant les mêmes coordonnées sont donc confondus  donc « R » est sur «  » .

 

 

 

En définitive :

Tout point dont les coordonnées  ( x ; y ) vérifient   est situé sur «  » .

 

 

 

Est appelée : Equation de la droite «  » .

 

 

 

Cette relation est vérifiée par les coordonnées de chacun des points de la droite «  » et par eux seulement .

 

 

 

Conséquence :

Que peut-on dire des points de coordonnées  ( x ; y ) tels que    ?

Ils ne sont pas sur la droite d’équation ……………….

 

 

 

 

 

Vocabulaire :

Pour la droite « d » , d’équation   ,  est appelé le coefficient directeur .

 

 

 

 

 

Pour la droite «  »  d’équation  ;          est  aussi appelé le coefficient directeur .

Le nombre « 3 » qui est l’ordonnée du point « B » , intersection de «  » et de l’axe  des ordonnées est appelé «  l’ordonnée à l’origine ».

 

 

 

 

 

Remarque :

«  » est parallèle à « d »  et «  » a même coefficient directeur que « d ».

En choisissant une autre parallèle à « d », on aurait trouvé le même coefficient directeur.

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 1 :

 

 

Un point de  «  » a pour abscisse « - 4 » , calculez son ordonnée , vous trouvez : ………………..

Un point de  «  » a pour ordonnée  « 7 » , calculez son abscisse , vous trouvez : ………………..

 

 

 

 

 

Activité 2 :

 

 

Parmi les points suivants , déterminez par le calcul ceux qui sont situés sur «  » .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( -6 ; 0)

C ( 0,2 ; 3,1 )

D ( 4 ; - 5 )

J (  )

R (  )

S = (

 

Vous avez trouvé les points : ………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Droites particulières.

 

 

 

 

 

Considérons la droite passant par : A ( 3 ; 0 ) et parallèle à l’axe des ordonnées.

 

Tous les points de cette droite ont même abscisse : ..3 ….et tous les points qui sont sur cette droite

 

L’équation de cette droite est :  «   »

equat_droite007

 

 

·       D’une manière générale, toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :  «   »

 

 

 

 

Considérons la droite passant par «  B ( 0 ; 2 ) »et parallèles à l’axe des abscisses .

Tous les points de cette droite ont même ordonnée : …2…. Et tous les points qui ont cette ordonnée sont sur cette droite.

 

L’équation de cette droite est :  «   »

 

equat_droite008

 

 

·       D’une manière générale, toute droite parallèle à l’axe des abscisses  a une équation de la forme :  «   »

 

 

 

Cas général :

 

 

Le plan est muni d’un repère d’origine « O ».

Etant donné une droite non parallèle à l’axe des ordonnées , existe-il une relation liant les coordonnées de chacun des points de cette droite ?

 

 

Voir ci-contre :

Désignons par « D » une telle droite.

Elle coupe l’axe des ordonnées en un point « P ».

Appelons « p » l’ordonnée de « P »,

   complétez :  «  P ( . 0.. ; p….) »

IL existe une droite passant par « O » et parallèle à « D ».

Appelons « d » cette droite , tracez –la.

 

equat_droite009

 

 

Il existe un nombre «  » tel que  «  » ait pour équation  «   »

En considérant la translation de vecteur  , on prouverait comme on l’a fait pour la droite «  » que tous les points de « D » ont des coordonnées (  )  qui vérifient la relation «   » .

Relation dans laquelle :

« m » représente le même nombre que dans «  » , ( l’équation de «  » )  et « p » est l’ordonnée du point d’intersection de « D » avec l’axe des ordonnées.

On démontrerait aussi que les points de « D » sont les seuls à vérifier cette relation.

 

 

 

D’où le théorème :

 

 

Théorème :

Dans le plan muni d’un repère , toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : 

 

 

 

 

 

 

la forme :    est équivalente à l’équation , aussi utilisée , :

 

 

 

 

 

Vocabulaire : Pour toute droite d’équation    ; « m » est appelé le coefficient directeur et « p » est appelé l’ordonnée à l’origine.  

 

 

 

 

 

Remarques :

 On a vu que les  droites parallèles à l’axe des abscisses ont pour équation une relation de la forme «   » .

Cette équation est de la forme      dans laquelle «   ».

 

Les droites passant par l’origine ( à part l’axe des ordonnées) ont une équation de la forme      dans laquelle «   ».

 

Il n’y a que les droites parallèles à l’axe des ordonnées qui n’ont pas d’équation de la forme :

 

 

 

 

 

 

·       La plan muni d’un repère , «  » et «  » étant des nombres quelconques et (  ) désignant le couple de coordonnées de points du plan, toute expression de la forme   est-elle l’équation d’une droite ?

 

 

 

Il est possible de démontrer que la réponse est « oui » . ( on ne le fera pas à ce niveau )

 

 

 

Soit le théorème suivant :

 

 

Théorème :

Le plan  étant  muni d’un repère , « m » et « p » étant des nombres quelconques , l’ensemble des points  du plan dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient     est une droite admettant     pour équation.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

- Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

 

EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

 

 

 

 

 

 


 

corrigé CONTROLE:

 

Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

Procédure :

Equation de la forme « y = m x +p »

On connaît « m » et A ( xA; y A)

On place le point A

On place un point B dont les coordonnées sont

(xA + 1) ; (y A + m )

On trace  la droite ( D) qui passe par les deux points

 

 

corrigé  EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Soit  m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Placer A ;

 coordonnées  x A= -1 ; y A=+2

On place un point B dont les coordonnées sont :

( xA + 1) ; (y A + m )  soit

(-1 + 1) ; (2 + 3 ) ;

soit les coordonnées de  B ( 0 ; 5)

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