Fiche 1 :  Le quadrilatère.

Fiche 2 :  Le parallélogramme.

Fiche 3 : Le quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Fiche 4 : Quadrilatère dont le point d’intersection des diagonales est centre de symétrie.

Fiche 5 : Quadrilatère dont les côtés opposés ont  même longueur

Fiche 6 : Quadrilatère ayant deux côtés parallèles de même longueur.

Fiche 7 : Constructions de parallélogrammes

Fiche 8 : Quadrilatère convexe dont les angles sont supplémentaires ou égaux.

Fiche 9 : Récapitulatif des propriétés des différents quadrilatères

Activités : Fiche 10  construction d’un carré

Le corrigé est incomplet : demandez-le si cela est nécessaire…

Fiche 1 : Le quadrilatère.

·       « A »,  « B »,  « C », « D » sont quatre points distincts .

Ci-dessous on vous a représenté 3 dessins identiques  comportant ces quatre points dans la même position.

Dans les trois cas , joignez par des segments les points dans l’ordre indiqué.

( n’oubliez pas de joindre le dernier point au premier…)

Figure  1 :

« ABDC »  

Figure  2 :

 « ABCD »

Figure  3 :

 « ACBD »

Vous constatez que vous n’obtenez pas la même figure dans les trois cas. :

La figure « 2 »  : représente un « quadrilatère convexe ».

La figure « 1 » et « 3 » : représentent  chacune un « quadrilatère croisé ».

·       Sans changer la disposition des points , mais en changeant l’ ordre, pensez-vous qu’il soit possible d’obtenir d’autre figures ? ………………………

·       L’ordre des points étant donné, il n’y a qu’une possibilité de figure. 

                             Par contre, la figure, on pour la désigner, on opérera  toujours de la façon suivante : le premier point nommé est celui qui se trouve le plus à gauche et le plus haut , ainsi dans l’exemple ci-dessus ,  le point le plus haut à gauche est « A ». ensuite on listera les autres points l’un après l’autre, dans le sens des aiguilles d’une montre… Ici le parallélogramme est « ABCD ».

Fiche 2 :  Le parallélogramme.

On entend souvent  : Si un quadrilatère a ses côtés opposés  parallèles deux à deux c’est un parallélogramme. 

A )  Définition.

Si nous énonçons que :

 Un quadrilatère est un parallélogramme, cela signifie que « ses côtés opposés sont parallèles ».

Cet énoncé peut s’appeler  une définition.

Elle nous donne deux informations :

1°) Dans l’ensemble des quadrilatères  ceux qui ont leurs côtés opposés parallèles sont appelés « parallélogrammes ».

2°) Si on sait qu’un quadrilatère est un parallélogramme, alors on peut affirmer que ses côtés opposés sont parallèles.

·       Le parallélogramme possède d’autres propriétés :

Nous allons vous les rappeler  ci-dessous ( vous les avez rencontrées  dans les fiches précédentes )

Auparavant , remarquez que tout parallélogramme est nécessairement  « convexe » et qu’on le nomme comme il l’est dit dans la fiche 1 .

B ) Propriétés L5)

Dans tout parallélogramme :

-        Les diagonales se coupent en leur ……….milieu……..

Voir : Cours p5 le parallélogramme –fiche 2

-        Les côtés opposés ont même …….mesure……

Voir : Cours p5 le parallélogramme –fiche 2

-        Le centre est centre de …………symétrie….pour ce parallélogramme

Voir Cours p5 ..symétrie centrale..

-        Les angles opposés sont ………égaux………

Voir cours p5  les angles- fiche 9

-        Les angles consécutifs sont …supplémentaires……

Voir cours p5  les angles- fiche 9

C ) Posons la question suivante :

Si un quadrilatère possède une de ces propriétés , est-il un parallélogramme ?

C’est ce que nous allons étudier dans les fiches suivantes.

Fiche 3 : Le quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Ci-contre on vous donnes deux droites « xx’ »  et « yy’ » qui se coupent en « O ».

A l’aide de votre compas , que vous piquez en  « O », placez sur « xx’ » deux points « A » et « C » tels que « O » soit le milieu de [ AC ] .

Changez l’écartement de votre compas et placez sur « yy’ » deux points « B » et « D » tels que « O » soit le milieu de [ BD].

Tracez les côtés du quadrilatère  « ABCD ».

Apparemment « ABCD » est-il un parallélogramme ?...oui..

C’est ce que nous allons prouver par un raisonnement.

Considérons la symétrie de centre « O ».

Puisque « O » est le milieu de [ AC ] , alors « A » a pour  symétrique  …. « C »..

Puisque « O » est le milieu de [ BD ] , alors « B » a pour  symétrique  …. « D ».

Donc la droite  ( AB ) a pour symétrique la droite ……………….

Or vous savez que dans toute symétrie centrale , si deux droites sont symétriques alors elles sont ………………………

Donc ( AB )  et ( CD ) sont ……..paralléles…..

Ayant ses côtés opposés parallèles ,alors par définition , «  ABCD » est un ……….parallélogramme……..

A retenir :

Tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un  ….parallélogramme …..

Activité n°……..

« EFGH » et « EKGL » sont deux parallélogramme qui ont la même diagonale [ E G ].

Nous allons prouver que « KFLH » est un parallélogramme.

______________________________________________

Appelons « M »  le milieu de [ EG ].

Puisque « EFGH » est un parallélogramme alors « M » est aussi le milieu de ………[ H.F ] ………

Puisque « EKGL » est un parallélogramme alors « M » est aussi le milieu de ………[ KL ].…….

Donc ………[ H.F ] ……….et …[ KL ].... ont le même milieu.

 Puisque « HKFL » a ses diagonales qui se coupent en leur milieu , alors «  HKFL »  est un parallélogramme…

Fiche 4 : Quadrilatère dont le point d’intersection des diagonales est centre de symétrie.

Ci-contre , on vous donne un quadrilatère « A BCD»  dont les diagonales se coupent en « O »et tel que « O » soit le centre de symétrie.

Prouvons que « ABCD » est un « parallélogramme ».

Réponse :

Puisque « O » est centre de symétrie, alors « O » est le milieu de [ AC ]  et « O » est milieu de [ BD].

Onc les diagonales du quadrilatère « ABCD » se coupent ……….en leur milieu…….

Donc « ABCD » est un  …parallélogramme………..

A retenir :

Tout quadrilatère ayant pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales est   un …….parallélogramme…….

Fiche 5 : Quadrilatère dont les côtés opposés ont  même longueur

Il est possible de prouver par un raisonnement que :

Tout quadrilatère ayant ses côtés opposés de même longueur est :

soit un quadrilatère croisé.

soit un parallélogramme.

A retenir :

Tout quadrilatère « convexe » ayant ses côtés opposés de même longueur est un parallélogramme.

Activité n°….

En utilisant la règle et le compas , ( ne prenez pas d’équerre pour tracer les parallèles), vous allez construire les parallélogrammes  « EFGH »   et  « ABCD ».

Parallélogramme  « EFGH ».

Parallélogramme  « ABCD ».

On donne le côté  [ H G ] .

HE = 28 mm et      = 53 °

On donne la diagonale  [ DB ]

Et    DA = 25 mm   ; BA =  45 mm

Activité n°2 ..

Toujours en utilisant le compas (sans utiliser d’équerre pour tracer les parallèles ) ,

Vous allez construire le parallélogramme  « MNPR » dont on donne le point « N » et le côté [ RP ]

Activité n°3 ..

En vous inspirant de la construction précédente , (c'est-à-dire en utilisant le compas mais pas l’équerre ) , par le point « O » , vous allez tracer la parallèle à la droite « d ».

Fiche 6 : Quadrilatère ayant deux côtés parallèles de même longueur.

Par abus , on dit  « côtés parallèles »  au lieu de « côtés dont les supports sont parallèles ».

« ABCD » est un quadrilatère convexe tel que ( AB ) et ( DC ) sont parallèles et   AB = DC .

Nous allons prouver par un raisonnement que « ABCD »   est un parallélogramme…

Appelons « O » le milieu  de [ AC ].[

Considérons la symétrie de centre « O ».

Puisque « O » est le milieu de [ AC ] , alors « A » et « C » sont symétriques.

La droite ( CD ) étant parallèle à la droite  ( A B ) et « ABCD » étant convexe,  les demi- droites  [ AB )   et  [ CD ) sont symétriques.

Et comme AB = CD  , alors « B » a pour symétrique « D ».

Donc « O » est le milieu de    ….[ DB ]……..

Le quadrilatère  « ABCD »  a donc ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

Alors, grâce à ce que l’on a établi à la fiche 3 .

On peut dire que « ABCD » est un ……parallélogramme.

A retenir .

Tout quadrilatère convexe ayant deux côtés parallèles et de même longueur est un ……parallélogramme……

Activité n°……

« EFGH »  est un parallélogramme.

Placez sur [ EF ]  le point « M » tel que

Placez sur [ HG ] le point « N » tel que

Prouvez par un raisonnement que ( EN ) et ( MG ) sont parallèles.

Indication :

Que pouvez-vous dire du quadrilatère « EMGN » ?   …..c’est un parallélogramme……          Prouvez –le……………

Fiche 7 : Constructions de parallélogrammes

Dans les 3 cas ci-dessous  , on donne 3 points  « A » , « B » , « D ».

A vous de déterminer le pont « C » pour que « ABCD » soit un parallélogramme.

Et cela de trois façons différentes ( suivant la propriété utilisée ).

Laissez les constructions apparentes et tracez les côtés du parallélogramme.

1°)  Les diagonales se coupent en leur milieu. Tracez – les .

Utilisez la règle graduée.

2°)  Côtés opposés  parallèles .

Utilisez le compas.

3°) Côtés opposés de même longueur.

Utilisez le compas.

Fiche 8 : Quadrilatère convexe dont les angles sont supplémentaires ou égaux.

Situation A :

Les données sont :

Ci-contre un quadrilatère convexe « ABCD » dont les anges consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Nous allons prouver par un raisonnement que « ABCD » est un ….parallélogramme……

Désignons par « uv » le support du côté [ AB ] .

 Donc        et       sont ….. égaux………

Or, les angles       et     sont aussi supplémentaires  donc           et       sont ……..supplémentaires…..  

Relativement aux droites ( A D ) et ( B C ) et  à  la sécante ( A B ) ,       et       occupent  la position  de ………………………..

Donc, d’après ce qui a été étudié dans la leçon n°…. fiche …….

On peut dire que les droites ( A D ) et ( B C ) sont …………………….

On  prouverait de même que ( A B ) et  ( D C ) sont …………………….

« ABCD »  est , par définition  , un ……………………………………………..

Situation B :

Ci-contre un quadrilatère convexe « EFGH » dont les angles opposés sont égaux deux à deux .

Nous allons montrer et prouver par un raisonnement que « EFGH » est un …parallélogramme…….

Les angles     et     sont égaux . Nous appelons « x » leur  valeur .

Les angles     et     sont égaux . Appelons   « y » leur valeur.

« EFGH » étant un quadrilatère convexe , la somme de ses angles est égale à   …. 360°……

On peut alors écrire : «  x + y + x + y = 360° »

C'est-à-dire :                «  2 x  + 2 y = 360° »

Ou encore :                  «  2 ( x + y ) = 360° »

Donc :    «  x + y =  360°  2 »      , c'est-à-dire    «  x + y = 180° »

Puisque «  x + y = 180° »  alors   et         sont supplémentaires.

Il en est de même pour      et     ,     et    ,    et    .

Donc, d’après ce qui a été prouvé plus haut , on peut affirmer que « EFGH »  est un ……parallélogramme…….

A retenir :

           Tout quadrilatère convexe dont les angles consécutifs sont supplémentaires ou dont les angles opposés sont égaux  deux à deux est un parallélogramme.

Activité n° :……….

« PRST » est un parallélogramme  tel que   = 56 °.

Tracez la bissectrice de   . Elle coupe ( TS ) en « M ».

Tracez la bissectrice  de   . Elle coupe (PR) en « N » .

Complétez : 

  = ……………………° ;   ……………° ;    = ………..° ;

 =  ………………°   ;   = …………..° ;   = ………….° ;

 = …………………..° ;

Calculez :    et  

Puis prouvez que « PNSM » est un parallélogramme.

Fiche 9 : Récapitulatif des propriétés des différents quadrilatères.

Quadrilatères 

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

       Propriétés

Deux paires de côtés parallèles.

O

O

O

O

Côtés consécutifs perpendiculaires.

N

O

N

O

Côtés opposés de même longueur.

O

O

O

O

Côtés consécutifs  de même longueur.

N

N

O

O

Diagonales se coupant en leur milieu.

O

O

O

O

Diagonales de même longueur.

O

O

N

O

Diagonales perpendiculaires.

N

N

O

O

Angles consécutifs supplémentaires.

O

O

O

O

Angles opposés égaux .

O

O

O

O

Ce tableau une fois rempli faire apparaître des faits déjà connus :

·       Le rectangle possède toutes les propriétés du parallélogramme.  ( il en possède d’autres en plus.). Ce qui est normal car tout rectangle est d’abord un …parallélogramme…..

·       De même tout losange est d’abord un ……..parallélogramme………….

·       Et tout carré est d’abord  un ..parallélogramme…………….

·       Vous constatez aussi que le carré possède à la fois les propriétés  du rectangle et du parallélogramme……

Ce qui est normal car tout carré est à la fois un  « rectangle » et un « parallélogramme »………. ;;;;

Activités : Fiche 10  construction d’un carré.

Construisez le carré « ABCD » dont on donne la diagonale [ AC ]

Laissez les constructions apparentes.

Oral : justifiez que le quadrilatère obtenu est un bien un carré.