Fiche 4   : Suite ( relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu)

Fiche 5 : Angles complémentaires :

Fiche 6 : Angles remarquables.

Fiche 7 : Représentation graphique .

Fiche 8 : Exercice dans le triangle rectangle.

Fiche 9 : Calculs dans le triangle rectangle.

Fiche 10 : Situations problèmes.

Fiche 4   : Suite ( relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu)

@ retour à la fiche .

Reprenons le triangle « ABC3 de la fiche 2. Et désignons par « x » l’angle

Complétez :    ;     ; 

On dira alors : « x » désignant un angle aigu quelconque

Remarque : cette égalité n’a pas de sens si  «  x = 90° » ( expliquez pourquoi ).

Complétez :     et   

Or, le triangle « ABC » est rectangle en « A » , Donc , grâce au théorème de Pythagore :   

Donc

Au lieu de       on écrit      et on lit «  »

On dira alors « x » désignant un angle aigu quelconque

Activité 1 :

  , (   est une lettre grecque qui se lit « alpha » )

Calculez          et      et contrôlez en déterminant  « »

Et vous contrôlerez en déterminant      de 3 façons ( avec votre calculatrice ou la table numérique )

Puisque      alors    et   comme «   » est un nombre positif alors  «  »

    donc     cos ²  = . ……………..  donc  

Déterminez   , vous trouvez : ……………………………………

Activité 2 :

  , (   est une lettre grecque qui se lit « béta » )

Calculez          et      et contrôlez en déterminant  «  »

Activité 3 :

   ,  «  » est une lettre grecque qui se lit « gamma »

Calculez       et      et contrôlez en déterminant  «  »

Activité 4 :

    calculez    et   et contrôlez en déterminant   «  »

Activité 5 :

« x » désignant un angle aigu quelconque , développez et simplifiez au maximum :

Activité 6 :

«  » désignant un angle aigu quelconque , démontrez que «  »

Fiche 5 : Angles complémentaires :

Info + @ angles complémentaires .

Considérons le triangle rectangle « ABC » .

Désignons par   l’angle  et  par    l’angle .

Complétez :

   ;   ; 

   ;     ; 

Vous  constatez que :     ;   que       et   que     et     sont    inverses   l’une de l’autre.

Théorème :

Si deux angles sont complémentaires alors :

-          Le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre .

-          La tangente de l’un est l’inverse de la tangente de l’autre.

Activité : complétez :

Fiche 6 : Angles remarquables.

Angle de 45° 

« ABC » est un triangle rectangle en « A »  tel que .

Vous en déduisez que 

Donc « ABC » est isocèle : Donc AB = AC

[ BC ] peut être considéré comme la diagonale d’un carré.

Donc :  (voir la leçon  Fiche 4)

 a pour complémentaire   45° , donc  ;

Et 

Angle de 60° 

« ABC » est un triangle rectangle en « A »  tel que .

Vous en déduisez que 

Donc « ABC » peut être considéré comme un demi-triangle équilatéral dont la hauteur est [ AC].

En appelant « a » la longueur  BC ,

 on a : AB = …a sin …  et AC = …a cos …….

60°  a pour complémentaire : 30°

Complétez le tableau :

Angle

0°

30°

45°

60°

90°

sinus

cosinus

tangente

Fiche 7 : Représentation graphique :

Vous allez faire la représentation graphique de deux fonctions :

-          La fonction  qui à tout angle aigu fait correspondre  son cosinus.

-          La fonction  qui à tout angle aigu fait correspondre  son sinus.

Vous ferez ces représentations sur le même graphique mais avec des couleurs différentes.

Auparavant, en utilisant votre calculatrice ou la table de trigonométrie, remplissez le tableau donnant le cosinus et le sinus des angles aigus de « 5° » en « 5° » ( 2 chiffres après la virgule) et utilisez ce tableau pour faire vos représentations graphiques.

·       Ces fonctions sont-elles des fonctions linéaires ?......  ( expliquez pourquoi )

·       Y a-t-il proportionnalité entre le cosinus et l’angle ou le sinus et l’angle ?

·       Grâce à ces représentations  graphiques , déterminez par simple lecture :

cos 27° = 

cos  62° = 

sin 18° =

 sin  53°  =

·       Trouvez une valeur approchée des angles  « x » , « y » , « z » , « t » tel que : 

y ………

………

………

………

Fiche 8 : Exercice dans le triangle rectangle.

« ABC » est un triangle rectangle en « A » . [ AH ] est hauteur .

1°) En exprimant   de deux façons différentes.

Démontrons que : 

Dans le triangle rectangle « ABC » , 

Dans le triangle rectangle « ABH » , 

On peut donc écrire :    d’où 

Rédigez les solutions des question « 2 »   et « 3 »  sur une autre feuille.

2°) En exprimant    de deux façons différentes , démontrez que « AB² = BH  BC »

3°) Démontrez que    :

En calculant       et    , démontrez  que  «  AH² = BH  HC ».

Fiche 9 : Calculs dans le triangle rectangle.

« ABC » est un triangle rectangle en « A » .

On désigne par  l’angle  et par « a » , « b » , « c » les longueurs « BC » , « CA , « AB » .

Avec ces notations complétez :

   c'est-à-dire :        et   

    c'est-à-dire        et  

   c'est-à-dire    et    

·       On ferait de même avec l’angle

Activité 1 :

Le triangle « MNP » est tel que  « MN = 21 mm » , « NP= 28 mm » et  « MP= 35 mm ».

Vérifiez par le calcul que ce triangle est rectangle en « N ».

Complétez :

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , complétez :      ;    ( à 1°  près )

Activité 2 :

« DEF » est un triangle rectangle en « F », tel que « DF = 15 mm » et  « FE = 36 mm ».

On vous demande de calculer « DE »  puis    et     ( à  1° près )

Commencez par construire un tel triangle .

a)      Calcul de « DE » :

Grâce  au théorème de Pythagore  ,  « DE² = DF² + ……² » ;    DE² = . …..²   + …….²  =  ………..+ ……… = …………. ;     DE = ………. 

b)      Calcul de  :  

Dans le triangle « DEF » , relativement à   ,

« FE » représente le côté ……………………

« DF » représente le côté ……………………

Tu cherches parmi les formules de la « fiche 2 »  celle qui fait intervenir ces côtés.

(il est préférable de choisir comme côtés ceux qui sont donnés dans l’énoncé ).

Vous trouvez :     c'est-à-dire

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez  

c)       Calcul de  : 

« DEF » étant un triangle rectangle ,    et     sont complémentaires   donc 

Activité 3 :

« GHK » est un triangle rectangle en « H ».

Tel que  « GH = 16 mm » et « GK= 34 mm ».

On vous demande de calculer « HK » puis     et    ( à 1 ° près )

Commencez par construire un tel rectangle.

Calcul de « HK » :

Grâce au théorème de Pythagore , HK ² =  …………- …………..

HK ² =  …………- ………….. ; HK ² =  …………- ………….. = ………….. ;    HK  ………….

Calcul de  :   En procédant  comme dans l’activité 1 , vous trouvez :

 c'est-à-dire   

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez  

a)      Calcul de  : 

« GHK » étant un triangle rectangle ,   et    sont complémentaires   donc  

Activité 4 :

« LMN » est un triangle rectangle en « M ». tel que « LM = 42 mm »  et  «  » .

Vous allez calculer « MN » et « LN ».

Commencez par construire un tel triangle.

a)      Calcul de « MN » .

Vous connaissez « LM » et vous voulez calculer « MN ».

Dans le triangle « LMN », relativement à «  »,   « LM » représente le côté …………………………..

« MN » représente le côté ………………………………..

Vous cherchez parmi les formules de la « fiche 2 » celle qui fait intervenir ces côtés . Vous trouvez :

  c'est-à-dire   « MN = ………………. »

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez 

On a alors « MN  ………………………… » ; « MN  ……………» 

b)      Calcul de « LN » .

En procédant comme précédemment , vous trouvez :

  c'est-à-dire   « LN = ………………. »

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez 

On a alors « LN  ………………………… » ; « LN  ……………» 

Activité 5 :

« PRS »  est un triangle rectangle en « R »  tel que « PR = 28 mm »  et   »  .

On vous demande de calculer « PS » et « RS ».

Commencez par construire un tel triangle. 

a)      Calcul de « PS ».

En procédant comme aux exercices précédents , vous trouvez :

  c'est-à-dire   « PS = ………………. »

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez 

On a alors « PS  ………………………… » ; « PS  ……………» 

b)      Calcul de « RS ».

  c'est-à-dire   « RS = ………………. »

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez 

On a alors « RS  ………………………… » ; « RS  ……………» 

Activité 6 :

« TUV » est un triangle rectangle en « U » tel que « TV = 54 mm » et «  ».

ON vous demande de calculer « TU » et « UV ».

Commencez par construire un tel triangle.

a)      Calcul de « TU ».

  c'est-à-dire   « TU = ………………. »

En utilisant votre calculatrice  ( ou la table )   , vous trouvez 

On a alors « TU  ………………………… » ; « TU  ……………» 

b)      Calcul de « UV ».

Activité 7 :

On donne un cercle de rayon « 6 cm ».

[ AB ] est un diamètre, [ AC ] est une corde telle que  « AC = 8 cm ».

Calculez     ( à 1° près )

Fiche 10 : Situations problèmes.

Problème 1 :

« ABCD »  est un rectangle de centre « O » tel que « AB = 12 cm » et « BC = 3 cm ».

Calculez    et      ( à 1° près )

Problème 2 :

« ABCDEFGH » est un cube de 10 cm d’arête.

1°) Calculez l’angle  ( à 1° près )

2°)  « O » étant le point d’intersection des diagonales  [ AG ]  et [ BH] , calculez    ( à 1° près )

Problème 3

D’après le brevet Grenoble ( 1988) , on veut construire un garage dont les dimensions sont données sur le dessin ci-contre.

1°) Calculez la hauteur « h » du garage. On donnera une valeur affichée à 1 cm près.

2°) Calculez l’aire « S » du toit .

On donnera une valeur approchée par excès à 1 dm² près.

Problème 4

« SRT » est un triangle rectangle en « R ».

[ RJ ] est hauteur , « RJ = 6 mm »  , « SJ = 4 mm ».

Calculez  « SR » , « ST » , « JT » , « RT ».

Donnez les valeurs exactes.

Problème 5

D’après un brevet 1987 .

« ABC » est un triangle rectangle d’ hypoténuse  [ BC ].

Une parallèle à ( BC) coupe [ AB ]   en « E »  et  [ AC ] en « F ». On pose « AE = x  » .

1°) Sachant que « AB = 10 cm » et « AC = 7,5 cm » , calculez BC.

2°) Comparez les angles :   et 

En évaluant    et     établir une relation entre « EF »  et « x ».

3°) « H » et « G » sont les projetées orthogonaux  respectifs  de « E » et « F » sur (BC ).

Evaluez de deux façons différentes     .

En déduire  une relation entre « EH » et « x ».

4°) A quelle condition simple le quadrilatère « EFGH » est-il un carré ?

Déterminez « x »  pour que « EFGH » soit un carré.

On donnera d’abord la valeur exacte de « x » , puis la valeur approchée à 0,01 mm près par excès..

Problème 6 .

« ABC » est un triangle rectangle  en « A » . La bissectrice de    coupe ( AC ) en « M ».

Sachant que « BA = 85 mm »  et    , calculez « CM ».

Problème 7

« EDF » est un triangle tel que  ;  et « DF = 100 ».

Calculez  , « DE » et « EF » ( utilisez les hauteurs  [DH]  et [ FK] ).

Problème 8 .

On considère un cercle de centre « O » dont le rayon est 24 cm.

« M » est un point  tel que « OM = 63 cm ». On trace par « M » deux tangentes  au cercle.

On désigne par « E » et « F » les points communs au cercle et à ces tangentes.

Calculez une valeur approchée ( à 1° près ) de l’angle   .

Problème 9

« ABC » est un triangle rectangle  en « A »  tel que .

[AM]  est médiane  [ AH] est hauteur.

1°) Démontrez que le triangle «  BMA » et « CMA » sont isocèles.

2°) Donnez la valeur en degré de   ,  ,   ,  , .

3°) Sachant que « BC = 20 cm »  , calculez  « AM » , « MH » , « HA » , « HC » , « AC ».

4°) Déterminez la valeur exacte de 

( pour cela , calculez le sinus de   dans le triangle rectangle « ABC »).

Problème  10

« ABC » est un triangle isocèle tel que « AB = AC = a » , [ AH]  et [ BK]  sont deux hauteurs.

1°)  On désigne   . Démontrez que   et que .

2°) En utilisant « a » et «  » , calculez « HC »  et « BC » puis calculez « BK »  ( dans le triangle « BKC »).

3°)     En utilisant « a » et l’angle  « 2  »          calculez « BK » dans le triangle « BAK ».

4°) Déterminez une égalité entre   ; ( Pour cela  , utilisez les résultats des questions  « 2 » et « 3 » )