Le signe : 

 «  13 + 7  =   5  x  4 »   s’appelle une égalité. 

Elle exprime que ce qui est de part et d’autre du signe « = » est  de la même valeur.

En effet : on calcule « 13 + 7 » , on trouve « 20 » ; puis on calcule     « 5  x  4 » , on trouve « 20 »

On dira que  «  13 + 7  =   5  x  4 » est « une phrase mathématique » ; et cette phrase est   « vraie ».
 Le verbe de cette phrase est le signe « = » qui se lit « égale » ou « est égal à.. »

On retiendra :

Une égalité est une phrase mathématique qui se présente sous la forme « a = b »  ou « A = B » dans laquelle « A » et « B » représente le même objet mathématique

Remarques :

·      Quand on écrit  « A = B » ,on sous entend que cette phrase est « vraie ».

·      Si la phrase « A = B » n’est pas vraie , on écrit : «  A  B » .

·      «  A  B » .se lit «  A n’est pas égal à B »   ou  «  A est différent de B »

Vocabulaire :

Dans toutes les égalités :

-          ce qui s’écrit à gauche du signe « = »égal s’appelle « le membre de gauche » ou « premier membre »

-          ce qui s’écrit à droite  du signe égal « = »s’appelle « le membre de droite  » ou « deuxième  membre »

Propriété 1 : « a » et « b » représente le même nombre , On peut écrire indifféremment les égalités  « a = b »  ou  « b = a »

Propriété 2 : « a » , « b » et « c » désignant des nombres ;

Si  « a = b »  et  « b = c »,  alors « a » , « b » et « c » représentent le même nombre ; on peut dons écrire  « a = c ».

Quand « a = b »  et  « b = c » ; on écrit parfois , par convention, « a = b  = c »

Exercice : Dans un devoir , un élève a écrit  «  8 x 5 = 40 +7 = 47 »

Expliquer (oralement ) pourquoi c’est faux et donner une bonne écriture.

  Le signe de reconnaissance de l’égalité est  le symbole  :          «    =     »

Ce qui est incontestable : ce qu’il y a « à droite » du signe est égale à ce qu’il y a « à gauche » du signe égal .

     En sciences : l’égalité est représentée (symbolisé)   par la  balance de Roberval . Après l’, équilibrage des plateaux   ( les plateaux sont horizontaux , l’aiguille réglée au « zéro ») la balance Roberval est l’image type de l’égalité dans un partage.

On dit que  , ce qu’il y a sur le plateau de gauche est égal en masse à ce qu’il y a sur le plateau de droite.

 Construction de ce symbole de l’égalité :  le symbole de l’égalité est  le tracé de deux traits forts ,parallèles ,et parallèle a la ligne d’écriture, d’environ 3 mm de longueur.

C’est le signe le plus utilisé !

Quand ce n’est pas égal : on dit « inégal »  le symbole est :¹ ; c’est ensuite que l’on peut effectuer un  classement , en ordre. ! ! !, alors que l’ on a pas trouvé l’égalité .

Attention : les expressions algébriques sont des simplifications ( écriture simplifiée ) des sommes algébriques ; il est donc impératif de savoir transformer les expressions algébriques en somme algébrique avant de rechercher  à identifier , les termes .

Les INEGALITES.

Info +++

Nous avons déjà rencontré des « inégalités » à l’école élémentaire ; par exemple :

  3 <  7    ( qu’il faut lire :  3 est inférieur à 7) ; on dit aussi : «  3 est plus petit que 7 »

ou 

  9 >  4    ( qu’il faut lire :  9 est supérieur à 4 )  ; on dit aussi : «  9  est plus petit que 4 »

En voici d’autres :

on lit : le nombre « x » est inférieur ou égal à 9

on lit : le nombre « y » est supérieur  ou égal à 3

Ce sont des phrases mathématiques , dont le verbe est représenté par un des quatre signes :   :   < ; > ;   ou 

On retiendra :

 « a » et « b » représentent des nombres

La phrase mathématique  :

Se lit en écriture littérale

«    a > b     »

«  a »   est  strictement supérieur à « b »

«    a <  b     »

«  a »   est  strictement inférieur à « b »

«    a  b     »

«  a »   est  supérieur ou égal à « b »  et signifie :  «    a > b     »  ou   «    a =  b     »

«    a   b     »

«  a »   est  inférieur ou égal à « b » et signifie :  «    a  <  b     »  ou    «    a =  b     »

Remarque 1 :    « x »  et   « y »    représente des nombres ;    « x  >   y »  a la même signification  que   «  y <  x »

Remarque 2 :   Comme pour les égalités, dans toute égalité, on parle de :

« membre de gauche » et   « membre de droite ; ou de « premier membre » et « deuxième membre ».

Exercice : Compléter en utilisant convenablement   >  ou   < .

14 ……………7      ;         27 ……………………34 ;       126 …………18 ;     248  ………………. 5462

Vocabulaire :

-          9 > 5 et 13 > 7   sont des inégalités de même sens .

-          Il en est de même pour 5 < 7   et  8 < 11  ou     ou     x  y    et    m 6

-          9 > 5 et    5 < 7  sont des inégalités de sens contraire.

Exercices :

Ecrire des inégalités de même sens : ……………………………………………………………………………….

 Ecrire des inégalités de sens  contraire : ……………………………………………………………………………

DOUBLE INEGALITE.

Info plus.

Considérons les deux inégalités de même sens :   7 <  13   et 13 <  39

Dans la suite naturelle des nombres entiers naturels, « 7 » est placé avant « 13 » , et « 13 » est placé avant « 39 »., on a donc  « 7 » est placé avant « 39 »

On condense ces 3 inégalités par une double inégalité :    7 <  13   <  39     ; les nombres « 7 ;  13 ; 39  »  sont alors rangés dans l’ordre croissant.

·      On peut faire de même avec plusieurs inégalités de même sens :

   7 <  13   ;  13 <  39 ;  39 <  67 , on écrit alors :   7 <  13   <  39   < 67             

·      On peut faire de même avec les     :   > ;   ou 

Attention :  Dans le cas   4  < 13   et  13  > 11  , on ne peut pas écrire      4  < 13  > 11 par ce que les nombres ne sont ni rangés par ordre croissant ni dans l’ordre décroissant.

Exercice : on vous donne des phrases mathématiques , barrer celles qui sont fausses ou incorrectes :

33 > 15 < 17

15    17 > 8

27 < 54 > 16

27  27 59

115795

43 79  43

16 <  13 < 19

23 < 47 < 47

Exercice 1 :

En utilisant le signe <   ; ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

13 ; 43 ; 8 ; 132 ; 27 ;55 ;2 ; 139

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Exercice 2 : Ranger dans l’ordre décroissant les nombres suivants en utilisant le symbole convenable.:

15 ; 43 ; 9 ; 133 ; 27 ;65 ; 2 ; 169

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

IV  ) ORDRE DE GRANDEUR D’UN ENTIER NATUREL , ENCADREMENT .

Info plus.

a )  On sait que 325 846 est voisin de 300 000 ; que  7247 est  voisin de 7000.

On dit que 325 846 est de l’ordre des centaines de mille ; que  21 675  est de l’ordre des  dizaine de mille  et que  7247 est de l’ordre des mille.

On dit que  300 000 est un ordre de grandeur  de 325 846  , que  20 000 est un ordre de grandeur de  21 675 et que  7000 est un ordre de grandeur de 7436

Dans le cas de 48 873 , on peut prendre 50 000 comme ordre de grandeur ; ( 48 étant plus prés de 50 que de 40 )

Un ordre de grandeur est aussi  appelé  « arrondi ».

b) l’encadrement :  ( double inégalités)  ( INFO PLUS +++)

suivant l’ordre choisi ou imposé on peut  encadrer  « 325 846 » :

300 000 <  325 846  < 400 000  ; 

si l’on veut être plus précis , on peut « resserrer » l’encadrement .

comme    320 000 < 325 846 < 330 000 ;

ou comme  325 000 <  325 846  <  326 000

c) « valeur approchée par excès » ou « valeur approchée par défaut »

prenons par exemple : 300 000 <  325 846  < 400 000 ;

nous dirons :

300 000 est la valeur approchée à 100 000 près  par défaut de  325 846.

400 000 est la valeur approchée à 100 000 près par excès de 325 486 .

Au lieu de dire «  valeur approchée » on dit aussi «  approximation »

Autres exemples :

320 000 < 325 846 < 330 000 ; les valeurs approchées sont à 10 000 près.

325 000 <  325 846  <  326 000 ; les valeurs approchées sont à 1 000 près.

Les valeurs approchées peuvent être de plus en plus précises :

V) MULTIPLICATION OU DIVISION PAR 10 ; 100 ; 1 000 d’un nombre entier

Cours + « multiplier et diviser par 10 ;100,.. »

Info +++ Fiche : multiplier par 10 ;100 ; ….

Info +++ : Fiche :diviser par 10 ;100 ;..

« Multiplier »

·      Pour multiplier un nombre entier par « 10 » , il faut placer un zéro à  la droite de ce nombre.

Exemples :   35 x 10  =  350   ;     9300 x 10  =  93000

·      Pour multiplier un nombre entier par « 100 » , il faut placer deux  zéros à  la droite de ce nombre.

Exemples :   35 x 100  =  3500   ;     9300 x 100  =  930000

·      Pour multiplier un nombre entier par « 1 000 » , il faut placer trois  zéros à  la droite de ce nombre.

Exemples :   35 x 1000  =  35000   ;     9300 x 1000  =  9300000

Compléter :    57 x 10 000 = ……………………………… ;    831 x 100 000= ……………………………

      « Diviser »

·      Pour diviser par « 10 ;100 ; 1 000 ; … » on enlève un ou des zéros ;  ( si le nombre se termine par un ou des zéros)

54 000 : 10 =     5400   ;   500 / 100  =  5    ;    47000 :  1000 =   47

·      Pour diviser par « 10 ;100 ; 1 000 ; … » on décale une virgule vers la gauche ;  ( si le nombre ne se termine pas par  un ou des zéros)

54  : 10 =     5, 4      ;  1 55 :  100  =  1 ,55    ;    4700 :  1000 =   4,7 ; 93 : 100  =  0,93 ;   93,7 : 100 =  0,937 ,

Cas avec des nombres décimaux : ( nombres « à virgule »)

« MULTIPLIER »

·      Multiplier par « 10 » : pour multiplier un nombre décimal par « 10 » on décale la virgule de 1 rang vers la droite.

 3,2 x 10 =   32

24,5 x 10  = 245

2,34 x 10  = 23,4

543,567x 10 = 5435 , 67

1,02  x 10  = 10,2

0,35  x 10  = 3,5

·      Multiplier par « 100 » : pour multiplier un nombre décimal par « 100 » on décale la virgule de 2 rangs vers la droite.

 3,45 x 100  =  345

368,956 x 100 = 36895,6

0,456 x 100 = 45,6

0,056x 100 = 5,6

·      Multiplier par « 1000 » : pour multiplier un nombre décimal par « 1000 » on décale la virgule de 3 rangs vers la droite.

368,956 x 1000 = 368 956

0,015  x 1000 =  15

0,5678x 1000= 567,8

« DIVISER »

·      Pour diviser un nombre décimal par « 10 » on décale la virgule de 1 rang vers la gauche .

24,5 : 10  = 2,45

2,34 : 10  = 0, 234

·      Pour diviser un nombre décimal par « 100 » on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche .

·      Pour diviser un nombre décimal par « 1000 » on décale la virgule de 3 rangs vers la gauche .

Exercice 1

Compléter en utilisant   10 ou 100  ou 1000  ou 10 000 ou …..

5,76 x …..=     57,6

1,57 x …………= 15 700

0,0043 x …………………= 0,43

273 :  …………=  0,273 ……

0,082 : …………………….= 0,00082

9,7 : ………………=  0,97

Faire comme précédemment mais en précisant l’opération :  « : »   ou « x »

52,18 …………………………………….= 0,5218

0,17………………………………..= 170

34 ……………………………………..= 0,0034

63,17……………………………………..= 0,006 317

43,7 ………………………………….= 437 000

84,532………………………………….= 84 532

0,073………………………………………= 730

0,0052……………………………….= 0,00052

54 381 …………………………………..= 543,81

Exercice 2 : compléter les égalités.

……………………x 1  000 = 18

………………………………x 10 000= 7,2

…………………………………….x 10 = 647,8

……………………… : 1 000 = 0,8354

…………………………………….. : 100= 84,75

……………………………………… : 10 = 0,057

Faire comme précédemment :

…………………………………. : 10 000=0,0065

…………………….x 100 = 3459

…………………………………… : 100 = 7,325

………………………………x 1 000 = 23 000

………………………. : 1 0 000= 0,42

………………………………… : 100 = 13,6

………………………………… : 1 000= 437

………………………. : 1000 = 0,0000093

……………………………………x 10 = 0,038

Ce qui termine ce cours de 6^ème