1°) Division- Quotient d’ entiers naturels.

-        « rappel » ;  « Quotient décimal exact » ; « Quotient décimal approché d’entiers naturels »

2 °)  Division – Quotient exact de décimaux.

3°) Le quotient approché des décimaux.

4°)  Ordre de grandeur d’un quotient.

FICHE :

1°) Division- Quotient d’ entiers naturels.

A ) Rappel :

Effectuez les divisions sans virgule ( voir cours n°..)

( 1 )

1 4 31

53

( 2 )

2 419

  37

Dans le cas de la division ( 1 )

    La division « tombe » juste : le reste est …………………..( 27 )

   On dit que «  27 . » est le quotient entier exact de  «  1 431 » par « 53 » . On écrit «  1 431 : 53 = 27 »

Vous savez que ( voir la fiche …) que le quotient de «  a par b » s’écrit :      on a donc  « 

On peut écrire alors  «  » signifie : 1 431 =  53   27 

Dans le cas de la division ( 2 ) :

On ne peut pas écrire  «  2 4 19 : 37 = 65 »   ou  = 65   car le reste n’est pas égal à «  0 ». mais on peut écrire  «  2 419 = ( ………….) + ……..( ce qui permet d’effectuer  une vérification) .

On écrit parfois «  2 419 : 37 = 65 »   ou    65   ( )

On dit que « 65 » est : «  quotient  entier approché » de  « 2419 par 37 » .

B )  Quotient décimal exact d’entiers naturels.

On vous demande d’effectuer la division avec virgule…comme vous l’avez déjà en primaire, (école élémentaire) jusqu’à ce que vous obteniez un reste nul.

  5

3

1          

, 0

0

0

7 2

- 5

0

4

7, 375

0

2

7

0

    -

2

1

6

0

5

4

0

﷐        

-

5

0

4

0

3

6

0

-

3

6

0

0

0

0

On dit que «  7,375 » est le « quotient décimal exact » de « 531 » par « 72 »

Et l’on peut écrire que :    ce qui signifie :  «  531 =  …72………7,375…….. »

2°) « Quotient décimal approché d’entiers naturels »

Soit la division suivante , nous allons montrer que le résultat peut s’exprimer sous  différente valeur , on dit que le quotient est approché à « n » décimal prés , « par défaut ou par excès » .

4

5

7

,   0

0

0

3 7

Vérification :

457 =  ( 37  12,351 ) + 0,0 13

457 =  456,987 + 0,013

…457…..= ……457………

0

8

7

12 , 351

1

3

0

1

9

0

0

5

0

0

,    0

1

3

Expression du résultat ( quotient) :

«  12 » est le quotient approché à    ……… 1 près par défaut de « 457 » par « 37 »  .

«  13 » est le quotient approché à    ……… 1 près par excès  de « 457 » par « 37 »  .

«  12,3 » est le quotient approché à    ……… 0,1 près par défaut de « 457 » par « 37 »  .

«  12 , 35» est le quotient approché à    ……… 0,01 près par défaut de « 457 » par « 37 »  .

«  12 , 352 » est le quotient approché à    ………0,001  près par excès  de « 457 » par « 37 »  .

Activité 1 :

Donnez le quotient approché à 0, 0001 près par excès de « 926 »  par « 43 » :………………………

Activité 2 :

Complétez les égalités :

9    ……. = 72

2 °)  DIVISION – Quotient exact de décimaux.

Activité 3 :

Problème : Vous possédez   « 30 € » et vous voulez achetez des gâteaux  coûtant chacun « 6 € ». Combien pouvez-vous en acheter ?

Pour trouver le nombre de gâteaux, vous diviser ………30………..par ……………6…………Vous trouvez :………5………

Vérification :  Il y a ……5………….gâteaux  coûtant chacun « 6 € ».   Prix total :   6  ……5……= ……30……..

Vous pouvez écrire :   30  6 = ……5……….. ;;  signifie que      «  30  =  6  ……5………. »

Fiche 106

Activité 4:

Vous possédez  «  40,25 € » et si vous voulez acheter des gâteaux  coûtant chacun « 5,75 € »

Combien pouvez-vous en acheter ?

La situation est la même qu’au problème « 3 »

Pour trouver le nombre de gâteaux, vous êtes amené à faire la division de « 40,25 »par «  5,75 ». Mais comme vous ne savez pas encore diviser un nombre à virgule  par un nombre à virgule, vous allez raisonner de la manière suivante :

Vous pouvez dire que :

 « 40,25 € »  est égal à «  4075… centimes »  et   «  5 , 75 € »   est  égal à « …575 .  centimes ».

Or, vous savez faire la division de deux entiers naturels :

«  4 025  575 = ……7……. »

Vous pouvez donc acheter ……7.….gâteaux.

            4

0

2

5

5

7

5

-       4

0

2

5

7

             0

0

0

0

Vérification :  On a  ………7………. Gâteaux coûtant chacun  « 5,75 € » .

Le prix total est donc  «  5,75 ……7……=…40,75…… »

On écrira  alors «  4 0,25  5, 75 = ……7……. » signifie que   «  4 0, 25 =  5, 75   ……7……. » 

Dans le calcul précédent , on a remplacé la division de « 40,25 »  par « 5,75 » par la division de « 4 025 » par «  575 ». Pour cela , on a multiplié dividende et diviseur par  « …100….. »

Lorsque l’on a des divisions de décimaux, on peut raisonner comme précédemment .

Dorénavant, on utilisera la règle suivante que vous admettrez….

Règle :

On ne change pas  le quotient d’une division si l’on multiplie (ou « divise ») le dividende et le diviseur par un même nombre ( non nul).

En pratique :

Quand on a à diviser un nombre décimal par un autre nombre décimal , très souvent, on multiplie ces nombres par « 10 » ; « 100 » ; « 1 000 » ;…..de telle sorte que le diviseur soit un nombre entier .

Tout revient à décaler la virgule de chaque nombre de  « 1 », « 2 » , « 3 »,…rangs vers la droite.

Remarque : Par analogie avec les entiers , le quotient de décimaux « a »  et « b » s’écrit :  

A retenir :

On appelle « quotient exact » d’un décimal « a » par un décimal « b »  ( noté :  «  ab »  ou  «  » ) le nombre ( si il existe) par lequel il faut multiplier « b » pour obtenir « a » .

En écriture algébrique on nommera «  »  le nombre recherché  …

«  ab = »  signifie que  «  a =  b   »   ou   autrement dit :                 «  » signifie que  «  a =  b   »  

Activité 5:

Sachant que  «  1677 : 43 = 39 » , sans faire d’autres calculs et en vous inspirant de ci-dessus, complétez : ( «  » est la valeur du nombre cherché )

16, 77  4,3  =  ( )

= 3,9

0,01677   0,043=

=

167,7  0,0043 =

=

16 7700    0, 43  =  ( )

= 390 000

0,1677  430 =

=

1677  4300 =

=

1 6 77 000    4300  =  ( )

= 390

0,001677 0,000 043

=

1,677 0,00043 =

=

Activité 6:

Effectuez les opérations ( divisions) suivantes. ( le quotient exact existe dans chaque cas .)

29,682

0,34

0,05 746

8,45

0,2451

0,0057

Activité 6:

On acheté 42,8 litres d’huile d’olive  pour  « 318,86 € » le litre.

Quel est le prix d’un litre ?

Découverte : « Propriété »

Vous savez que  « 2,6 > 1 »    et  « 0,7 < 1 »

On doit calculer «  9,1 2,6 »     et   «  9,1   0,7 »

-       «  9,1 2,6 =   …3,5…»    , trouvez – vous un nombre plus grand ou plus petit que « 9,1 » ?............... « plus petit » ..............

-       «  9,1 0,7 =   …13…»    , trouvez – vous un nombre plus grand ou plus petit que « 9,1 » ?............... « plus grand » ..............

Faîtes d’autres essais, vous constaterez toujours que :

Quand on divise un nombre « a » :

-       Par un nombre plus grand que « 1 » , on obtient un nombre plus … « petit » ………….que « a ».

-       Par un nombre plus petit  que « 1 », on obtient un nombre plus … « grand » ….que « a ».

Activité 7:

Un restaurateur achète un fût  de 78 litres limonade .

1°) Avec cette limonade, combien de carafes de  2 litres peut-il remplir. ?................................................

2°) Avec cette limonade, combien de carafes de  1,3  litre  peut-il remplir. ?................................................

3°) Avec cette limonade, combien de verres s de  0,25  litre peut-il remplir. ?................................................

3°) Le quotient approché des décimaux.

Il existe des cas où la division ne se termine pas…

On vous demande d’exécuter la division de  « 768,28 par 8,3 » ( trois chiffres après la virgule)

Vu avec la calculatrice :  92,563855421686746987951807228916

7

6

8

   2

,  8

0

0

8

3

7

4

7

92, 563 

2

1

2

1

6

6

0

4

6

8

4

1

5

Vérification :

5

3

0

=  ( 8,3  92,563) + 0,0071

4

9

8

=  768,2729 + 0,0071  =  768,28

3

2

0

0   ,

0

     0

7

1    

-       Quel est le quotient approché à  « 1 » prés par défaut  de 768,28  par « 8,3 » ?   ………92……………

-       Quel est le quotient approché à  « 0,1 » prés par défaut  de 768,28  par « 8,3 » ?   ………92,5 ……………

-       Quel est le quotient approché à  « 0,01 » prés par excès de 768,28  par « 8,3 » ?   ………92,57……………

-       Quel est le quotient approché à  « 0,001 » prés par défaut  de 768,28  par « 8,3 » ?   ………92,564……………

4°)  Ordre de grandeur d’un quotient.

Que le quotient soit « exact » ou « approché » , vous pouvez toujours éviter des erreurs grossières en faisant un calcul d’ordre de grandeur.

Exemple : Considérons le quotient de « 6,283 »  par « 0,00309 »

Un ordre de grandeur de  «  6,283 » est « 6 » . Un ordre de grandeur  « 0,00309 » est «  0,003 ».

Un ordre de grandeur du quotient est alors «  6 : 0,003 = …6000 3 » …2 000 ……» ;

Contrôlez en cherchant le quotient entier approché : « 2033,333 »

Activité 8 .

Faites de même en complétant le tableau ci-dessous :

Division à effectuer.

Calcul d’un ordre de grandeur.

Résultat approché.

83 739   52,36

80 000  50   soit  8 000 par 5

1 600

0,634   0,00218

0,6     0,002   soit  600 par 2  

300

0,001 08   213

0,001   200 

0,000005

5°) Situations problèmes.

1°) On choisit un nombre décimal, on le multiplie par « 5,8 » ; au résultat trouvé on retranche « 6,2 » ; on divise par « 3,7 » au nombre trouvé , on ajoute « 4,9 ».

On obtient finalement « 47,9 ».

Quel était le nombre initialement choisi ?

Pour vous aider, utilisez le schéma ci- dessous en le complétant…

- 6,2

 3,7

+ 4,9

47,9

?

?

?

?

28,5

165,3

151,9

43

2°) Un rectangle est tel que sa largeur est le quart de sa longueur.

Sachant que son périmètre est de « 78 m », déterminez ses dimensions.

L + l = 78 ;  ou  L + L/4 = 78 ;  5 L / 4 = 78 ;  5L = 78 fois 4 ;  5L = 312 m ;  L = 312 / 5 =  62,4 m ; ……..( 62,4 / 4 = 15,6 )

3°) Une personne paye  2074,56 € de loyer mensuel.

Combien paie-t-elle par an pour son loyer ?

Quel  est le loyer journalier au centime prés ( prendre 1 an = 365 jours )

4°) Un livre comporte 244 pages. IL a une épaisseur de 21,5 mm. L’épaisseur de chaque couverture est de 1,5 mm . Calculer la valeur approchée à 0,01 mm prés de l’épaisseur d’une feuille.

5°) Un marcheur veut connaître la longueur de son pas. Pour cela, il compte bien il fait de pas sur une longueur de 1 km ( distance entre deux bornes kilométriques)

Il a trouvé 1382 pas . Quelle est en mètre à 0,01 prés la longueur de son pas. ?

6°) Un coureur fait une course d’orientation . La distance entre deux balises est de 300 mètres, il sait que lorsqu’il court il parcours  1,20 m par double pas .

Combien de double pas doit-il compter pour arriver au environ de la balise qu’il doit trouver. ?