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Classe de 4ème Collège. |
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Pré
requis: |
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ENVIRONNEMENT
du dossier:
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DOSSIER géométrie plane : La DROITE
des MILIEUX dans le triangle. |
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Fiche
1 : Application de la propriété sur
la projection du milieu d’un segment. (
voir
le théorème 1) |
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Fiche
2 : Exercices (sur l’ utilisation du
théorème 1). |
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Fiche
3 : Droites des milieux dans le triangle . (Théorème 2 : dit « Théorème de la droite des milieux » ). |
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Fiche
4 : Exercices ( avec utilisation du théorème n°2 ) |
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Fiche
5 : : Exercices ( à faire ) |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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Corrigé évaluation |
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Fiche
3: Droites des milieux dans le triangle. |
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Voici un
triangle « ABC » « M »
est le milieu de [ AB ] « N »
est le milieu de [ AC ] Nous démontrons
que ( MN ) est parallèle à ( BC ) Hypothèse : - - Conclusion : |
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Démonstration : Considérons
la projection de (AB) sur (AC) selon la direction de la droite ( BC). « A »
a pour projeté ……….. « A »… Le
projeté de [ AB
] est [ AC ] . D’après la propriété
« 7 » , on peut dire que : Le
point « M » milieu de [ AB ] se
projette au milieu de [ AC ] qui est
le point « ….. ». Donc
la droite ( MN ) est la projetante de
« M ». Elle a donc la même direction que ……. Donc
( M N ) et ( BC )
sont …………………….. |
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Théorème 2 :
dit « Théorème de la droite des milieux » Dans tout triangle , si une droite passe par les milieux de deux
côtés , alors elle est parallèle au troisième côté. |
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Remarque : ce théorème servira à prouver
dans certains cas que deux droites sont parallèles. |
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Activité
n° : |
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Ci-contre :
Voici un triangle ABC. « A’ »
est le milieu de [
BC] La
parallèle à ( AB ) passant par « A’ »
coupe ( AC ) en « B’ » La
parallèle à ( BC ) passant par « B’ »
coupe ( AB ) en « C’ ». Démontrez
que ( A ' C '
) est parallèle à ( A C ). Hypothèse
: ........ …… Conclusion :
………………………. |
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Commentaire : A
ne pas écrire dans la rédaction d’un devoir). On
peut démontrer que ( A’C’) est parallèle à ( AC ). Pour
cela , on va essayer de faire apparaître la
situation du théorème 2 : « Dans tout triangle , si une droite passe par les milieux de deux
côtés , alors elle est parallèle au troisième » Il
faut donc trouver un triangle dans lequel
( A ‘ C’ ) passe par les milieux de 2 côtés. Or, on sait
par hypothèse que « A’ » est le milieu de ………… ,
l’on peut prouver que « C’ » est
le milieu de [ BA ] , alors en appliquant le théorème n° . . au triangle … , on
pourra affirmer que ( A ‘ C’ ) et parallèle à
( A C ) . |
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Il
reste à prouver que « C’ » est le milieu de [ BA
]. Pour
cela, on pense au théorème n° 1 : . Il faut alors trouver un triangle dans lequel une
droite est parallèle à l’un des côtés et passe par le milieu d’un autre côté
de telle sort qu’elle coupe [ BA ] en son milieu. |
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Corrigé : Démonstration : Dans
le triangle « ABC » : Par
hypothèse : « A’ » est le milieu de [ BC
] et ( A’ B’) est parallèle à ……. , donc
d’après le théorème n° .1. , « B’ » est le milieu de ……. . Dans
le triangle « ABC » , on vient de
dire que « B’ » est le milieu de ……..……………………………………………. Dans
le triangle « ABC » , on sait par
hypothèse que « A’ » est le milieu de ………
. et on vient de prouver que « C’ »
est le milieu de …….. donc d’après le théorème n°….. , la droite
( A’C’) est …………………………. |
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Fiche
4 : Exercices
types. ( avec utilisation
du théorème n°2 ) « Dans tout triangle , si
une droite passe par les milieux de deux côtés , alors elle est parallèle au
troisième » |
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Exercice 1 : Ci-contre
on vous a représenté un quadrilatère
quelconque « ABCD » . « M »,
« N », « P » et « R » sont les milieux respectifs
de [ AB ]. [ BC ]. [ CD ]. [ DA ]. Démontrez
que (MR) est parallèle à ( N P )et que ( MN ) et
parallèle à ( RP ) . Indication :
Il faut considérer successivement les triangles « ABD » et
« BCD » dans lesquels on appliquera le théorème n°2. Grâce à la
transitivité du parallélisme, on en déduit que ( MR
) est parallèle à (NP). On effectuera
la même démonstration pour ( MN ) et ( RP ). |
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Exercice
n°2 : « ABCD »
est un trapèze ( AB ) // ( CD). « M »,
« N », « P » sont les milieux respectifs de [ AD ] , [ BD ] ,
[ BC]. Démontrez
que « M »
, « N » et « P » sont alignés . |
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Fiche
5 : : Exercices ( à faire ) |
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Commentaires : Pour vous
simplifier la tâche , les exercices proposés ci-dessous , ont été choisis de
telle sorte que les propriétés à utiliser dans les démonstrations figurent
parmi celles qui ont été rappelées ou étudiées au programme « 4ème »
. Utilisez les
théorèmes n°1 et n °2 de préférence à la propriété n°7 ……. |
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Exercice n°
1 : On
donne un triangle « ABC ». « P »
est un point quelconque de [ BC ] . « N »
est un point quelconque de [ AC ] « M »
est un point quelconque de [ AB ] ( MN ) coupe (
AP) en « E ». Démontrez
que « E » est le milieu de [ AP ] |
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Exercice n°
2 : Trois
droites « d1 » ;
« d2 » et « d3 » se coupent en O. Soit
« A » un point de « d1 » et « M » le
milieu de [ AO ] . On
trace par « A » une droite
qui coupe « d2 » en « B ». La
parallèle à cette droite passant par « M » coupe « d2 »
en « N ». On
trace en « B » une droite « d3 » en « C ». La
parallèle à cette droite passant par « N » coupe « d3 »
en « P ». Démontrez
que les droites ( AC ) et ( MP ) sont parallèles. |
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Exercice n°
3 : On
donne un triangle « ABC ». « E »
est un point quelconque de [ BC ] . « F »
est le milieu de [ BE ] « G »
est le milieu de [ EC ]. La
parallèle à ( AE ) passant par « F »
coupe ( AB ) en « H » . La
parallèle à ( AE ) passant par « G » coupe ( AC ) en « K » . Démontrez
que les droites ( HK ) et ( BC ) sont parallèles. |
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Exercice n°
4 : Sur
une droite « d » , on place 4 points « A », « B »,
« C » , « D »,
dans cet ordre tels que AB =
BC = CD. Soit
« E » un point n’appartenant pas à la droite « d ». On
appelle « M » le milieu de [ DE] On
vous demande : 1°)
Démontrez que ( CM ) et (BE) sont parallèles. 2° ) ( AM ) et (BE) se coupent en « F »,
démontrez que « F » est le
milieu de [ AM ] |
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Exercice n°
5 : On
donne un triangle « ABC ». « D »
est un point quelconque de [ BC ] . « M »
est le milieu de [ BD ] « N »
est le milieu de [ DC ]. Par
le milieu « K » de [ AD ] , on trace la
parallèle à ( BC ) qui coupe ( AB) en « E » et ( AC ) en « F ». Démontrez
que ( EM ) et (FN) sont parallèles. |
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TRAVAUX AUTO- FORMATIFS.
1°) Compléter les
phrases suivantes :
La droite qui relie les milieux de deux cotés d’un triangle
………………………………………………..…………côté.
2°) Le segment qui relie les milieux de deux côtés d’un
triangle a une longueur égale ……………… de la
longueur du troisième coté.
3°) Citer
les 2 théorèmes relatifs « aux
milieux ».
1°) Tracer un triangle
quelconque : et tracer les droites
des milieux .
2°) Droite
des milieux d' un triangle .
a) Construire un triangle de côtés AB = 6 cm , BC = 7
cm et AC = 8 cm . Placer le point M au milieu du segment [ AB
] et tracer la parallèle à [ BC] qui
coupe [A C] en N .
b)Appliquer
la relation de Thalès pour prouver
que N est le milieu de [ AC] . La
droite ( MN )
est dite « droite des
milieux » .
b) Construire les deux autres droites des milieux du triangle .