collège 3ème : l'addition vectorielle- corrigé

 

 

Classe de  troisième Collège.

 

 

 

 

 

Fiches :      L  ‘ Addition vectorielle .

 

 

 

 

 

 

Pré requis:

 

La translation

 

Inégalité triangulaire

 

Soustraction de deux nombres relatifs

 

Composantes d'un vecteur

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

IMPORTANT : si vous avez des problèmes , il faut reprendre à ce niveau :    voir la définition d’un BIPOINT     suivi du «  bipoint équipollent »

2°) Les coordonnées d’un vecteur

Objectif suivant :

Distance d’un bipoint

   Info générales :

1°) Le repérage.

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

Objectif suivant

Somme de vecteurs "colinéaires"

Addition géométrique de plusieurs vecteurs (2012-2013).

 

 

3ème

Fiches :      L  ‘ Addition vectorielle .

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Somme de deux vecteurs.

 

 

 

Fiche 2 : Autre façon de construire un représentant du « vecteur-somme ».

 

 

Fiche 3 : Propriétés de l’addition vectorielle.

 

 

Fiche 4 : Relation de Chasles.

 

 

Fiche 5 : Exercices .

 

 

 

 

 

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3ème

Fiches :      L  ‘ Addition vectorielle .

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Somme de deux vecteurs.

Info +++

 

 

 

 

 

Vous avez vu dans la leçon « sur les vecteurs –fiche 6 » que :

Etant donné deux vecteurs    et  , la composée de la translation de vecteur    et de la translation de vecteur  est une translation.

 

Son vecteur est désigné par      ,et l’on appelle le vecteur- somme de   et  de   .

 

L’opération qui , à deux vecteurs , fait correspondre leur somme s’appelle :  « addition vectorielle ».

 

_add_rep_graphique_vect002

 

 

A retenir :

 

 

Pour construire un représentant du vecteur-somme de deux vecteurs   et   on choisit des représentants de   et de   de telle sorte que l’extrémité du premier coïncide avec l’origine du second.

 

Le représentant de      on a alors

 

 

 

_add_rep_graphique_vect003

_add_rep_graphique_vect004

 

 

 

 

 

Exercices : Dans chacun des cas ci-dessous , dessinez  un représentant de        .

 

 

 

 

 

L’origine du tracé est matérialisé par un point .

_add_rep_graphique_vect006

_add_rep_graphique_vect007

 

 

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect008

_add_rep_graphique_vect010

_add_rep_graphique_vect011

 

 

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect012

_add_rep_graphique_vect014

_add_rep_graphique_vect005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Fiche 2 : Autre façon de construire un représentant du « vecteur-somme »

 

 

 

 

 

 

Etant donné deux vecteurs    et   , choisissons des représentants de    et de    de même origine « A ».

 

Soit « B » tel que    et  « B » tel que   .

 

Construisez le point « C » tel que « ABCD » soit un parallélogramme .

On a alors

_add_rep_graphique_vect015

 

 

 

D’après la fiche « 1 » , on peut écrire :      

Mais comme   alors :         et vous remarquez que   est une diagonale  du parallélogramme « ABCD ».

 

 

 

A retenir :

 

 

 

Pour construire un représentant du « vecteur-somme » de deux vecteurs   et   , on choisit des représentants de   et de     de même origine « A ».

que    et  . On construit le point « C » tel que « ABCD » soit un parallélogramme  le représentant de      d’origine « A » alors pour extrémité le point « C ».

 

 

_add_rep_graphique_vect016

_add_rep_graphique_vect017

 

 

 

 

 

Exercice 1 : Dans chacun des cas , dessinez un représentant de       . ( Utilisez la méthode ci-dessus )

L’origine du tracé est matérialisé par un point .

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect018

_add_rep_graphique_vect019

_add_rep_graphique_vect020

 

 

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect021

_add_rep_graphique_vect022

_add_rep_graphique_vect023

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 : « A » , « B » ,  « C »  étant trois point du plan, construisez dans chacun des cas un représentant du vecteur-somme correspondant . ( Utilisez la méthode la plus simple.)

 

 

 

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect024

_add_rep_graphique_vect024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_add_rep_graphique_vect024

_add_rep_graphique_vect024

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Propriétés de l’addition vectorielle.

Info ++++

 

 

 

 

 

« Commutativité » : 

 

 

 

  et   sont deux vecteurs quelconques.

Construisons un représentant de          par la deuxième méthode.

 

 

 

_add_rep_graphique_vect027

_add_rep_graphique_vect026

_add_rep_graphique_vect028

 

 

 

Que l’on place d’abord le représentant de    puis le représentant de   , ou le représentant de    d’abord , puis le représentant de   , la figure est la même.

ON peut donc dire :          

 

 

 

 

 

Pour tout vecteur   ,     ,                                  

 

L’addition vectorielle  est  commutative.

 

 

 

 

 

« Associativité » .

 

 

 

    sont trois vecteurs quelconques.

 

On a représenté ci-dessous deux fois la même figure.

 

 

 

Figure 1

 

Figure 2

 

 

_add_rep_graphique_vect029

_add_rep_graphique_vect030

_add_rep_graphique_vect031

 

 

 

 

 

Vous allez dessiner un représentant de      ( fig.1) et  de    )    (fig.2)

 

 

 

Sur  fig. 1           .                 ;           complétez le dessin .

 

 

Sur  fig. 2           .                 ;           complétez le dessin .

 

 

 

 

 

Vous en déduisez :

    )

 

 

 

 

 

 

Pour tous vecteurs        ,        )   , l’addition vectorielle est  « associative » .

On convient d’écrire :         à la place de        ou    de       )  

 

 

 

 

 

Elément neutre :

 

 

 

 

 

  est un vecteur quelconque . Choisissons  deux points « E » et « F » tels que  .

 

Vous savez que     et que    .On peut donc écrire :

 

  

  

 

 

_add_rep_graphique_vect032

 

 

Pour tout vecteur    ,              et    

 

Le vecteur nul est l’élément neutre  pour l’addition vectorielle.

 

 

 

 

 

Opposé d’un vecteur .

 

 

 

 

 

 est un vecteur quelconque.

Choisissons « A » et « B » tels que

 

 

 

_add_rep_graphique_vect033

 

 

Pour tout vecteur    , il existe un  vecteur que l’on appelle     « opposé de » noté   « Opp. de » tel  que :

  et      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

 

« ABCD » est un parallélogramme de centre « O ».

 

Démontrez que

_add_rep_graphique_vect034

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Relation de Chasles

Info ++++

 

 

 

 

 

Reprenons la construction de   étudiée dans la « fiche 1 » .

 

 

 

_add_rep_graphique_vect003

_add_rep_graphique_vect004

 

 

 

 

 

 

On peut  écrire que :

 

 

 

 

 

Théorème :  « A » , « B » , « C » étant des points quelconques du plan : :

 

Image

 

 

 

 

 

Remarque :  Pour écrire la relation de Chasles  , il n’y a pas besoin de regarder la figure.

 

 

 

 

 

Exercice : « E » , « N » , « K » étant trois points quelconques du plan.

Ecrivez toutes les égalités vectorielles possibles de la forme précédente .

 

 

 Exemple 1 :  

 

 

 

 

 

Exemple 2 :  

 

 

 

 

 

Ci-contre , un vecteur   et des points « S », « R », « T », « L »  , «  G » , « J » .

En utilisant successivement chacun de ces points , écrivez    sous forme de « 2 » vecteurs.

_add_rep_graphique_vect035

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Généralisation :

 

 

 

 

 

Considérons trois points quelconques « M » , « N » , « P ».

 

On peut écrire    ( grâce à la relation de Chasles)

 

Quel que soit le point  « R »   ,     donc    et on peut continuer :

 

Quel que soit le point « S » ,  

 

Donc :                  et on peut continuer indéfiniment .

 

 

 

 

 

 

Théorème :

«  A , B , C , D , E , F » étant des points quelconques , on peut écrire par exemple :

 

image

 

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

 

 

«  A , B , C , D » étant quatre points quelconques du plan, simplifiez les sommes ci-dessous de façon à n’avoir qu’un seul vecteur.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Fiche 5 : Exercices .

 

 

 

« ABCD »  est un parallélogramme de centre « O ».

Dans chacun des cas ci-dessous, on considère la somme de 2 vecteurs.

 

Vous allez déterminer, à l’aide des points de la figure, un représentant du vecteur égal à cette somme. Pour cela :

-        Passez en couleur les représentants de ces deux vecteurs sur le dessin.

-        Expliquez votre calcul ( colonne du centre).

-        Donnez votre résultat ( colonne de droite ).

-        Représentez le « vecteur-somme » sur le dessin . ( d’une autre couleur).

 

 

exemple

« ABCD »  est un parallélogramme , donc   

Donc   

Or :    ( relation de Chasles)

Donc 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

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