Barycentre et lieu géométrique

On introduit ici un nouvel outil, particulièrement performant : le barycentre d'un système de points pondérés du plan ou de l'espace.
Outre sa puissance pour résoudre des problèmes de mathématiques, le barycentre a de nombreuses applications, par exemple dans le domaine des statistiques (notion de moyenne pondérée) ou en physique. D'ailleurs, quand s'est posée la question de savoir si le calcul vectoriel pouvait s'étendre à l'espace, ce sont des physiciens comme Gibbs ou Heaviside qui ont apporté une partie des réponses.

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité :

Voir exemple « concret » d’application

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Le barycentre est un point (dans le plan ou dans l'espace) que l'on détermine grâce à d'autres points connus. Ces points peuvent être pondérés, ce qui veut dire qu'ils sont affectés d'une valeur qui est prise en compte dans la détermination du barycentre. Le barycentre a plusieurs applications, comme notamment la recherche du centre de gravité d'un solide.

Le chapitre des barycentres allie géométrie vectorielle et calculs. Il y a peu de cours, par contre beaucoup de méthodes sont à apprendre.

Qu'est ce que c'est, et à quoi ca sert ?

Le barycentre est un point, un endroit spécial. Si on parlait du barycentre d'un objet, ce serait le "centre" de cet objet, c'est à dire le point d'équilibre de l'objet. En physique, ce point sera utilisé pour étudier l'objet.
Pourquoi parle-t'on de points "pondérés"?
- Imaginez votre double décimètre. Si vous le posez à plat sur une pointe de métal, vous devrez positionner la pointe de métal (G) au centre de la règle pour qu'elle se tienne en équilibre : normal, votre double décimètre est identique à chaque extrémité, chaque point est affecté du même poids, le barycentre est alors l'"isobarycentre" ( iso veut dire égal).
- Imaginez maintenant une louche: elle est bien plus lourde du coté bombé que du coté du manche. Si vous la mettez sur une pointe de métal (G), en positionnant la pointe au milieu de la longeur de la louche, celle ci va pencher du coté le plus lourd. Pour compenser cela et trouver l'équilibre, on va poser sur le manche un poids supplémentaire P. Le centre de la louche sera alors le barycentre du coté bombé affecté du poids "1" , et du manche affecté du poids P.
bary12 - Imaginez enfin que non, finalement, on ne met pas de poids sur le manche pour compenser. Alors pour rétablir l'équilibre, il faudra trouver la position de G la plus adaptée, et donc la rapprocher du coté lourd.
bary14

La plupart des objets de notre vie sont asymétriques. Pour pouvoir étudier les forces qui s'y exercent, leur mouvement ou tout autre chose en physique, il faut "réduire" cet objet à un seul point. C'est le barycentre qui sera choisi, et on l'appellera en physique, le centre de gravité.

Ce qu'il faut savoir :
- la définition du barycentre,
- la propriété du barycentre,
- les petites propriétés,
- l'association de barycentre.

Ce qu"il faut savoir faire:
- Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
- Montrer qu'un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
- Montrer que 3 points sont alignés,
- Trouver des ensembles de points.

Rappels préliminaire nécessaires :
- La relation de Chasles:
- La règle du parallélogramme, avec I le milieu de AB :
- A retenir pour les résolutions d'exercices :
bary6 bary9 bary10

Définition fondamentale : G est le Bar (A,a) (B,b) alors

Construction d'un barycentre :

Sans les coordonnées :

De la définition, grace à la relation de Chasles, on obtient la formule permettant de construire G connaissant A et B :

bary7

Certains profs admettent l'utilisation directe de la formule, d'autres veulent que vous la retrouviez à chaque fois. Regardez dans les exos corrigés comment votre prof procède et faites de la même façon.

Pour retrouver ces formules:

Partez de la définition. Gardez GA puisque AG doit apparaitre dans la formule finale, mais faites Chasles sur GB pour le faire disparaître. Pointez sur le seul point qui reste, A. Vous obtenez aGA + b(GA + AB) = 0. Développez, transformez les GA en AG, isolez-le, et c'est fini.

Avec 3 points la formule devient :

Avec coordonnées :

bary3

Formules à adapter avec 3 points.

Montrer qu'un point est le barycentre de 2 points, ou 3 points:

Le but est donc d'utiliser les données du problème pour arriver à une formule du meme type que la définition du barycentre:
Exemple : AC = 3 CB, exprimer A comme le bary de B et C:
On doit donc trouver un formule du genre aAB + bAC = 0.
On ne touche pas au vecteur AC, on rapatrie CB à gauche du =, et comme CB doit disparaitre, on fait Chasles en pointant sur A:
AC -3 (CA+AB) =0 d'ou AC - 3CA - 3AB =0 d'ou 4AC - 3AB = 0. A est donc le Bary de (B,-3) (C,4).

Dans l'article suivant, nous étudierons les méthodes concernant les barycentres partiels ( ou barycentres associés ) ainsi que les exercices types pour trouver des ensembles de points.

Info Internet :

Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

· en statistiques à la notion de moyenne (ou espérance),

· en physique (cinématique, mécanique du point) à la notion de centre d'inertie (ou centre de masse) ou de centre de gravité,

· et en mécanique du solide à la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique),

· en analyse spatiale au point (Graphie) moyen ou point central

En physique

Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane:

" Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. "

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m₁ et m₂ différentes.

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments $m_1\cdot OA$ et $m_2\cdot OB$ soient égaux. Si par exemple la masse m₁ est 4 fois plus importante que la masse m₂, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle

$m_1\cdot\overrightarrow{OA}+ m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0$

C'est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi disques, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P₀, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

" Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. "

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Autres champs d'application

Le barycentre, créé dans le cadre de la physique et de la mécanique, s'est vite révélé très utile dans bien d'autres domaines.

En géométrie, il permet de repérer des points par rapport à d'autres points : ce sont les coordonnées barycentriques. C'est l'outil privilégié pour démontrer des alignements et des concours. On peut dire que la géométrie vectorielle est la géométrie des vecteurs et des combinaisons linéaires alors que la géométrie affine est celle des points et des barycentres.

En statistique, il permet le calcul et la représentation des moyennes pondérées. En probabilité (Probabilité vient du latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou « certainement vrai »,...), on le retrouve dans l'espérance mathématique.

En logistique (La logistique est une activité de services qui a pour objet de gérer les flux de matières en mettant à disposition et en gérant des ressources correspondant aux besoins, aux...), c'est un outil puissant de décision.

En chimie, il permet de calculer la polarité d'une molécule.

e barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond

· en statistiques à la notion de moyenne (ou espérance),

· en physique (cinématique, mécanique du point) à la notion de centre d'inertie (ou centre de masse) ou de centre de gravité,

· et en mécanique du solide à la notion de moment (moment d'inertie, moment cinétique),

· en analyse spatiale au point (Graphie) moyen ou point central.

On utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.

Un peu d'histoire

En physique

Le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids (Le poids d'un corps nu ou force de pesanteur est la force exercée sur un corps (de masse m) immobile dans le référentiel terrestre (c’est-à-dire, lié à l'objet solide Terre en rotation), par...). C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son...) le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane :

" Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. "

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m₁ et m₂ différentes.

$m_1\cdot\overrightarrow{OA}+ m_2\cdot\overrightarrow{OB}=\vec 0$

C'est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.

" Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. "

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Autres champs d'application

Le barycentre, créé dans le cadre de la physique et de la mécanique, s'est vite révélé très utile dans bien d'autres domaines.

En géométrie (Selon la définition donnée par Euclide dans ses Éléments, la géométrie serait la science mathématique des figures dans le plan et des volumes (les corps, au sens classique) dans l’espace. Cette acceptation, valable durant l'Antiquité...), il permet de repérer des points par rapport à d'autres points : ce sont les coordonnées barycentriques. C'est l'outil privilégié pour démontrer des alignements et des concours. On peut dire que la géométrie vectorielle est la géométrie des vecteurs et des combinaisons linéaires alors que la géométrie affine est celle des points et des barycentres.

En statistique (La statistique (par opposition à une statistique) est l'ensemble des instruments et de recherches mathématiques permettant de déterminer les caractéristiques d'un ensemble de données (généralement vaste). Les statistiques (au pluriel) sont le...), il permet le calcul et la représentation des moyennes pondérées. En probabilité, on le retrouve dans l'espérance mathématique.

En logistique, c'est un outil puissant de décision.

En chimie, il permet de calculer la polarité d'une molécule.

Développement mathématique

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a + b non nul) est l'unique point G tel que

$a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \vec 0$ .

Les coordonnées de G sont alors

$x_G = \frac{ax_A+bx_B}{a+b} \quad y_G = \frac{ay_A+by_B}{a+b}\quad z_G = \frac{az_A+bz_B}{a+b}$

Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la somme des masses a_i est non nulle, le barycentre du système $\left \{(A_i,a_i)\right \}_{i\in\{1; n\}}$ est le point G tel que

$\sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec 0$ .

Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace

$x_{j,G} = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_{j,A_i} }{\sum_{i = 1}^n a_i }$

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.

Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe ou d'une surface.

Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M) où g est une fonction continue (un champ scalaire). Le barycentre est alors le point G tel que

$\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dv = \vec 0$ dans l'espace ou $\int_D g(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm ds = \vec 0$ dans le plan .

Si les points M ont pour coordonnées (x₁;x₂,x₃) la fonction de densité s'écrit g(x₁,x₂,x₃) et les coordonnées de G s'écrivent

$x_{j,G} = \frac{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_j~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3}{\iiint g(x_1 , x_2 , x_3)~\mathrm dx_1\mathrm dx_2 \mathrm dx_3},\quad j \in \{1,2,3\}$

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne (Il y a plusieurs façon de calculer une moyenne d'un ensemble de nombres. Celle qu'il convient de retenir dépend de la grandeur physique que représentent ces nombres. Lorsque, dans...) pondérée :

$x_G = \frac{\int g(x)\cdot x~\mathrm dx}{\int g(x)~\mathrm dx}$

Développements physiques

Centre d'inertie

En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.

Dans le cas d'un corps continu $\mathcal{C}$ , on emploie comme fonction de pondération la masse volumique ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

$\overrightarrow{OG}=\frac{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)\overrightarrow{OM}~\mathrm dV}{\int_{\mathcal{C}}\rho(M)~\mathrm dV}$ ou $\int_{\mathcal{C}} \rho(M)\overrightarrow{GM}~\mathrm dV=0$

Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.

Une propriété étonnante du centre d'inertie est

Rappel de cours:
» G barycentre de {(A , α) (B , β)} existe si et seulement si : α + β ≠ 0

» 1. Pour construire le barycentre de trois points, il est pratique de recourir à un barycentre partiel. De cette manière, placer un barycentre de trois points revient à placer deux barycentres de deux points. Pour déterminer le barycentre partiel à utiliser, il est recommandé de sélectionner un couple de points faisant apparaître un isobarycentre (en veillant à ce que la somme des coefficients soit non nulle, pour que le barycentre partiel existe).

» 1. Pour placer le barycentre G de {(A , α) (B , β)} , on utilise la formule : AG→ =

α + β

AB→

» 1. Par propriété d’homogénéité du barycentre, pour tout réel k non nul, si G est barycentre de {(A , α) (B , β)} , alors G est barycentre de {(A , kα) (B , kβ)} .

» 2. La réciproque de la propriété d’associativité permet de remplacer un point pondéré d’un système par les points dont il est lui-même barycentre. Cette propriété s’applique notamment pour remplacer (A , k) par {(A ,a) (A , b)} avec a + b = k et k ≠ 0 .

» 2. G isobarycentre des points A , B et C signifie que :
G barycentre de {(A , k) (B , k) (C , k)} , avec k ≠ 0
L’isobarycentre de deux points est le milieu du segment formé par ces deux points.

» 2. Le barycentre de deux points appartient à la droite formée par ces deux points.

On donne des points fixes « A , B , C , D,.. » et des nombres algébriques : ; ; ; ;…. On écrit l’opération

+ + + +… qui combine la multiplication d’un vecteur par un scalaire avec la somme géométrique ,

Si en particulier , dans le cas où : « + + + + …0 »

Il existe un point « G » unique tel que :

( + + + + …) = + + + +… ( 1 ) et que l’on appelle « barycentre » des points « A,B,C,D,… »affectés des coefficients ; ; ; ;….

Le point « O » est un point arbitraire et en prenant « G » en « O » la relation (1) s’écrit aussi :

A , B et C sont trois points non alignés du plan.

G est le barycentre des points pondérés (A , 8) (B , 4) et (C , 6) .
H est le barycentre des points pondérés (A , 10) (B , 4) et (C , 6) .
Le point I est le milieu du segment [AB] .
Le point J est le milieu du segment [AC] .

1. Construire la figure.
2. Montrer que les points H, I et J sont alignés.
3. En déduire le point d’intersection des droites (IJ) et (AG) .

Corrige :

Pour placer les barycentres G et H , on peut utiliser la propriété des barycentres partiels (également appelée propriété d’associativité) afin de faciliter la construction.

• Placer le point G

G est le barycentre des points pondérés (A , 8) (B , 4) et (C , 6) .

On appelle K le barycentre des points pondérés (A , 8) et (B , 4) , qui existe car 8 + 4 ≠ 0 .

Par associativité du barycentre, G est alors barycentre des points (K , 8 + 4) et (C , 6) .

On peut donc placer le point K puis placer le point G .

Placer le point K

K barycentre des points (A , 8) (B , 4) ⇔ K barycentre des points (A , 2) (B , 1) , par homogénéité du barycentre.

D’où :
Placer le point G

Finalement, G est barycentre des points (K , 12) (C , 6) , ou encore (K , 2) (C , 1) par homogénéité.

D’où :

• Placer le point H

H est le barycentre des points pondérés (A , 10) (B , 4) et (C , 6) .

On appelle L le barycentre des points pondérés (B , 4) et (C , 6) , qui existe car 4 + 6 ≠ 0 .

Par associativité du barycentre, H est alors barycentre des points (A , 10) et (L , 4 + 6) .

On peut donc placer le point L puis placer le point H .

Placer le point L

L barycentre des points (B , 4) (C , 6) ⇔ L barycentre des points (B , 2) (C , 3) , par homogénéité du barycentre.

D’où :

Placer le point H

Finalement, H est barycentre des points (A , 10) (L , 10) : H est donc le milieu du segment [AL] .

2. Pour démontrer que les points H , I et J sont alignés, on peut montrer que H est barycentre des points I et J .

On sait que H est barycentre des points (A , 10) (B , 4) (C , 6) .

Pour tout couple de réels (a , b) tels que a + b ≠ 0 : aAA→ + bAA→ = 0→

Par réciproque de la propriété d’associativité du barycentre, on a donc :

H barycentre des points (A , 6) (A , 4) (B , 4) (C , 6) , car A est barycentre des points (A , 6) (A , 4) .

Or :

• I milieu de [AB] ⇔ I barycentre des points (A , 4) (B , 4)
• J milieu de [AC] ⇔ J barycentre des points (A , 6) (C , 6)

Par associativité du barycentre, on en déduit que : H est le barycentre des points (I , 8) (J , 12) .

Or le barycentre de deux points appartient à la droite formée par ces deux points.

Le point H appartient donc à la droite (IJ) .

Les points H , I et J sont donc alignés.

3. On vient de montrer que le point H appartient à la droite (IJ) .

Il semble que le point H appartienne également à la droite (AG) , ce que l’on va tenter de démontrer.

On sait que H est le barycentre des points (A , 10) (B , 4) (C , 6) .

Par réciproque de la propriété d’associativité du barycentre, on a donc, de la même manière que précédemment :

H barycentre des points (A , 2) (A , 8) (B , 4) (C , 6) , car A est barycentre des points (A , 2) (A , 8) .

Or, on sait que G est la barycentre des points (A , 8) (B , 4) (C , 6) .

Par associativité du barycentre, on en déduit que : H est le barycentre des points (A , 2) (G , 18) .

Or le barycentre de deux points appartient à la droite formée par ces deux points.

Le point H appartient donc effectivement à la droite (AG) .

Finalement, le point H appartient aux deux droites non parallèles (IJ) et (AG) .

Le point H est donc le point d’intersection des droites (IJ) et (AG) .

1. Que faut-il savoir sur le calcul vectoriel dans l'espace ?

On retrouve dans l'espace les mêmes règles de calcul vectoriel que dans le plan (vecteurs colinéaires, relation de Chasles ).
La seule nouveauté est la notion de vecteurs coplanaires.
Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si l'un d'entre eux peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire que les vecteurs $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ et $\overrightarrow w$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que $\overrightarrow w = a\overrightarrow u + b\overrightarrow v$ .
Test n°1

2. Comment définir le barycentre d'un système de points pondérés du plan ou de l'espace ?

• On commence par définir le barycentre d'un système de deux points pondérés.
Si A et B sont deux points distincts, a et b deux réels dont la somme n'est pas nulle, il existe alors un unique point G tel que $a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} = \overrightarrow 0$ .
Ce point s'appelle le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs a et b.

• Dans le cas où les coefficients sont non nuls et égaux, le point G est appelé isobarycentre de A et de B. On remarque que l'isobarycentre de A et de B n'est autre que le milieu du segment [AB].

• La notion de barycentre, définie ci-dessus pour deux points, se généralise à un nombre quelconque de points. Ainsi, si A, B et C sont trois points distincts, et a , b et c trois réels dont la somme n'est pas nulle, il existe un unique point G tel que $a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} + c\overrightarrow {{\rm{GC}}} = \overrightarrow 0$ . Ce point est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a , b et c.

Remarque

Si les points A, B et C ne sont pas alignés, l'isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Test n°2 Test n°3

3. Quelles sont les principales utilisations du barycentre en géométrie ?

On retiendra quatre utilisations essentielles du barycentre en géométrie :
– pour montrer que trois points sont alignés, on fait apparaître l'un d'entre eux comme le barycentre des deux autres ;
– pour montrer que quatre points sont coplanaires, on fait apparaître l'un d'entre eux comme le barycentre des trois autres ;
– pour montrer que des droites sont concourantes, on montre que ces droites passent par des barycentres partiels obtenus en regroupant de différentes manières les mêmes points pondérés. Le point de concours des droites est alors le barycentre des points pondérés considérés ;
– on utilise enfin le barycentre pour réduire une somme vectorielle de la forme $\alpha \overrightarrow {{\rm{MA}}} + \beta \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \gamma \overrightarrow {{\rm{MC}}}$ lorsque $\alpha + \beta + \gamma \ne 0$ , par exemple dans les recherches d'ensembles de points.

4. Quelles propriétés du barycentre faut-il connaître ?

Il y a deux propriétés essentielles du barycentre à retenir.

• Homogénéité.
Si G est le barycentre de $\left(A,\: \alpha \right)$ et $\left(B,\: \beta \right)$ , alors G est aussi le barycentre de $\left(A,\: k\alpha \right)$ et de $\left(B,\: k\beta \right)$ , pour tout réel k non nul.

• Associativité.
Pour trouver le barycentre G de n points, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Cette propriété fournit une méthode de construction du barycentre d'un système de trois points pondérés ou plus. On les regroupe deux par deux de manière à se ramener à la construction du barycentre de deux points pondérés.
Test n°4 Test n°5

5. Quels sont les questions à se poser avant de chercher un barycentre ?

• Le barycentre existe-t-il toujours ?
Non, le barycentre d'un système de points pondérés n'existe pas toujours. Il est indispensable que la somme des coefficients soit non nulle.
Il faudra donc être très vigilant dans deux cas :
– lorsque les coefficients sont donnés sous forme paramétrée. Ainsi le système de points pondérés (A, 6 + m) et (B, m) admet un barycentre si et seulement si 6 + 2m est non nul, c'est-à-dire si et seulement si $m \ne - 3$ ;
– lorsqu'on applique la propriété d'associativité du barycentre. Ainsi, si G est le barycentre de (A, 5), (B, 3) et (C, −3), G est aussi le barycentre de (I, 8) et (C, −3) où I est le barycentre de (A, 5) et (B, 3) ; mais il est impossible de remplacer (B, 3) et (C, −3) par leur barycentre partiel puisque la somme des coefficients est nulle ; donc le système (B, 3) et (C, −3) n'admet pas de barycentre.

• Peut-on interpréter une égalité vectorielle en termes de barycentre ?
On sait traduire le fait qu'un point G est le barycentre d'un système de points pondérés par une égalité vectorielle. Réciproquement, est-il possible, lorsqu'on connaît une égalité vectorielle, d'interpréter celle-ci en termes de barycentre ?
La réponse est oui si l'égalité vectorielle peut être ramenée à la forme : $\alpha \overrightarrow {{\rm{MA}}} + \beta \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \gamma \overrightarrow {{\rm{MC}}} = \overrightarrow 0$ avec $\alpha + \beta + \gamma \ne 0$ .
Par exemple, si on connaît la relation $\overrightarrow {{\rm{AL}}} = \frac{2}{5}\overrightarrow {{\rm{BC}}}$ , on peut se ramener à $5\overrightarrow {{\rm{AL}}} = 2\overrightarrow {{\rm{BC}}}$ , puis à $5\overrightarrow {{\rm{AL}}} + 2\overrightarrow {{\rm{AB}}} - 3\overrightarrow {{\rm{AC}}} = \overrightarrow 0$ . Comme la somme des coefficients est non nulle (elle vaut 4), cette égalité vectorielle traduit le fait que le point A est le barycentre des points pondérés (L, 5), (B, 2) et (C, 3).
On remarquera que cette interprétation n'est pas unique. Il est en effet possible de faire des modifications du même type pour obtenir B, C ou L comme barycentre des trois autres points.

• Comment caractériser les points d'une droite à l'aide des barycentres ?
On connaît déjà la caractérisation vectorielle d'une droite : la droite passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow u$ est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un réel k tel que $\overrightarrow {{\rm{AM}}} = k\overrightarrow u$ . S'y ajoute la caractérisation barycentrique d'une droite : la droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points pondérés $\left( {{\rm{A}},\,1 - k} \right)$ et $\left( {{\rm{B}},\,k} \right)$ , où $k \in$ .

À retenir

• Le barycentre d'un système de points pondérés n'existe que si la somme des coefficients est non nulle.

• Le barycentre d'un système de points pondérés n'est pas modifié si on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul ; ou si on remplace certains points par leur barycentre partiel, lorsqu'il existe, affecté de la somme des coefficients de ces points.

• On peut interpréter un certain nombre de notions de géométrie en termes de barycentre : le milieu d'un segment est l'isobarycentre des extrémités de ce segment ; le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre des sommets du triangle ; le centre d'un parallélogramme est l'isobarycentre des sommets du parallélogramme.

• Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow {{\rm{AB}}}$ , $\overrightarrow {{\rm{AC}}}$ et $\overrightarrow {{\rm{AD}}}$ sont coplanaires.

Un peu d’histoire

Le barycentre qui vient du grec barus (lourd, pesant ) et de centre, est initialement le centre des poids. Il s’agit donc à l’origine d’une notion physique et mécanique.
Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.

Il a écrit dans son traité sur le centre de gravité des surfaces planes :

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »

Son principe des moments et des leviers lui a permis de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que l’équilibre soit atteint, il faut que les moments m1OA et m2OB soient égaux. Cette condition se traduit par l’égalité vectorielle :

Point pondéré, point massif

Définition

Un point pondéré est un couple (A, a) où A est un point du plan ou de l’espace et a est un nombre réel quelconque.
Un point pondéré est aussi appelé point massif ou point coefficient.
Le nombre réel a est appelé masse ou poids ou coefficient du point A.

Barycentre de deux points

Théorème et Définition

Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que .
Alors, il existe un unique point du plan noté G tel que

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A , a) et (B , b).

On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

Existence et unicité du barycentre

Démonstration

On cherche un point G vérifiant

D’après la relation de Chasles, on a

On en déduit

c’est-à-dire

et puisque

Il existe donc un unique point G vérifiant

Point G

Sur la figure les vecteurs et sont opposés. On a donc

ce qui signifie que G est le barycentre des points pondérés (A, 3) et (B,1) car

Remarques

1) Si a+b=0 on ne peut pas définir le barycentre de (A, a) et (B, b).

2) Si , le barycentre de (A, a) et (A, b) est le point A lui-même.

Isobarycentre

Définition de l’isobarycentre

Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a ) et (B, a) est appelé isobarycentre de A et B.

Propriété

L’isobarycentre de A et de B est milieu du segment [A B].

Démonstration

Si G est l’isobarycentre de (A, a) et de (B, a) avec , alors on a

c’est-à-dire

Puisque , on en déduit

et donc
ce qui montre que G est le milieu du segment [AB].

Remarque

Le préfixe iso signifie égal.

L’isobarycentre de deux points est le barycentre de ces points affectés de masses égales.

Homogénéité du barycentre

Propriété

On ne change le barycentre de deux points massifs en multipliant ou en divisant les coefficients par un même nombre non nul.

Démonstration

Soient A et B deux points et a et b deux nombres réels tel que .

Soit k un nombre réel non nul et soit G le barycentre de (A, ka) et (B, kb).

Alors on a

si et seulement si

et puisque , cela équivaut à

ce qui montre que G est le barycentre de (A, a) et de (B, b).

Propriétés du barycentre

Exemple

Le barycentre de (A, 2) et (B, 3) est aussi celui de (A, 1) et (B, 3/2), celui de (A, 2/3) et (B, 1), celui de (A, 4) et (B, 6),…

►Propriétés du barycentre

• Si A et B sont deux points distincts tout barycentre G de (A, a) et (B, b) avec appartient à la droite (AB).

• De plus, si a et b sont de même signe , le barycentre G appartient au segment [AB]

Démonstration

• On a vu que si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) avec ,

alors on a

donc les vecteurs et sont colinéaires et les points A, B et G sont alignés.

• Si a et b sont de même signe, on peut se ramener en utilisant l’homogénéité du barycentre au cas où a et b sont tous les deux positifs.

Supposons donc a et b positifs

On a alors

et comme ,

L’égalité et les inégalités

entraînent que le point G appartient au segment [AB].

Propriété de réduction

Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés

tels que et soit G leur barycentre.

Alors, pour tout point M du plan ou de

l’espace, on a

Démonstration

Pour tout point M, on a, d’après la relation de Chasles :

Or G est le barycentre de (A, a) et (B, b) donc

d’où

Exemple

G est le barycentre de (A, 1) et (b, 2 ) car

Et on a

Remarques

1 ) Il s’agit d’une propriété importante du barycentre qui permet de remplacer une somme vectorielle par un seul vecteur.

2 ) Si a+b =0, alors (A, a) et (B, b) n’ont pas de barycentre ; dans ce cas on a

Lorsque a+b = 0, le vecteur est donc indépendant du point M choisi.

Coordonnées du barycentre dans un repère

► Dans le plan

Soit un repère du plan.

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives

(xA, yA) et (xB , yB) dans le repère .
.
Alors, le barycentre G de (A, a) et (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées

Démonstration

En utilisant la propriété de réduction en prenant M=0, on a

d’où

Les vecteurs et étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées dans le repère .

Démonstration

Le vecteur a pour coordonnées et le vecteur a pour coordonnées

d’où les coordonnées de G

Coordonnées du barycentre dans un repère

►Dans l’espace

Soit un repère de l’espace. Soient A et B deux points de