1°)  Généralités.

Remarque: La formule des trois niveaux s’applique aux corps usuels : sphère , cylindre,cône  et tronc de cône de révolution,ellipsoïde,hyperboloïde et paraboloïde de révolution.

2°)  Exemples :

·       Volume de la sphère.

·       Volume d’un segment sphérique

·       Volume du tronc de cône.

COURS

1°)  Généralités.

Considérons un trièdre de coordonnées rectangulaires « 0 x ;y ;z » et soit un volume tel qu’un plan de cote « z » ,le couple suivant une section dont la surface est de la forme : «  »   avec « a ;b ;c » constants.

(voir figure ci contre)  

On suppose ,de plus, que le volume est limité à deux plans parallèles au plan «  x 0 y ».

Ces deux plans déterminent dans le solide des bases « B » et « B’ ».

Leur distance est la hauteur « h » du volume à évaluer.

Enfin , nous appelons «  B ‘’ » la section faite dans le solide par un plan  équidistant des bases..

Ceci posé , nous allons démontrer que le volume a pour valeur :

Nous ne diminuons pas la généralité du problème en supposant que la base inférieure est dans le plan «  x 0 y ».

Dans ces conditions, la base inférieure a pour surface « B » la valeur de « S » pour «  z = 0 », soit «  B = C » ; de même « B’ »s’obtient pour «  z = h »

«  B’ = a h² + b h +c »

Et «  B ‘’ » est la valeur de « S  (z) »  pour  «  »    donc  «  »

D’autre part, pour calculer « V » , partageons  le volume en petits éléments par des plans parallèles au plan « x O y » .

Chacun d’eux est assimilable à un cylindre ayant pour base « S(z) » et pour hauteur « dz ».

Par suite , le volume de l’élément est : «  » 

Et le volume lui-même s’obtient en intégrant :   

  V  =       

= = 

Remarque 1 :  Le même calcul a déjà été fait à propos de la méthode de « Simpson ».(ici info…)

Remarque 2 : La formule des trois niveaux s’applique aux corps usuels : sphère , cylindre,cône  et tronc de cône de révolution,ellipsoïde,hyperboloïde et paraboloïde de révolution.

Exemple 1 : Volume de la sphère.

La hauteur « h » est le diamètre « 2R » de la sphère ( voir figure ci contre).

Les bases extrêmes se réduisent à des points de sorte que « B=0 » et « B’=0 ». La section faite par un plan équidistant des bases est un grand cercle de surface « B’’=  » .

Le volume est par suite :   

La formule  devient appliqué au cas :

  = ce qui donne :

Exemple 2 : Volume du segment sphérique .

Soient « h » la hauteur , « r » et « r ’ »  les rayons des deux bases (voir figure ci contre)  La surface d’une section située à la distance « z » du centre est :

« R » étant le rayon de la sphère .

Désignons « k » et « k ‘ » les côtes des deux bases : 

«  k = OI »  et « K ‘ = O I ‘ »

Nous avons par suite :

« B =  S ( k) =  »

« B ‘ =  S ( k ‘ ) =

«  B ‘ ‘ =  =   avec «  h = k’ – k »

D’autre part , l’identité :  « ( k +  k ‘)² +  ( k² + k ‘ ² ) – h² » par suite  le volume du segment est :

  =   =

Nous retrouvons bien le résultat élémentaire.

Le volume du segment sphérique  est égal à la demi- somme de deux cylindre ayant pour base  les deux bases du segment ,et même hauteur que lui , augmenté du volume d’une sphère ayant pour diamètre la hauteur du segment.

Info +++

Exemple 3 : Volume du tronc de cône.

On nome la hauteur « h » , et les rayons des bases  , « R » et « R ‘ ».

Le rayon de la section équidistante est : ; (voir la figure ci contre) .

Le volume est donc :

ce qui est la formule élémentaire !!!!!

CE qui termine  ce cours…………..

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTRÔLE

Voir le cours !!!!!

EVALUATION :

calculer :

Reprendre chaque exercice du cours.

Voir le cours !!!!!