Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

1°)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

 

COURS

APRES :
Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

TITRE :niveau III :     INTEGRATION PAR PARTIES.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

Voir l’évaluation !!!

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 


COURS

 

Cette méthode  est assez générale, elle tire son nom du fait que l’on commence par intégrer seulement une partie de la fonction donnée :

 

 

La formule  d’intégration par parties s’écrit :

 

 =   u v - 

 

 

 

En effet , « u.v » un produit de deux fonctions de « x » .

On sait que sa dérivée  est    : ( u v ) ‘  =  u . v’  +  v . u’

 

 

Donc , en intégrant , on a , à une constante prés :

 

 

 

 

 

 

Mais d’après la définition d’une différentielle , ( info) , on sait que :

 

 

 

( u . v ‘ )  dx     =  d ( u v )

 

 

 

( v ‘  dx )   =   dv

 

 

( u ‘  dx )    =    du

 

 

D’ où :   

 

 

 

C’est précisément la formule à démontrer.

 

 

 

Exemple : soit à calculer

 

 

Posons «  L x = u »  et «  dx = dv »

On en déduit :    et  «  v =  = x   ( intégration d’une partie de l’intégrale)

 

Par suite :  = x  L x  -   =  x  L x  -   x L x – x

 

 

 

Remarque 1 : Pour appliquer la formule d’intégration par parties , il faut choisir convenablement « u » et « v » . On s’arrange , naturellement , pour simplifier au lieu de compliquer.

Soit l’intégrale :   

Il serait évidemment maladroit de poser «  sin x = u »  et «  x dx = dv » , car on aurait «  v =   =    e « x » figurerait au second degré , ce qui serait encore plus gênant qu’au premier.

Au contraire , en posant :

«  x = u »    et  « sin x dx = dv »,

on a   :   du = dx ;      « v = - cos x »

et :

 -   =    = 

L’intégration par partie a réussi, parce qu’elle a fait disparaître le facteur « x » en donnant une intégrale purement trigonométrique.

 

 

 

Remarque 2 :

Il peut se faire que  l’on ait à intégrer par parties plusieurs fois de suite.

Soit l’intégrale :

Intégrons  une première fois par parties en posant : «  x ² = u »   ; « cos 3 x dx = dv »

 

Nous obtenons :

«  d u = 2 x dx »    ; v =

et :   = 

 

Pour calculer l’intégrale « K » appliquons une seconde fois la méthode en posant : «  x = u1 » ; « sin 3 x dx = d v1 »

D’où : «  d x = d u1 » ; v 1  =

Par suite :

 «  K =    =  

 

D’où :   = - 0,748

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

Voir le cours !!!!!voir les définitions en « orange » !!!!!

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

 

 

Calculer :

 

 

 

 

1.     

 

 

 

 

 

2.     

 

 

 

 

 

 

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