Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES :  APPLICATIONS GEOMETRIQUES DES INTEGRALES SIMPLES :

AIRES PLANES

 

 

 

 

 

1°) L’équation de la courbe est de la forme

 

 

2°)  La courbe est définie en coordonnées polaires.

 

 

3°) La courbe est définie par  des équations paramétriques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

Voir l’évaluation !!!

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


 

 

COURS

 

 

 

Pour évaluer l’aire limitée par une courbe plane ,il faut distinguer plusieurs cas suivant la manière dont la courbe est définie.

 

 

 

1°) l’équation de la courbe est de la forme

 

 

 

l’aire limitée par la courbe , l’axe « 0x » et les deux droites « x = a » et « x=b » est une intégrale définie ( voir ci contre).

 

Nous pouvons nous souvenir (voir   ici rappel « aire plane » )  que ceci revient à prendre pour élément d’aire,un « petit rectangle » ayant pour ordonnée «  » d’un point « M » et pour base l’accroissement «  » de l’abscisse.

 

 

 

 

 

Exemple 1 :

(voir figure ci contre)

 

Soit l’équation de la parabole :

On demande : Evaluer  l’aire « OPQ » limité par la courbe, l’axe « Ox » et une droite « PQ » d’équation «  x = c ».

Comparer cette aire à celle du rectangle « R P Q O ».

Réponse :

L’aire  « OPQ »  =    =   = 

 

L’aire du rectangle = ( 0Q)(QP) =   = 

 

 

Pour comparer les deux aires on effectue le rapport :     /         .

Conclusion :   l’aire  « OPQ » est égale  à   de l’ aire  du rectangle « R P Q O ».

 

 

 

 

 

Exemple II .

 

 

Calculer l’aire de l’ellipse : (voir figure ci contre)

 

«  »

la partie située dans le premier quadrant est le quart de l’aire totale,par symétrie.

L’aire de l’ ellipse est donc :  

De l’équation de la courbe, on tire :

 

 

 

Par suite :

 

Pour calculer cette intégrale , posons «  , d’où «  »

et        = =       = 

 

 

 

Info plus.

2°)  La courbe est définie en coordonnées polaires.

 

 

L’élément d’aire est le triangle « O M M’ » (figure ci contre)

La surface est (info +++)     :  .

La surface « A » comprise entre la courbe et deux rayons vecteurs d’angles polaires «  »  et  «  » s’obtient en intégrant : «  »

 

 

Exemple : Calculer l’aire de la lemniscate :    (voir figure ci contre)

 

 

La partie comprise dans le quadrant positif est le quart de l’aire totale « A » cherchée.

Par suite :   =  = a²

 

 

3°) La courbe est définie par  des équations paramétriques.

 

 

Si l’on cherche l’aire comprise entre la courbe ,l’axe « O x » et deux parallèles à « O y » : «  x = a » et « x = b », il faut calculer l’intégrale «  » dans laquelle on exprime en fonction du paramètre « t »

 

 

Exemple :  Calculer l’aire de la cycloïde .  ( voir figure ci contre)

 

 

L’élément d’aire est le rectangle de hauteur « PM » = « y » = « a ( 1 – cos t )» et la base « PP’ » =  « dx » = « a (1-cos t )».

 

 

par suite , l’aire limitée par la courbe « O C B » et l’axe « O x » est :

«  »

«A   ; A   =   ;  A  =

 

 

Ainsi :

 

 

Si l’on veut connaître l’aire d’un secteur limité  par la courbe et deux rayons issus de l’origine  (voir figure ci contre)  on prend comme élément d’aire un petit rectangle tel que « OMM’ » .

Soient « x ; y » les coordonnées de « M » ; et   «  x + dx »  et « y + dy » celles de M ’.

La surface du triangle « M O M’ »est , au signe près ,

L’ aire  « OPQ » s’obtient en intégrant . Sa valeur est :

   ; l’intégrale étant prise entre les limites «  t 0 » et « t 1 » qui sont les paramètres des points « P » et « Q ».

 

 

Exemple :

 

 

Retrouvons , par ce procédé l’aire de l’ellipse  ( voir la figure ci contre).

 «  »

 

On peut définir l’ ellipse paramétriquement par les équations :

«  x = a cos t »     et «  y = b sin t »

La courbe est décrite entièrement lorsque « t » varie de « 0 » à «  »

D’où l’aire cherchée :  

 

 

On a «  »     et     «  »

 

  = 

 

 

par suite :   =    =   

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

calculer :

 

 

Reprendre chaque exercice du cours.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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