Pré requis

La fraction  arithmétique

 

division par zéro !!!

 

La division  décimale

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index

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Objectif suivant :

1°) Les rationnels

2°) Cours spécifique et application

3°) les calculs fractionnaires ( opérations)

  Tableau     Sphère metallique90

 

 

 

INFORMATIONS : Tout sur "la fraction" et  "les  écritures fractionnaires……."

Boule verte

LA FRACTION  algébrique :

 

·      Cours n°1 : notions.

·      Cours N°2 .

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

Corrigé

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

2°) autres exercices.

Interdisciplinarité                         Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

COURS n° 1

 

RAPPELS :

Rappel 1: toute expression algébrique qui n’est pas exactement divisible par une autre  , a comme quotient de la division une fraction algébrique.(voir division des nombres algébriques) 

Définition ; Une fraction algébrique exprime toujours le quotient de son numérateur  par son dénominateur .

Cela indique la division entre deux expressions algébriques .

Toutes les propriétés des fractions arithmétiques sont également vraies lorsqu’il s’agit de fractions algébriques.

 Activité annexe , avec la calculatrice , mais importante:

              On veut  montrer ce qui se passe lorsque l’on divise le nombre 1 (soit le plus petit nombre )  par un nombre inférieur à 1( 0 ,........1.)   et   qui tend  vers zéro.(plus le chiffre « 1 » recul plus le nombre tend vers zéro.)

         Utiliser la calculatrice pour calculer :

 1 divisé par  1   = ;  noter le résultat ;..............................................................

 1 divisé par 0.1 = ;  noter le résultat ;.................................................................

 1 divisé par 0.01=  ;  noter le résultat ;...............................................................

1 divisé par 0.001= ;  noter le résultat ; .............................................................

1 divisé par 0.000001 =  ;  noter le résultat;......................................................

               ;

Après avoir   noté le résultat .de chaque  opération on peut  conclure « que plus un nombre est divisé par un autre qui  tend vers zéro  ,plus le résultat devient grand

.On dira que le résultat tendra vers un nombre infiniment grand (en valeur absolue)

 

on doit  conclure :    on ne peut donc diviser par « zéro ».

 

 

D'où  Lorsqu'une écriture fractionnaire contient une lettre au dénominateur  ('appelée :inconnue ; généralement  "x"" )  il faut trouver la valeur de "x" qui  doit être exclue  , afin de ne pas avoir la valeur zéro:

 

Exemples:

Soit les écritures fractionnaires suivantes :

commentaire

 

Pour effectuer un calcul  ;il faut donner une valeur à "x", toutes les valeurs sont possibles sauf "0"

 

Pour effectuer un calcul  ;il faut donner une valeur à "x", toutes les valeurs sont possible sauf "0" ; 2 fois 0 = 0

Zéro est l 'élément absorbant  : 

Un calcul est possible sauf  si   x+1 = 0  ;

Il faut calculer (résoudre)pour connaître quelle est la valeur de "x"  qui donne "_"+1 =0

On trouve x = -1  ; si x=-1 ;alors (-1) +1 =0

Conclusion: un calcul est possible avec toutes les valeurs de "x" sauf  "x = -1"

 

Est exclue la valeur de "x = 1,5"

 

 

 

FRACTIONS  PARTICULIERES :

 

 

(il y en a trois)

Attention : « a » doit être différent de zéro.

= 1                     ;  Attention : « a » doit être différent de zéro.

     

 

=  a

 

=  0                     ;  Attention : « a » doit être différent de zéro.

 

 

 

 

COURS n° 2  Fractions algébriques (suite)

 

 

 

On donne le nom de fraction algébrique ou frac­tion littérale à l'indication entre deux monômes ou polynômes, d'une division qui en général ne peut s'effec­tuer exactement ; telles sont les expressions

 ;                   ;                       

Tous les principes et toutes les règles que nous avons développés en arithmétique sur les fractions nu­mériques sont applicables aux fractions littérales et reposent sur cette même proposition fondamentale : que l'on peut toujours multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par une même quantité sans altérer la valeur de celte fraction, c'est-à-dire qu'on a toujours l'égalité    a , b et m   représentant des quantités quelconques.

En effet, en représentant par q  le quotient, quel qu'il soit, ou la valeur de la fraction  on aura  et comme le dividende a   est égal au diviseur multiplié par le quotient, on en déduit   a =  b q  .

En multipliant les deux membres de cette dernière égalité par la même quantité m, elle ne sera nullement détruite et don­nera

am = bq m  ou   am = bm x q, d'où l'on tire, en divisant par bm,

 

 

On déduit de ce principe la simplification des frac­tions algébriques, ainsi que la réduction de plusieurs fractions au môme dénominateur.

Simplification. Elle consiste à débarrasser les deux termes d'une fraction de tous les facteurs qui leur sont communs. Ainsi, on aura

 

 

par la suppression de 5a3x3.  (facteurs  communs au numérateur et dénominateur)

 

De même ,  qui est la même chose  que    et donne , par la suppression des facteurs communs (a + 2b) ;

 

 

Info +

Réduction au même dénominateur

 

 

On effectuera cette réduction en multipliant en général les deux ter­mes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres ; mais ici, comme en arithmétique, il ne faut pas négliger le cas où des facteurs communs aux divers dénominateurs permettraient d'obtenir un dénominateur commun plus' simple en prenant le plus petit multiple. Alors le dénominateur commun à plusieurs fractions se composera de tous les facteurs gui entrent dans les dénominateurs des fractions données, pris une seule fois, mais avec l'exposant h plus élevé. Ainsi, par exemple, soit à réduire au même dénominateur les frac­tions suivantes :

 

Pour former le plus petit multiple qui soit divisible par chacun des trois dénominateurs ci-dessus, nous prendrons tous les facteurs différents que contiennent ces dénominateurs, lesquels sont 3, 4, a, b, c, et nous leur donnerons l'exposant qu'ils ont dans le terme où cet exposant est le plus élevé pour chacun d'eux, ce qui fournira le produit suivant pour le dénominateur com­mun aux fractions proposées :

3 x 4 x a3 x b3 x c1 = 12 a3b² c4

Maintenant, pour effectuer la réduction demandée, il suffira de multiplier les deux termes de chaque fraction par le quotient qui existe entre le dénominateur commun 12 a3b² c4 et son dénominateur propre, c'est-à-dire qu'on multipliera les deux termes de la première fraction par  4 b² c²  ( pour devenir  la fraction équivalente :   ) les deux termes de la seconde par 3 ac4  ( pour devenir  la fraction équivalente :        )    ', et les termes de la troisième par a3b (pour devenir la fraction équivalente  : .

Alors les fractions proposées deviendront :  ;   ;    

 

 

Info Arit.

ADDITION DE FRACTIONS :

 

 

 

Règle :   Pour ajouter (additionner)   plusieurs  fractions entre elles, il faut les réduire d'abord au même dénominateur, faire ensuite la somme des numérateurs et donner à cette somme le dénominateur commun ; ainsi :

 

Info Arit.

SOUSTRACTION  DE FRACTIONS :

 

 

La soustraction ne peut s'opérer sur les numérateurs qu'après toutefois que les deux fractions ont été réduites au même dénomina­teur ; on aura donc

 

 

 

 

Info arith. Mul.

MULTIPLICATION  DE FRACTIONS :

 

 

On fait le produit de plusieurs fractions en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Soient les deux fractions   et   : représentons la   valeur de la première par p, celle de la seconde par q,   ,   et posons         et 

 ce qui donne a = bp    et  m =  nq      

Mais si les deux quantités a    et m       sont respectivement égales aux deux autres bp et nq, le produit , des deux premières égalera aussi le produit des deux autres, et l'on aura :

          a  x m = bp x  nq, ce qui revient à    am   =  bn x pq ; et enfin, en divisant par la   .quantité    bn, on aura :

  donc

 

 

 

 

 

 

Info.arith. div

DIVISION  DE FRACTIONS :

 

 

On effectue la division d'une fraction par une autre en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée,

Soit à diviser les deux fractions    par       et représentons le quotient  par q    ; nous aurons :       :     =   q  

 

Ou bien  ( en multipliant à gauche et à droite ; les deux membres par   )     on peut écrire :      =   q   x 

 

En réduisant au même dénominateur, on tire de là : 

<ft supprimant le dénominateur commun bn, on ne  troublera pas l'égalité, et l'on aura :      an = bm x q  ; * enfin, en divisant de part et d'antre par bm, cette der­nière égalité donne :

ce qui prouve la règle énoncée.

Remarque.  Dans les démonstrations ci-dessus nous avons admis que les deux termes des fractions proposées étaient positifs ; mais, s'il en était autrement, la règle n'en serait pas moins vraie,

    Il est important de rappeler à cette occasion que la valeur absolue d'une fraction algébrique est indépendante des signes de ses termes, et que, de plus, cette valeur est positive si les deux termes ont le même signe, et négative s'ils ont des signes contraires, c'est-à-dire qu'on aura, dans la division algébrique (chapitre : règle des signes),

  et   

ce qui prouve que l'on peut changer les signes  des deux termes d'une fraction sans altérer sa valeur.

 

 

 


 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

Relire le cours !!!!

 

 

EVALUATION :

 

  1.  

Réduire an même dénominateur les fractions suivantes :  ;  ;

 

 

 

 

  1.  

Réduire au même dénominateur les fractions :  ;   et

 

 

 

 

  1.  

Ajouter les fractions :   et 

 

 

 

 

  1.  

Additionner :   et 8 unités 

 

 

 

 

  1.  

Trouver la différence des fractions :  ;

 

 

 

 

  1.  

Quelle est la différence de :  à  -x ?

 

 

 

 

7.    

Quel est le produit de 7 par  ?

 

 

 

 

  1.  

Faire  le produit de  par

 

 

 

 

  1.  

Diviser la fraction   par 

 

 

 

 

  1.  

Trouver le quotient de  par – 9

 

 

 

 

  1.  

Multiplier :   par    et simplifier le produit.

 

 

 

 

  1.  

Diviser  :   par 

 

 

 

 

  1.  

Faire le produit de    par

 

 

 

 

  1.  

Diviser    par

 

 

 

 

  1.  

Trouver que dans une fraction proprement dite  , c'est-à-dire dans le cas où   a < b  , on a toujours les inégalités :

 <    et   >  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

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