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Nom – prénom : |
Classe : |
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Date : |
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Cours de médiation : Niveau VI et niveau V (
CAP :….) LECON 00 / 25 : NOMENCLATURE sur les chiffres et les nombres … »entiers » ( N ) ;
les « décimaux » (D) ;
et les nombres décimaux relatifs ( D+ ou - ) Info :
l’ensemble des définitions doivent être apprises , comprises , et
traduisibles. |
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Histoire : A propos
de « chiffres » et « nombres » |
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I ) Chiffre |
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A ) Virgule |
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B )Point |
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C ) Point
- virgule |
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A) Nombre entier
naturel |
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B ) Nombre
entier et décimaux |
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C )Nombres
relatifs : |
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IV) LES PARENTHESES |
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A ) indice |
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B ) exposant |
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Rappels sur les conventions d’écriture texte :
►Le premier mot à lire
(ou écrit) se trouve au début
d’un texte. Ce mot est situé en haut à
gauche du texte.
►On lit de gauche à droite.
►lorsque
La ligne terminée (lue
entièrement ) , on descend
à la ligne suivante ; ( qui se trouve en dessous de la précédente ligne.)
►Il en est de même pour la géométrie :
la lecture des sommets d’une figure ,le premier sommet à lire est celui qui se trouve le plus prés
du coin « haut » gauche de la feuille……………
►Il serait conseillé de revoir
les notions abordées en primaire !!!!
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NOMENCLATURE sur les chiffres et les nombres …… |
INFO9
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1)
CHIFFRES
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1°) Les chiffres sont des symboles graphiques.
2°) Les chiffres servent à construire des nombres.
3°) Il existe ,en tout et pour tout,10 chiffres.
4°)
Représentation graphique des chiffres
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Ou
écrit en ligne : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6;
7 ; 8 ; 9
remarque: il faut séparer les chiffres par un point virgule.
5°)
Enumération des chiffres :
(dans
l’ordre croissant)
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Nom |
Symbole graphique: |
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zéro (pour le symbole"0") |
0 |
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un(pour le symbole"1 ") |
1 |
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deux (pour le symbole"2 ") |
2 |
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trois (pour le symbole"3 ") |
3 |
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quatre(pour le symbole"4 ") |
4 |
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cinq (pour le symbole" 5") |
5 |
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six (pour le
symbole" 6"), |
6 |
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sept (pour le symbole" 7") |
7 |
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huit (pour le symbole"8 ") |
8 |
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neuf (pour le symbole" 9") |
9 |
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A ) La
VIRGULE |
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- Rôle d'une virgule (notée " ,
") :
La virgule sépare des chiffres dans un nombre. (elle
est tracée sur la ligne d’écriture)
Exemple : 14 , 67 ; 1 , 36 ; 0, 0317
Autres conventions:
Quand un nombre possède une virgule, on dit:
« devant la virgule ! » (pour la partie
« entière » située à gauche de la virgule) "," « derrière la virgule » , (pour la
partie « décimale »
située à droite de la virgule )!
on dit
aussi:
« avant la virgule ! »
" , (virgule) "
« après la virgule! »
exemple:
Dans
le nombre 34,75
« 34 » est
"devant la virgule" ou" avant la virgule".
« 75 » est
"derrière la virgule" ou "après la virgule".
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B ) POINT
-VIRGULE |
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- Rôle du point - virgule ,(noté " ; ") :
le point - virgule sépare des nombres ; (elle est tracée sur la ligne d’écriture)
exemples: 14 ;
67 ; 36,79
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C ) LE
POINT |
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Le point « . » est utilisé en arithmétique pour
séparer les nombres complexes .
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Matin |
Après midi |
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On
écrit : 6 h 10 ou 6.10 h |
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On écrit : 15h45 ou 15.45 h |
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III ) LES NOMBRES : |
En arithmétique on utilise les deux
expressions : « le nombre concret » et « le nombre
abstrait ».
Nombres concrets et nombres abstraits : (
qui sont « entiers » ou « décimaux »)
- « Nombre concret » :
un nombre est concret lorsqu’on indique la nature de son unité ;
ainsi : 29 élèves, 7 mètres, 5 litres, sont des nombres
concrets ;
7 m et 5
litres sont aussi des grandeurs (parce
que c’est avec une mesure « étalon » que l’on mesure)
- « Nombre abstrait »
si l’on ne fait qu’indiquer la quantité sans spécifier sa nature , on a un
nombre abstrait ; huit ; vingt cinq , trente sont des nombres
abstraits .
En calcul numérique et algébrique
Dans un premier temps , on distinguera deux grandes
catégories de nombres :
I) ceux utilisés en
arithmétique et en calcul numérique dit « nombres « non
relatifs » .( dans ce cas il
n’existe pas de nombres négatifs)
II) ceux utilisés en calcul
algébrique et que l’on appelle : « les nombres relatifs ». (
dans ce cas on parlera de nombres
« positifs » ou « négatifs »)
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I ) |
II )
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Les nombres utilisés en arithmétique : |
Les nombres utilisés en calcul
algébrique : (voir module @ ) |
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Sont les nombres sont dit « non
relatifs » |
Les
nombres sont dit « relatifs » |
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On distinguera : |
On distinguera |
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A ) Les
entiers naturels |
B ) Les
décimaux |
A) Les entiers relatifs |
B) Les
décimaux relatifs |
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Tous
les nombres entiers « naturels »
appartiennent à l’ ensemble désigné par la lettre N Exemples : 2 ; 13 ; 738 ;…… |
Les
nombres décimaux appartiennent à l’
ensemble des nombres désigné par la lettre D. Exemples : 2,1 ; 3 , 25 ;
538,17 ;…… |
Tous les nombres entiers relatifs appartiennent à l’ ensemble désigné par la
lettre Z ± Exemples : (+2) ; (- 2) ; ( -13) ; (+738)
;…… |
Tous les nombres décimaux
relatifs appartiennent à l’ ensemble
désigné par la lettre D ± Exemples : (+2,1) ; ( - 2,1)
; ( + 3 , 25) ; (
-3,25) ; (+ 538,17) ;…… |
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naturel:9 |
A ) Le nombre entier naturel ( N ) |
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Petite Histoire des nombres entiers naturels
Les nombres sont nés au fur et à mesure des exigences et des besoins des
hommes ;les nombres entiers naturels sont utilisés pour commercer ;
pour dénombrer des éléments
(objets ; animaux ;.......);
Après bien des tâtonnements (des essais) il est inventé les
chiffres et des systèmes
de numération .
Celui que nous avons conservé est fondé sur le dénombrement des
doigts de nos deux mains ( dont dix
doigts) . Ce système basé sur le rangement en "paquet de dix " est
appelé : le système décimal (base dix) . Nous l’avons conservé vraisemblablement
et tout simplement parce que l’être humain a et a utiliser ses « dix » doigts pour
ranger , regrouper ; repérer , indicier
et ensuite nommer des symboles
(que l 'on appelle chiffres ) pour construire des nombres et les nommer .
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B) LE NOMBRE (entier ou décimal ) ( non
relatif ) |
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1°)
« Construction » d'un
nombre (en écriture avec des chiffres):
Un nombre est un alignement
horizontal de chiffres séparés ou non par une virgule.
Exemples : 1
; 256369 ;
225564897354 ; 20,876 ; 0,345678324 ; 123,324 ;
123 ; 324
2°) "Enumération" des nombres:
Il est impossible d'énumérer tous
les nombres ;on dit qu'il en existe une infinité.
Le symbole utilisé en
mathématique pour dire « infini » est : 
3°) le nombre : "x" ? ;
"y" ? ou "z" ?
En mathématique ,un nombre non connu ,mais dont on veut connaître la
valeur arithmétique ou numérique est
appelé " inconnue".
Cette inconnue est toujours représentée par une lettre minuscule de
notre alphabet:
Généralement ,on prend les dernières lettres de l'alphabet:
"x" ; "y" ;"z"
4°) Un nombre ( non relatif ) est
aussi appelé "valeur
arithmétique".
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C) LE NOMBRE RELATIF |
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Le "NOMBRE RELATIF":
Exemple de
situation ou l’on emploi des nombres négatifs : le relevé de banque
:
Nous gérons tous de l’argent
,ainsi si je considère l’expression « 3 euros » . Cette expression
n’aura de sens dans la vie courante que si je dis que ces 3 euros
m’appartiennent ou que ces 3 euros ne m’appartiennent plus .
Ainsi les 3 euros
m’oblige à analyser dans quelle situation je me trouve :
Situation
1 : ou ils m’appartiennent ,
alors dans ce cas ,en mathématique , on
résumera l’expression , et j’écrirais
( + 3 euros ) ,
Situation 2 :
ou ils ne m’appartiennent plus ( dans ce cas ils appartiennent à autrui ) ,
dans ce cas en mathématique j’ écrirais ( - 3 euros)
Pour celui qui va
recevoir mes 3 euros il écrira sur son relevé ( +3) , et moi dans le même temps
,sur mon relevé, je devrai écrire ( -3).
On peut écrire (+3) ou (-3) suivant que l’on doit ou l’on
reçoit 3 euros, ces nombres dit
« opposés » .Ils sont appelés « nombres relatifs »,
en effet on ne sait pas qui « gagne » ou « perd » ces
« 3 euros ».
(VOIR l
’ histoire sur
l ’ origine de la « notion » du « nombre relatif » et son
utilisation )
1°) Description : Un nombre relatif est composé de
trois parties principales : un signe « plus » ou
« moins » , une valeur arithmétique (chiffres séparés ou non par une virgule)
appelée aussi « valeur absolue ».; une double parenthèses.
2°) Valeur absolue : La valeur arithmétique
du nombre relatif est appelée « valeur absolue ».
3°) On rencontre souvent
l’expression : « Donnez la
valeur absolue d’un nombre relatif » ,
« Donner la valeur absolue
d’un nombre relatif » : En
mathématique,cette phrase est remplacée
par une écriture symbolique : le double trait.
En écriture
symbolique , en mathématique , pour indiquer que l’on cherche ou que l’on veut
connaître la valeur absolue d’un nombre relatif , on encadrera (c’est à dire : on trace une barre verticale de chaque coté des parenthèses du nombre relatif ) le nombre relatif (ou son
représentant : « a » ; « x » ,.....) par un
trait vertical de la hauteur d’une ligne , de chaque côté de ce nombre.
lorsqu’un nombre est encadré par deux traits verticaux il faut
lire la consigne suivante : « Donner la valeur absolue du nombre relatif ………».
Remarque importante : « Donner la valeur absolue d’un nombre (
forcément relatif ) connu » ne
nécessite aucun calcul , il suffit de nommer la valeur arithmétique il n’y a pas de calcul à faire
Exemples : On nous donne le nombre relatif ( + 4,5)
Si on donne l’écriture mathématique suivante :
, on doit lire
la consigne :
Donner la valeur absolue
du nombre relatif (+4,5 )
Alors la réponse à donner à cette
consigne est :
la valeur absolue de (
+ 4,5) est le nombre 4,5
Mathématiquement pour résumer
on écrira que :
= 4,5
Autres exemples
a) On nous donne
l’écriture suivante , 
(c’est un
exercice !).
- on doit traduire et lire la consigne :
« Donner la valeur absolue du nombre relatif négatif :
(-5,258) »
- la réponse à cette consigne est :
5,258
- en résumé on écrira :
= 5,258
En résumé on a écrit
que : la valeur absolue du
nombre relatif négatif ( - 5,258) est sa valeur arithmétique
« 5,258 » .
b) Exercice : 
:
lire la consigne :
donnez la valeur absolue de (- 4,5) ; la réponse à cette consigne
est : 4,5
la réponse à cette consigne
est soit littérale : la valeur absolue de ( - 4,5) est le nombre 4,5
ou soit
symbolique :
= 4,5
En conclusion :
► 
:5,258
►
: lire la consigne : donner la valeur
absolue de (- 4,5) ;
la réponse à cette consigne est : 4,5
►
: lire
la consigne : donner la valeur absolue de (4,5) ; la réponse à cette consigne est impossible à donner
,raison : le nombre : 4,5 n’est pas un nombre relatif.
Autres exemples :
On peut représenter un nombre algébrique ( relatif
) par une lettre :
Par exemple soit « a » le représentant un
nombre relatif ; la valeur absolue
de « a » se représente par
l’écriture 
;
Lorsque l’on voit écrit : : on
lira : Donner la
« valeur absolue de « a » »
Lorsque l’on voit écrit : 
: on
lira : Donner la
« valeur absolue de
« x » »
Lorsque l’on voit écrit 
;on lira
« valeur absolue de la somme (des nombres relatifs) « a + b » »
4°) reconnaître ( identifier, conventions d’écriture normalisée)
Un nombre relatif est composé d'un
signe (+ ou -) et d'une valeur absolue appelée aussi "valeur
arithmétique" ces deux éléments se trouvant « entre
parenthèses » .
La valeur absolue et le signe du nombre relatif
sont toujours situés dans (on dit aussi entre ) des parenthèses .
Remarque importante : tout
nombre relatif doit comprendre des parenthèses.
on
dira alors que:
Attention « + 3 » et « 3 » n’ont pas la même
signification , la valeur « 3 » ne peut pas être considéré comme le représentant d’
un nombre relatif.
« 3 » est un nombre entier , il peut être considéré comme
étant la valeur absolue du nombre (+3) ou du nombre ( -3) .
Le signe du
nombre relatif indique « un
sens ».
Attention au collège , pour simplifier, on a supprimé le signe + et les
parenthèses d’un nombre relatif ;
il est important de savoir remettre sous forme relative des nombres
positifs dit « simplifiés ».
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IV ) LES
PARENTHESES : |
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*les principaux
signes opératoires sont : +
; - ; /
; ¸ ; ´
Deux utilisations différentes des
parenthèses .
1°) Elles sont parties intégrantes du nombre relatif :
Les parenthèses servent à encadrer les deux parties (signe et valeur absolue)
du nombre relatif.
2°) Elles sont
utilisées pour regrouper des opérations dans une chaîne d’opérations
pour séparer « certains » calculs associés .
exemples : ( 4 + 78 – 189 ) + ( 4 x15 – 34)
On trouvera
un signe « opératoire* » entre une parenthèse ouverte et une
parenthèse fermée
Voir
le cas particulier : ( 12 + 23 – 56 ) ( 34- 5) : il n’y a pas de signe entre les parenthèses , pourtant
il existe !!!!!!!!
; sauf le signe opératoire de la multiplication
on dit : qu ‘avant de supprimer les parenthèses il
faut faire l’ensemble des opérations possibles afin de n’avoir plus qu’après
calculs , qu ‘un seul nombre.
Les parenthèses
« encadrent » , elles vont toujours
par paires ( deux ) ;
leur tracé est un arc de cercle
« vertical »
"(........" lire "parenthèse ouverte" ;
"...........
) " lire "parenthèse fermée "
3°) Conventions d’écriture: à propos du signe
« multiplié »
En algèbre ,
le signe « multiplié » n’existe plus
(il n’apparaît plus) parce
qu’une expression ,en algèbre , s’écrit avec des lettres et des
nombres associés.
Exemples: On n’écrit
pas a x b ; on écrira ab on
dira « a » fois « b »
On n’écrit
pas : 3 x x ; on écrira 3x on
dira « 3 » fois « ixe »
On n’écrit pas : 2 x a x b ;mais on écrira : 2ab ;
on dira 2 fois « a » fois « b »
On retiendra :
En
algèbre :pour indiquer la multiplication
du nombre « a » par le nombre « b » : on ne met pas
la croix ; on n’écrira pas « a x b » mais
« ab » :
la « x
(croix) » étant
réservée à la lettre « x (ixe)»
En algèbre :pour indiquer la
multiplication du nombre « a »
par le nombre « a » : on ne met pas la croix ; on n’écrira pas « a x a » mais
« a² » :
En algèbre :pour indiquer la
multiplication du nombre « x »
par le nombre « x » : on ne met pas la croix ; on n’écrira pas « x x x » mais
« x² » :
Voir
le cas ou deux parenthèses « se
tournent le dos » .......
) (.......... ,
dans ce cas il faut savoir qu ‘entre ces
parenthèses il devrait exister le signe
« multiplié » , par convention ce signe n’est pas écrit. ( toujours pour les mêmes raison que
précédemment, ne pas le confondre avec la lettre « x » appelé
« variable ».
Ainsi :
On n’écrit pas
( a + b) x ( a + b) mais
( a + b) ( a + b) et on lit : ( a + b) facteur de ( a + b)
ou écrit alors ( a + b) ² et alors on dit alors « a »+
« b » entre parenthèses au carré
On n’écrit pas
( a - b) x ( a - b) mais
( a - b) ( a - b) et on lit : ( a - b) facteur de ( a - b)
ou ( a - b) ²
on dit alors « a » - « b »
entre parenthèses au carré
On n’écrit pas
( a + b) x ( a - b) mais
( a + b) ( a - b) et on lit : ( « a » plus « b ») facteur
de ( « a » moins
« b »)
( on reverra cette écriture lorsque l’on fera le
cours sur les Identités remarquables , ou on peut dire aussi sur les produits
remarquables.)
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LE NOMBRE RELATIF « SIMPLIFIE » |
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La forme
simplifiée du nombre relatif est
souvent une source d’erreur, lorsque l’on passera des calculs
« arithmétiques » à l’exécution des calculs algébriques.
Rappel :
lorsque l’on fait des calculs en arithmétique les nombres ordinaires
dits « positifs », en
calcul algébrique les nombres sont ou positif
ou négatif ;……Ce qui ne pose pas de problème si l’on connaît les règles de
calculs.
Il faut vous retenir le texte qui est suit :
Tout nombre relatif dit
« simplifié » peut se
mettre , et doit se remettre , sous forme relative. (
voir le cours chapitre « 3 °»
sur la transformation d’une expression en somme algébrique )
IMPORTANT :
Procédure de
réécriture d’un « nombre relatif simplifié » sous
en forme « relative »
cas 1 : le nombre est
seul (il n ’ est composé que de
chiffre(s) avec ou sans virgule ) :
Faire précéder le nombre sans signe par le signe
"plus" (1) et ensuite encadrer le tout par les
parenthèses (2) . Placer ensuite le signe plus de l’addition.(3) devant la parenthèse .
Exemples :
3 devient
(1) +
3 ; puis (2) (
+ 3) ,
enfin (3) + ( +3 )
-
5,7 devient + ( - 5,7)
cas 2 :: suite de nombres séparés par des signes
« + » ou « - » :
Une suite de
nombres, constituée de valeurs arithmétiques entourées par des signes
opératoires "+" ou
"-" peut se mettre sous forme d'une suite d’additions
de nombres relatifs :
pour cela il suffit
a) de placer le
signe + en tête d’expression.
b) de
mettre ce signe + et la première
valeur
" absolue " entre
des parenthèses .
c) placer le signe suivant et la valeur absolue
dans des parenthèses
d)
séparer le premier nombre relatif et le deuxième nombre relatif par le
signe + ;
e) et ainsi de
suite.
Exemple : écrire
sous forme de nombres relatifs l’expression suivante : 3
+ 5,6 - 8
1°) +
3 + 5,6 - 8 (on met le signe + en
tête d’expression)
2°) (+3) …( + 5,6) ….( - 8) ( mettre chaque nombre dans des parenthèses , avec son signe qui le
précède )
3°) (+3) +
(+5,6) + ( -8) ( mettre des signes
« + » entre chaque nombre mise
entre parenthèse .)
donc l’expression
algébrique : 3 + 5,6 - 8
devient la somme algébrique (+3) + (+ 5,6) + ( -8)
|
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A ) INDICE |
|
Le nombre ou lettre placé « à
cheval » sur la ligne d'écriture (en
bas à droite d’un nombre donné ) (exemple : 3
) le
« 2 » porte le nom
"d'indice".
L'indice sert à ordonner des
nombres ou lettres écris sur la ligne
d'écriture.
_______________________________
__A _________35 __________B ______
autres exemples :
a
; a ;a
; a
; a
:
|
a |
on lira « a » indice « 1 » |
|
a |
« a » indice « deux » |
|
a |
« a »indice « trois » |
|
a n |
ainsi de suite
………« a » indice « ène» . |
..................le « a »
indice "un" étant le
premier « a » ; le « a »
indice "deux" étant le deuxième « a » ; ainsi de
suite ……….
L’indice sert à classer ,ranger , ordonner des objets ou nombres identiques.
( 3 fois
3 fois 3 égal ; s ’ écrit 3
3
3= )
|
|
|
___________________________________
; 3
; 3
_____3
_____B
___ _
1 ; 2 ;3; n ; sont
appelés "exposant"
Un nombre (
1 ;2 ;3 ; ..)ou lettre (n, p..) écrit en haut à droite d’un nombre (ou une lettre ) alors ce
nombre ( 1 ;2 ;3 ; ..)ou
lettre (n, p..) s'appellera "exposant" .
Cet exposant
indique la « puissance » d’un nombre .La « puissance » d’un
nombre correspond à la multiplication de ce nombre par lui même.
Le signe
« puissance » est une
simplification de l’écriture de la multiplication d’un nombre par lui
même, « n »fois.
Exemples :
3 correspond à
l’écriture 33
3 correspond à l’écriture
33
3=
3
correspond à l’écriture simplifiée 33.3
3
3
3
3
=
Des EXEMPLES de
nombres ;…….:
1°) Nombres entiers. Exemples 5 ; 7 ; 45 ;
56 ; 89
2°)
Nombres entiers positifs. Exemples
(+5) ; (+6) ; (+9) ; (+13 ); (+87 )
3°) Nombres entiers négatifs. Exemples (-5) ; (-6) ; (-9) ; (-13
) ; (-87 )
4°) Nombres entiers relatifs. Exemples (-5) ; (-6) ; (-9) ;
(+13) ; (+87 )
5°) Nombres décimaux. : Exemples 5,2 ; 7,6 ; 45,452 ;
56,58 ; 89,001
6°) Nombres
décimaux positifs.
Exemples (+5,2 );
(+7,6) ; (+45,452 ); (+56,58 ); (+89,001)
7°) Nombres décimaux négatifs.
Exemples (-5,2 ); (-7,6) ; (-45,452 );
(-56,58 ); (-89,001)
8°) Nombres
décimaux relatifs.
Exemples (-5,2 );
(-7,6) ; (-45,452 ); (+56,58 ); (+89,001)
9°) Valeur absolue de:
la
valeur absolue de ( + 15,4)
est :
réponse : la valeur absolue de + 15,4
est le nombre 15,4
la valeur absolue de (-
15,3) ?
réponse : la valeur absolue
de - 15,3 est le nombre
15,3
la valeur absolue du nombre
« 56,8 » ?
réponse impossible ; le nombre décimal « 56,8 » n’est pas un nombre
relatif ; mais un nombre décimal « ordinaire »
10 °) Exercices :
on peut écrire que : 
= 4,8 ; 
= 14,83
attention !!!!!! exercice
« piège » : 
= impossible
parce que « 4,8 » n’est
pas un nombre relatif
11°) Recherche de
la valeur arithmétique de:
(+14,8) réponse : 14,8
(-67,9) réponse : 67,9
123,75 réponse 123,75
12 °)
Traduction de 52 et
52
52
: on doit lire « 5 au carré » ; « 5
puissance 2 » ; « 5 exposant 2 » c’est une écriture simplifiée de l’ opération « la multiplication d’un nombre par lui
-même » soit « 5 fois 5 »
ou « 5 ´ 5 »
52 lire
« 5 » indice
« 2 » ; le « 2 »
donne la position , le rang dans un ordre de rangement des nombres
Donc :
Le premier «52 » informe qu’il y a une opération à
faire ; le deuxième « 52 » indique le rang du nombre dans une suite de
nombres.
Info élève :A la fin de cette lecture vous
devez demander les travaux AUTO – FORMATIFS ou le devoir formatif |
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