Le théorème des projections comporte deux parties essentielles :

a)  La mesure algébrique de la projection sur un axe orienté de la somme géométrique d’un système de vecteurs est égale à la somme des mesures algébriques des projections des vecteurs sur le même axe…Cette propriété est vraie en projection parallèle quelconque.

b) La mesure algébrique de la projection orthogonale  d’un vecteur sur un axe orienté est égale  au produit de la mesure algébrique du vecteur par le cosinus de l’angle des directions positives de l’axe et du support du vecteur .

Remarque :Dans ce cours la trigonométrie portera sur les angles saillants , donc compris entre zéro et 180 degrés. Ce qui bien sur limite singulièrement l’étude du champ d’application de ce théorème très général.

Applications :  des exemples de problèmes…

Problème 1 :

Soit un système d’axes orthonormés « O x ; 0 y » . Un premier  vecteur   de longueur « V »  fait avec « Ox » un angle aigu   . Les mesures algébriques de ses projections sont « X » et « Y ». Un second vecteur  de longueur « V ’ »fait avec « Ox » un angle aigu . Les mesures algébriques de ses projections sont « X ‘ » et « Y ‘ ».

On demande de calculer en fonction de  « X » « Y » » X ’ » « Y ’ » le cosinus de l’angle  de ces deux vecteurs .  « X Y X ’ Y ’ sont positifs. »

Solution :

Puisque nous avons l’angle ( O x , ) =         ;   l’angle   ( O x , ) =     

La seconde partie du théorème des projections nous donne :

X =   V  cos.

Et

Y =   V   sin  

X ‘  =   V  ‘  cos.

Et

Y ‘  =   V   sin  

D’ où :

V ²  =  X ²   + Y ²                                 et             V ‘ ²  =  X ‘  ²   + Y ‘ ²

Projetons orthogonalement  « V ‘ »   en  « H » sur « Ox »

  =  X ‘

  =  Y ‘

Tracer sur le dessin les projections !!!

Mais le contour polygonal «  OH V ’ » permet d’écrire :

  =   + 

Projetez les éléments de cette relation vectorielle sur le support de   , et orienté comme le vecteur  ;

 Ainsi , d’après la première partie du théorème des projections nous pouvons écrire :

    =   +    ou d’après la seconde partie du théorème des projections :

   =     +

A savoir :

·        le cosinus de l’angle formé par le couple ( ; )   =  cos .    ;  

·        le cosinus de l’angle formé par le couple : ( Ox ,   )    = cos .   

·        le cosinus de l’angle formé par le couple : (  ; Oy )    =    cos .  (   -)   =   sin.

D ’après la deuxième partie du théorème des projections nous pouvons écrire :

V ‘   cos .    =    cos .      +    sin.

( nota :  « O y »  est le sens positif qui porte le vecteur  )

donc

V ‘   cos .    =  X ‘   cos .   +   Y ‘  sin.

Et comme d’après le début de la solution :

cos .   = 

sin. = 

On a finalement :                                  cos .  = 

Ou :    cos .  =

Problème 2 :

On considère un demi cercle de centre C    de rayon « 5 » , limité par le diamètre « AB » et situé au-dessus de « AB » parallèle à «  x x ’ ». Soit « M » un point du cercle défini par  l’angle formé » par  « Ox »  et   =     .

Calculer en fonction de    les coordonnées du point « M » .

Envisageons  le contour polygonal « OCM » et écrivons :  =    + 

I   )    Projetons sur l’axe des « x » :

  =     + 

et d’après la seconde partie du théorème des projections et compte tenu du fait que :

·          =  abscisse « x » de « M ».

·          =   abscisse « 8 » de « C »

nous aurons :

·        «  x = 8 + CM  cos () »

·        «  x = 8 + 5  cos () »

  II  )    Projetons sur l’axe des « Oy  » :

Compte tenu du fait que :

·          =  abscisse « y » de « M ».

·          =   abscisse « 5 » de « C »

Et            cos ()  =  cos .  = sin .

Nous aurons :                     y = 5 + 5 sin .

Les coordonnées du pont « M » sont donc : 

M

x = 8 + 5  cos

y = 5 + 5 sin .

Problème 3 :

On considère deux axes rectangulaires orthonormé « O x »  et «  O y » et un point « C » sur « O y », d’ordonnée « R ». Soit le demi-cercle, situé dans l’angle « x y » et tangent en « O » à « Ox »..

On défini un point « M » de ce demi-cercle par l’angle  formé par les deux vecteurs : et =  .

Calculer en fonction de « R » et  l’angle   les coordonnées du point « M ».

Ce qui donne comme  début de solution :

*Indications : 

 =  +

Et projeter  sur les axes :

«  x = R  sin  »

« y = R – R cos .  »

Problème 4 :

On considère deux axes orthonormés  «  O x ; O y »et le quart de cercle de centre « O », de rayon « a » , situé dans l’angle «  x O y ».

Soit « M » un point de ce quart de cercle de centre ,défini par l’angle  formé par « Ox » et le vecteur  = 

On oriente la tangente en « M » dans le sens  tel que : 

  =    + 90 °

et on porte sur cette tangente le vecteur  tel que :

 =  - arc

calculer en fonction de « a » et de «   » les coordonnées du point  « P ».

Ce qui donne comme  début de solution :

*Indications :   Ecrire :  =   +

et projeter sur les axes.

«  x  = a  (  cos.    +    sin. )

«  y = a  ( sin.    -     cos. )

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

EVALUATION.

Refaire les problèmes…du cours  …… ;;;;