|
|
|
|
|
|
ENVIRONNEMENT du dossier:
|
|
-
Passage
CAP -BEP / BAC Prof. |
COURS niveau
4 et 3 : LES PRODUITS
REMARQUABLES
|
@
info+ |
@ info+ |
|
|
|
Définition,
(a+b)² ; ( a- b)² ,Généralisation sur le carré d’un polynôme, ( a + b ) 3,
( a - b ) 3, (a + b ) ( a -
b), ( a3 - b3), ( a3 + b3),
résumé , |
|
|
@
info+ |
|
|
TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité
|
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
|
@ |
PRODUITS REMARQUABLES ou IDENTITES REMARQUABLES. |
On appelle « produits remarquables » les
résultats de certaines multiplications qu’on doit savoir par cœur parce
qu’ils permettent d’effectuer plus rapidement des transformations d’expressions
littérales. Les égalités auxquelles on est conduit sont appelées « identités ».
|
1°) ( a + b ) ² |
@ |
On a :
( a + b ) ² = ( a
+ b ) ( a + b )
= a ² + b a + a b + b²
= a ² + 2 a b + b²
( a + b ) ² = a ² + 2 a b + b²
|
2°) ( a - b ) ² |
@ |
On pourrait comme précédemment effectuer la
multiplication ( a - b) ( a - b) , mais il est plus simple de déduire le
résultat du précédent.
En effet on peut écrire :
( a - b ) ² = [ a + (-b)]²
= a ² +(- b) a + a (-b) +(- b)²
= a ² +
2 a ( -b) + (- b)²
= a² -
2ab + b²
( a - b ) ² =
a² - 2ab + b²
On dit qu’on a déduit ce résultat du précédent en “changeant “b” par “-b”.
|
@ |
GENERALISATION. CARRE D’UN POLYNOME. |
@ |
( on
utilise pour la démonstration appelée : méthode par récurrence)
Considérons d’abord un polynôme de 3 termes a + b + c .
On peut calculer ( a+ b+ c) ² en considérant « a+ b + c» comme étant
la somme de deux termes : « a+b » et « c » . On
obtient ainsi :
|
|
( a+ b+ c) ² = (a
+ b) ² + 2 ( a + b) c + c² =
a² + 2ab + b² + 2ac + 2 bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc |
|
On voit que le résultat trouvé est égal à la somme des carrés de tous lestermes augmentée de la somme de tous les doubles produits de
ceux - ci pris deux à deux comme dans le cas du carré de la somme de deux termes.
Voyons si cette règle est générale . Pour cela admettons
qu’elle est vraie dans le cas de « n » termes « a ;
b ; c ; ……k ; l » et voyons si elle est vraie lorsqu’il y a
un terme de plus « m »
Admettons donc que l’on a :
(a + b +
c + ……+k + l )² = a² + b² + c² + ……….+ k²+ l² + 2ab + 2ac + ………2 k l
et calculons
(a + b + c + ……+k + l + m )²
en considérant « a + b +c +
…..k + l+ m » comme la somme de deux termes : « a+ b + c +……..k + l » et « m »
On a :
(a + b +
c + ……+k + l + m )² = (a + b + c + ……+k +
l )²+ 2 (a+ b + c +……..k + l )m + m²
Si on développe le carré et le double produit ,
1°) Les carrés de a ; b ; c ; … k ;
l sont dans le développement du carré et
« m² » est dans le dernier terme,
2°) tous les doubles produits qui ne contiennent pas
« m » sont dans le développement du carré et tous ceux qui
contiennent « m » sont dans le deuxième terme.
D’autre part , il n’y a pas d’autres termes que ces
carrés et ces doubles produits.
Finalement on voit que le résultat obtenu est la somme
des carrés de tous les termes augmentée de la somme de tous les doubles
produits.
La règle est vraie pour « n = 2 » il en résulte
qu’elle est vraie pour « n+1 = 3 ». Etant vraie pour « n =
3 » elle est vraie pour « n+1 = 4 ».
En procédant de
proche en proche on voit qu’elle est vraie quel que soit le nombre de termes.
( a + b + c + …..+ k + l + m
)² = 
+ 
Nota : pour
le symbole 
lire « la somme des… »
Pratiquement , afin de n’oublier
aucun double produit, on écrit les doubles produits de chaque terme par tous
ceux qui le suivent.
Exemple :
Soit à
calculer A = ( 3 x3 + 4 x² -
5 x - 3)²
On a A
= 9 x6 + 16 x 4
+ 25 x² + 9 + 24 x5 - 30 x4 - 18 x3 - 40 x3
- 24 x² + 30x
= 9 x6 +
24 x5 - 14 x4 - 58 x3 + x ² + 30 x + 9
REMARQUE : la méthode
employée dans la démonstration précédente est appelée”Méthode par « récurrence » .
On voit en quoi elle consiste :
Ayant remarqué
que la propriété est vraie pour les premières valeurs de « n » on
suppose qu’elle est vraie pour une valeur de « n » quelconque et on
démontre qu’elle est vraie pour « n+1 ». Etant vraie pour « n =
2 » ; n= 3 , ….elle est
générale.
|
|
( a + b ) 3 |
|
On a ( a + b )3 = ( a + b ) ² ( a + b)
= ( a² + 2a b + b² )
( a + b)
= a 3 +
2a² b + b² a + a² b + 2 ab² + b 3
= a 3 + 3 a² b + 3 ab²
+ b3
( a + b )3 = a 3
+ 3 a² b + 3 ab² + b3
On écrit parfois ce résultat sous la forme :
( a + b )3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b)
|
|
( a
- b ) 3 |
|
Changeons les résultants précédents “b” en “-b” . On obtient :
( a - b )3 = a 3
- 3 a² b + 3 ab² - b3
( a - b )3 = a 3
- b 3 + 3 a b ( a -
b)
|
( a + b ) ( a - b) |
|
Effectuons la multiplication.
On a : ( a + b ) ( a
- b) =
a² + b a - a b - b²
= a² - b²
( a + b ) (
a - b) =
a² - b²
|
@ info |
a3 - b
3 |
|
Nous avons déjà trouvé
: ( a - b )3 = a 3
- b 3 + 3 a b ( a -
b)
On en déduit :
a 3 - b 3 = ( a - b) 3 + 3 ab ( a - b)
= ( a - b ) [ ( a - b ) ² + 3 a b ]
= ( a - b ) [ ( a² -
2ab + b² + 3 a b ]
= ( a
- b) ( a ² + a b + b² )
a 3 - b 3 =
= ( a - b) ( a ² + a b + b² )
|
@ info |
a3 + b
3 |
|
Changeons
dans le résultat précédent “b”
par “-b”
On obtient: a3
+ b 3
= ( a + b ) ( a² - a b + b²)
En résumé, on doit savoir par
Coeur les résultats suivants :
|
|
( a + b ) ² = a² + 2 a b + b² ( a - b ) ² = a ² - 2 ab + b² ( a + b ) ( a - b) =
a² - b² On se
rappel era des calculs
suivants: ( a + b + ….+ m )²
= ( a + b )3 = a
3 + 3 a² b + 3 ab² + b3 = a 3 + b 3 + 3 a b ( a + b) ( a - b )3 =
a 3 - 3 a² b + 3
ab² - b3 = a 3 - b 3 + 3 a b ( a - b) a 3 - b 3 =
= ( a - b) ( a ² + a b + b² ) a3 +
b 3 = ( a + b ) ( a² - a b + b²) |
|
REMARQUE : Les polynômes qui sont dans les deux membres
de chacune des identités précédents sont “homogènes” et du même degré .
|
@ |
1ère APPLICATION :
La factorisation
d’un polynôme du second degré : on regarde si deux termes ne sont pas le
début d’un développement de la
forme :
1°) a² + 2 a
b + …….=
qui se ramène à la forme ( a +
b) ² ou a² + 2……+ b² ) = ( a + b )²
2°) a² - 2 a
b + …….=
qui se ramène à la forme ( a -
b) ² ou a² - 2……+ b² ) = ( a - b )²
3°) a² - b²
qui se ramène à la forme ( a +
b ) ( a - b )
2ère APPLICATION
Tout d’abord, les produits remarquables permettent de calculer « une
puissance d’un polynôme ».
Exemple 1 . Calculer
A = ( x + 2 y ) 4
On a : A = [
( x + 2 y ) ² ]²
=
( x² + 4 x y + 4 y² ) ²
= x 4 + 16 x² y ² + 16
y ² + 8 x3 y + 8 x² y²
+ 32 x y 3
= x 4 + 8 x3
y + 24 x² y² + 32 x y 3 + 16
y 4
Exemple 2 .
Calculer B = ( x + y + 1 ) ²
On a : B = ( x +
y ) 3 + 3 ( x + y ) ² + 3 ( x
+ y ) +1
= x3 + 3 x² y + 3 x y² + y 3 + 3 x² + 6 x y + 3
y² + 3 x + 3y + 1
3ème APPLICATION :
« l’identité »
( a + b ) ( a - b) = a² -
b²
permet
d’obtenir le produit de certains polynômes particuliers sans poser la
multiplication.
Cela se produit si les deux polynômes sont formés de
nombres dont les uns sont les mêmes et les autres opposés deux à deux.
|
Exemple 1 :Calculer l’expression : A = ( 2x + 5 y +1) ( 2x - 5y +1 ) |
Exemple
2 . Calculer
l’expression : B = ( 2x + 5 y +1) ( 2x - 5 y -1) ² |
|
On a A = ( 2x +1)² - ( 5 y)² = 4 x² + 4x + 1
- 25 y² |
On a B = ( 2x²)²
- ( 5y +1 )²
= 4 x² - ( 25 y² + 10 y +1 )
= 4 x² - 25 y² - 10 y - 1 |
4ème APPLICATION .
Dans la suite du cours , nous avons à mettre un polynôme
sous la forme d’un produit de facteurs . Ce problème n’est pas toujours
possible. Nous ne nous proposons pas d ‘ examiner dans quels cas on peut le résoudre mais
simplement d’indiquer les essais que l’on doit faire pour essayer d’obtenir le
résultat demandé.
1°) On regarde si on peut mettre une expression en
facteur.
Exemples :
|
A = a b + a c - a d = a ( b + c - d) |
B = 6 x² y² + 9 x²
y 4 = 3 x² y²
( 2x + 3 y²) |
|
C = 2 ( a + b ) ² + 3 ( a + b ) ² = ( a + b )² [ 2 ( a +
b) + 3 ] = ( a + b )² ( 2a + 2
b + 3 ) |
D = ( x + y ) (
x + 5 y ) - ( x + y ) ( 6x - 4y) = ( x + y )
[( x + 5 y ) - ( 6x - 4y)] = ( x + y )
( x + 5 y - 6 x + 4 y) = ( x + y )
( - 5 x + 9 y) |
2°) On remarque si l’expression donnée est la différence
des carrés de deux polynômes ( ou monômes) et on utilise l’identité : a² - b² = ( a + b ) ( a - b)
Exemples :
|
A = 9 x² - 16 y² = ( 3 x + 4 y ) ( 3 x - 4 y) |
B = a² + 4 ab + 4
b² - 1 = ( a + 2b ) ² - 1 = ( a + 2b + 1) ( a + 2b - 1 ) |
C = 4 x² - y ² - 4 x + 1
= ( 2x - 1 )²
- y ²
= ( 2x - 1 + y ) ( 2 x - 1 - y )
3°)De même , une expression pourra être mise sous la forme d’un produit de facteurs si
elle est la différence ou la somme de deux cubes.
On utilisera alors les résultats établis précédemment
pour l’égalité « a 3 - b 3 = ( a
- b) ( a ² + a b + b² ) » et
l’égalité « a3 +
b 3 = ( a + b ) ( a² - a b + b²) »
Exemple : A = a 3
- 8 b6
= ( a - 2 b²) ( a² + 2a b + 4 b4)
4°) On regarde si une transformation préalable de
l’expression donnée permet d’obtenir une mise en facteur.
Exemples :
A = a² -
4 b² + ( 2 a - 4 b)²
= (
a + 2 b ) ( a - 2 b) + 4 ( a - 2 b)²
=
( a - 2b ) [ ( a + 2 b ) + 4 ( a
- 2 b)]
= ( a - 2b ) ( a + 2b + 4 a - 8 b)
= ( a - 2 b ) ( 5 a -
6 b)
B = x 3 ( x - z ) + y 3 ( z - z ) +
z3 ( x - y )
= x3
y - x 3z + y 3 z - y3 x + z3 ( x -
y )
= ( x 3 y - y 3 x ) - ( x3
z - y3 z ) + z3 (
x - y)
= x y ( x² - y²
) - z ( x3 - y 3 )+ z3 ( x - y )
= x y ( ( x - y
) ( x + y ) - z ( x - y ) ( x² + x y +
y² ) + z3 ( x - y )
= ( x - y ) [ x y
( x + y ) - z ( x² + x y + y² ) + z3 ]
Considérons maintenant l’expression entre crochets.
On peut écrire :
x² y + x y² - z x² - x y z - z y² + z²
= ( x²y - z x ² ) + ( x y² - x y z ) - ( z y² - z3 )
= x² ( y - z ) + x y ( y - z ) -
z ( y -z)( y + z)
= ( y - z) [ x² + x y - z ( y + z
) ]
et B = ( x - y ) ( y - z ) [ x² + x y - z ( y + z ) ]
La nouvelle expression entre crochets peut
s’écrire :
x ² +
x y - z y - z²
= ( x² - z² ) + ( x y - z y)
= ( x + z
) ( x - z ) + y ( x - z)
= ( x - z ) ( x + y + z )
Finalement , de
la forme développée de B = x 3
( x - z ) + y 3 ( z - z ) + z3 ( x - y )
on a par transformation successive la forme « factorisée » :
B = ( x
- y ) ( y - z ) ( x - z ) ( x - z ) ( x + y + z )
DEVOIR :
Voir chapitre par chapitre.
Pour
chaque chapitre , et pour approfondir cliquer sur « @ info »
EVALUATION
Pour
chaque chapitre, et pour approfondir cliquer sur « @ info »