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ENVIRONNEMENT du dossier :

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1°) Les rationnels

2°) Cours spécifique et application

  Tableau     Sphère metallique90

 

 

 

INFORMATIONS : Module : calcul algébrique

 

 

Boule verte

LES  CALCULS FRACTIONNAIRES :    FRACTIONS algébriques :  EGALES et INEGALES .

 

·       Les suites de fractions égales .

·      Les suites de fractions inégales.

·      Complément : « moyenne arithmétique »

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

Corrigé

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

2°) autres exercices.

Interdisciplinarité                         Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

 

 

 

 

« suite.. »

Les suites de fractions égales .

 

« info ++ »

 

 

 

Théorème : Etant donnée une suite de fractions égales , on obtient une fraction égale à chacune d’elles en divisant la somme algébrique des numérateurs par la somme algébrique des dénominateurs.

Démonstration :

Soient les fractions égales : « =  = = …… » , représentant par « q » la valeur commune , on a « = q ;    = q    =q ; … » et par suite :  « a =bq » ; « a’ = b’ q » ; « a’’= b’’q » ; …..

 

En additionnant ces égalités  membre à membre , il vient :

 

«  a + a’+ a’’ + ….=  bq  + b’ q + b’’q + …. »

«  a + a’+ a’’ + ….=  q (  b + b’ + b’’+ ….)  »   et en divisant de par et d’autre par (  b + b’ + b’’+ …. )

 

on obtient : «   = q »

 

Corollaires :

 

Corollaire N°1 :  On peut , avant d’additionner les fractions terme à terme , multiplier les deux termes de chaque fraction par un même facteur arbitraire..

 

En effet ;on a     « =   ;     =   ;   = …… » les premiers membres de ces égalités sont égaux , les seconds  le sont aussi ; d’où « =  = =…… »  ou , en vertu du premier théorème : «   = q »

 

 

Corollaire N°2:  On peut ajouter certaines fractions terme à terme et retrancher terme à terme certaines autres.

 

En effet , si , dans la suite proposée , on remplace, par exemple ,la fraction  par son équivalence :  et qu’on applique le théorème , il vient

 

«     = q  »

 

Corollaire N°3:  On obtient une fraction égale, en valeur absolue, à chacune des fractions  proposées en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs.

 

En effet , en ajoutant membre à membre les égalités  «  a =   bq ; a’ =  b’ q ; a’’ = b’’q ; …. » préalablement élevées au carré on a :

«  a² + a’² + a’’² + ….=  b²q²  + b’² q² + b’’² q² + ….. »

d’ où  «  q² »

 

et , en prenant la racine des deux membres :

 

 

 

 

 

 

 

Info +++

Les suites de fractions inégales .

 

Info sur les inégalités.

 

Etant donnée une suite de factions inégales à dénominateurs tous positifs ou tous négatifs, la fraction obtenue en divisant la somme des numérateur par la somme des dénominateurs est comprise entre la plus grande et la plus petite d’entre elles.

 

Soit la série décroissante : «   >  >   >    » , appelant « h » la plus grande fraction , on a  «  = h ;   < h ;   < h ;    < h  »

 

D’où si les dénominateurs sont positifs

On a  «  a = b h » ;  «  a’ <  b’ h » ;  «  a’’ < b’ h »   ; «  a ‘’’ < b’’’ h »

 

d’où : «  a + a’+ a’’ + a ‘’’ <   h  (  b + b’ + b’’+ b ‘’’ )  » 

 

ou  enfin :  «     < h   »

Appelant « k » la plus petite , = k , on obtient , par un raisonnement inverse , «  a + a’+ a’’ + a ‘’’+…. >   k  (  b + b’ + b’’+ b ‘’’+….. )  » 

 

Donc :  «     > k    »

 

Si les dénominateurs sont tous négatifs ,

On a   «  a = b h » ;  «  a’ >  b’ h » ;  «  a’’ > b’ h »   ; «  a ‘’’ > b’’’ h »

 

d’où : «  a + a’+ a’’ + a ‘’’+ …. >   h  (  b + b’ + b’’+ b ‘’’+ …  )  » 

 

ou  enfin :  «     < h   »

 

Il vient de même  :  «     > k    »

 

Complément : Calcul de la moyenne « arithmétique » : (info +++)

 Une quantité « q » est dite « moyenne » entre plusieurs quantités «  a ; b ; c ;  .. » lorsqu’elle n’est ni supérieure à la plus grande de ses quantités , ni inférieure à la plus petite , et cette propriété s’exprime par la notation «  q = Moy.( a ; b ; c ;..)

 

Ainsi , quelles que soient les fractions à dénominateurs de mêmes signes :

«  ;  ;   ;    » on a  «     = Moy. ( ;  ;   ;   ; …)

 

La somme de plusieurs quantités , ainsi divisée par le nombre de ces quantités , porte le nom de « moyenne arithmétique » , ou parfois , simplement de « moyenne »

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

Relire le cours !!!!

 

 

EVALUATION :

 

  1.  

Réduire an même dénominateur les fractions suivantes :  ;  ;

 

 

 

 

  1.  

Réduire au même dénominateur les fractions :  ;   et

 

 

 

 

  1.  

Ajouter les fractions :   et 

 

 

 

 

  1.  

Additionner :   et 8 unités 

 

 

 

 

  1.  

Trouver la différence des fractions :  ;

 

 

 

 

  1.  

Quelle est la différence de :  à  -x ?

 

 

 

 

7.    

Quel est le produit de 7 par  ?

 

 

 

 

  1.  

Faire  le produit de  par

 

 

 

 

  1.  

Diviser la fraction   par 

 

 

 

 

  1.  

Trouver le quotient de  par – 9

 

 

 

 

  1.  

Multiplier :   par    et simplifier le produit.

 

 

 

 

  1.  

Diviser  :   par 

 

 

 

 

  1.  

Faire le produit de    par

 

 

 

 

  1.  

Diviser    par

 

 

 

 

  1.  

Trouver que dans une fraction proprement dite  , c'est-à-dire dans le cas où   a < b  , on a toujours les inégalités :

 <    et   >  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

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