Pré requis:

Les suites de nombres et ensembles de nombres

 

2°) Les suites géométriques

3D Diamond

1°) Les suites arithmétiques

3D Diamond

Les puissances de dix

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

 

 Notions sur le logarithme.

Objectif suivant :

)Les logarithmes de « x » Sphère metallique

)la fonction log.

3°) la représentation graphique et l’échelle logarithmique.

4°) les logarithmes vulgaires

 

tableau    Sphère metallique 195

 

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

DOSSIER : Les logarithmiques

 

I )   Etablissement d’un système logarithmique ……..

Pour conduire à la  Définition : « base d’un système de logarithmes »

II )  Propriétés communes à tous les systèmes de logarithmes ……

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

I )   Etablissement d’un système logarithmique ……..

 

 

 

Considérons deux progressions croissantes , l’une géométrique ( G ) de raison « k » , l’autre arithmétique ( A) de raison   ( r ) et faisons correspondre les termes de  ( g ) et de  (A) de telle façon que l’unité dans la progression géométrique corresponde au zéro , dans la progression arithmétique.

 

 

 

( G )

 

 

…..

1

K

K3

K4

……..

kn

 

 

( A )

 

- nr

- 4 r

- 3 r

- 2 r

- r

0

r

2r

3r

4 r

…..

n r

 

 

On dit que les deux progressions forment un système de logarithmes et qu’un terme quelconque de la progression arithmétique  ( A ) est le logarithme du terme correspondant de la progression géométrique  ( G ) .

Ainsi :

           « - 4 r »  est le log de     :   soit    log  =  - 4 r

et 

            « 4 r »  est le log de K4     ; soit  log K4  = 4 r

 

 

 

Lorsque l’on examine  ce système de logarithmes . plusieurs remarques s’imposent immédiatement   :

1°) La progression  géométrique (G) ne peut avoir que des termes positifs , il en résulte que les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

2°) Le logarithme de « 1 » est toujours « 0 »

3°) Les nombres supérieurs à « 1 »  ont un logarithme positif ; les nombres inférieurs à « 1 » ont un logarithme négatif.

4°) Le logarithme d’une puissance quelconque de « k » est égal au produit de « r » par l’exposant de cette puissance.

5°) Le logarithme de l’inverse d’un nombre et le logarithme de ce nombre ont des valeurs opposées :   log   =   - log k n

 

 

 

On conçoit qu’en choisissant  « k » suffisamment voisin de « 1 » et « r »    suffisamment voisin de « 0 » les progression arithmétique ( A)  et géométrique ( G ) seront telles que deux termes consécutifs différeront d’aussi peu qu’on le voudra .

Dans ces conditions il sera possible d’identifier exactement ou , avec une certaine approximation , n’importe quel nombre avec l’un des termes de la progression géométrique , son logarithme exact ou approché étant le terme correspondant de la progression arithmétique.,

 

 

Par définition : on appelle « base » d’un système de logarithme le nombre qui , dans un système a pour logarithme « 1 » .

 

 

II )  PROPRIETES  COMMUNES   à tous les systèmes de logarithmes ……

 

 

 

Les logarithmes jouissent des propriétés importantes grâce auxquelles ,  leur emploi est très utile dans le calcul numérique.

 

I ) Logarithme d’un produit.

 

1°) cas de deux facteurs :

 

Soit le produit :  A . B  

Identifions « A » et « B » avec des termes de même valeur de la progression géométrique ( G)

Soit  A = ( km ) ;  B  = ( k n )   

Nous avons :   Log A.B  =   Log ( km ) ( k n ) =   Log k m+n   =   ( m + n ) r    

 

 

 

=  ( m r ) + ( n r )

= Log ( km ) + Log  ( k n )

=  Log A + log B

 

 

2°)  Cas de trois facteurs.

 

 

Soit le produit : A . B . C

 

 

Nous avons :

 

 

Log A. B. C. 

= Log ( A . B ) C

= Log A.B + log C

= log A + log B + log C

 

 

Le même raisonnement étant valable pour un produit d’un nombre quelconque de facteurs , la propriété est générale et s’énonce .

 

 

 

Règle 1 : Le  logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

 

 

II ) le logarithme d’une puissance.

 

 

Soit 

 

 

Appliquons la règle (1)

 

 

 

 

 

 

 

Log A n   =  n log A

 

 

 

 

 

Règle 2 : Le logarithme d’une puissance  d’un nombre est égal au produit de ce nombre par l’exposant de la puissance.

 

 

 

 

III ) le logarithme d’une racine.

 

 

Soit    qui peut s’écrire     

Appliquons la règle   (  2 )

 

Log   =   log   =    log A

 

 

 

Règle 3 : le logarithme de la racine nième  d’un nombre est égal au quotient par « n » du logarithme de ce nombre.

 

 

 

 

IV ) le logarithme d’un  quotient.

 

 

Soit   qui peut s’écrire    A .

 

Appliquons la règle (1)

 

Log   =  Log A .    =    Log A  +   log    

 

Or le logarithme de l’inverse d’un nombre est appelé « cologarithme » de ce nombre d’où la règle .

 

 

Règle 4 :  Le logarithme d’un quotient est égal à la somme du logarithme du dividende et du cologarithme du diviseur.

 

 

 

 

 

Nota : Nous avons précédemment remarqué que le logarithme de l’inverse d’un nombre et le logarithme de ce nombre ont des valeurs opposées.

 

 

log   =   - log k n

soit    colog.  k n  =    - log k n

                                                                     les deux relations : 

 

 

 

 

 

Et                         

 

 

                                       Sont donc équivalentes , cependant, dans la pratique des calculs logarithmiques on remplace toujours la soustraction d’un logarithme par l’addition du cologarithme correspondant.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal ……………………………………………….

 

Si nous généralisons : log ( a bc ) = ……………………………………………………….

 

 

Théorème  2 : le logarithme d’un quotient est égal ……………………………………………

 

 

 

On peut donc écrire que :      log  =

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal ………………………………………...

 

   on peut donc généraliser : log a  = ?

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal …………………………….

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

Voir plus tard ……..

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

ize:12.0pt; mso-bidi-font-size:10.0pt;font-family:Arial'>