Définitions : 

Limite d’une fonction :  f(x)

Opérations sur les limites :

Forme indéterminée. «  » .

Accroissements :

Quand on passe d’une valeur « x₀ » à une valeur « x₁ », on dit que « x » a reçu l’accroissement « x₁ - x₀ ».

Cet accroissement se désigne par l’écriture  «  x »  ( ce groupe de deux lettres constitue un symbole unique, jouant le même rôle qu’une seule lettre.)

L’accroissement «  x »  peut être positif  ou  négatif.

De telle sorte que :

« x =  x₁ - x₀ ».

Ou

«   x₁  = x₀  + x »  

Soit « y » désigne une fonction de « x »  définie dans un certain intervalle ;

               -   « x₀ »  et « x₁ »  deux valeurs de « x » appartenant à l’intervalle  ,

               -   « y₀ »  et « y₁ »  deux valeurs correspondantes de « y »

n

Nous appellerons « accroissement de « y » » correspondant à l’accroissement de « x » , la différence « y₁  -  y₀ »  et nous la désignerons par « «  y » .  

L’accroissement  de « x » 

« x =  x₁ - x₀ ».

Valeur finale de « x »

«   x₁  = x₀  + x »  

L’accroissement  de « y » 

« y =  y₁ - y₀ ».

Valeur correspondante de « y »

«   y₁  = y₀  + y »  

Exemple : soit la fonction : y = 2 x² - 7 x + 5

Cas 1 : on fixe « x₀ = 2 »

1^er couple de valeur :

« x₀ = 2 »

y₀ =  8 – 14 + 5

y₀ =  - 1

2^éme  couple de valeur :

y = 2 x₁² - 7 x₁ + 5

«   x₁  = 2  + x »  

y₁ = 2 (2  + x ) ² - 7 (2  + x )  + 5

y₁ = - 1 +  x  +  2 ( x )²

Les accroissements correspondants sont :

« x »

et

«  y » =   x  +  2 ( x )²

Cas 2 :  Refaisons le même calcul , mais sans préciser la valeur initiale :

1^er couple de valeur :     « x₀  »   et  « y ₀ = 2 x₀² - 7 x ₀ + 5 »

2^éme  couple de valeur :                                        

«   x₁  = x₀  + x »

y₁ = 2 (x₀  + x ) ² - 7 (x₀  + x )  + 5

y₁ = 2 x₀²  - 7 x₀  +  5 + ( 4 x₀  - 7)  x   + 2 ( x )²

Les accroissements  correspondants sont :    :     x                et              y = ( 4 x₀  - 7)  x   + 2 ( x )²

Voir la définition de la dérivée…………

Limites :

Définitions : 

1°) On dit que la variable « x » tend vers le nombre donné  « a » quand elle prend des valeurs de plus en plus voisines de « a ».

C'est-à-dire telles que la  différence  (lire « valeur absolue) deviennent et reste inférieure à tout nombre positif arbitraire «  » (lire :epsilon)  , si possible soit-il , fixé à l’avance.

« x »  « a »   si pour tout  «   > 0 » , on a finalement :      <

Notons que « x » tend vers « a » par valeurs supérieures  si «  x – a » reste positif , par  valeurs inférieures  si «  x – a » reste négatif

D’autre part , il revient au même de dire que « x » tend vers « a » ou que ( x – a ) tend vers zéro.

2°) On dit que la variable « x » tend vers  « +  »  quand elle prend des valeurs de plus en plus grandes ,

C'est-à-dire  finalement supérieures  à tout nombre positif arbitraire « A »  , si grand soit – il , fixé à l’avance .

« x »  « +  »  si pour tout  « A  > 0 » , on a finalement :     « x < A »

De même :

« x »  « -   »  si pour tout  « A  > 0 » , on a finalement :     « x < - A »

Limite d’une fonction :  f(x)

On dit que la fonction f(x) admet le nombre « b » pour limite quand « x » tend vers « a », s’il est possible de choisir « x » suffisamment voisin de « a » pour que f( x )  soit aussi rapproché de « b » qu’on le désire. 

Exemple :  la fonction  y =   

  2 x + 1

x - 1

( x – 1) ( 2) =  ( 2 x -2) qui devient par soustraction

-2 x  +2

2

Reste :

              0 x + 3

la fonction  y =   c’est   aussi :   y =      tend vers « +2 » lorsque   « x » tend vers « +  »  , car on obtient   :       0 < y – 2 <   pour 

Elle tend vers :  +  »   quand « x »  tend vers « 1 » par valeurs supérieures ,

car on obtient «  y – 2 A <  x – 1 <     ou    1  < x < 1 +

Elle tend vers « +3 » lorsque « x » tend vers « +4 » . Car pour obtenir     « | y - 3 | » <   ; soit  « <  » il suffit , tout au moins pour «  <  » ; de  prendre  ; on écrit :

Lim

  =  + 3

x  4

D’une façon précise :

La fonction «  y = f( x ) » admet la limite « b » lorsque « x » tend ver s « a », si à tout nombre positif arbitraire «  » on peut faire correspondre un nombre positif «  » tel que la relation  «  »  entraîne «  ».

La fonction « f( x ) » n’est pas obligatoirement définie pour « x= a » , mais elle doit l’être au voisinage de « a » pour « x > a » ou « x < a » . C’est précisément quand « f (a) » n’est pas définie pour « x = a » qu’il importe le plus souvent de pouvoir trouver la limite de « f ( x ) »quand « x » tend vers « a ».

Opérations sur les limites :

La recherche des limites est facilitée par les résultats suivants  que nous admettrons :

Si , lorsque « x » tend vers « x_o »  les fonctions  «  u ( x ) » ; «  v ( x) » , «  w (x ) » admettent respectivement les limites :  «  u _o » ; «  v _o » , «  w _o» : 

 1°) La somme  «  u + v + w »   admet pour limite «  u _o +  v _o +  w _o» 

 2°) Le produit   «  u  v »     admet pour limite «  u _o   v _o » 

3°)   Si  v _o   0  , le quotient          admet pour limite

Si , A ; B ; C sont des constantes :

-        la limite  «  Au » est  «  A u _o »

-        la limite de la somme algébrique  «  A u + B v + C w »  est  «  A u ₀ + B v ₀ + C w ₀ » 

-        ET

-         «  u ^m » admet pour limite :   « «  u ₀ ^m »

-         «  »  admet pour limite :   « »

Il en résulte que :

Toute fonction algébrique  «  f ( x) » , définie pour «  x = x₀ » , admet pour limite  «  f ( x ₀) » lorsque « x » tend vers «  x₀ » .

Exemple :  Ainsi si « x » tend vers « +4 » la  fonction :   admet pour limite :   = 2

On peut dans certain cas compléter les résultats ci-dessus :

Si « u » admet pour limite «  u ₀ »   tandis que « v » tend vers « +  » :

-        la somme «  u + v » tend vers « +  »,

-         le produit « u v »tend vers « +  » ; si « u₀ » est positif 

-        si « u₀ » est négatif , le produit tend vers   « -  » 

-        Le quotient «  » tend vers « 0 »

Si « v » tend vers « 0 » par valeurs positives , son inverse «  » tend vers « +  » le quotient  «  » tend vers « +  » si « u₀ » est positif ;   si  « u₀ » est  négatif  le quotient  «  » tend vers « -  » 

Forme indéterminée. «  » .

Si les deux fonctions  «  u ( x ) » et «  u ( x ) » s’annulent toutes deux pour «  x = x ₀ » ; leur quotient «  «  prends pour «  x = x ₀ »  la forme indéterminée  «  »  

 ( l’égalité «  y .( 0) = 0 »  étant vérifiée quel que soit « y »).

Il faut donc un calcul direct pour déterminer la limite de ce quotient lorsque « x » tend vers    «   x ₀ » 

                  Exemple : soit  la fraction   

: Pour « x = 2 » , la fraction  prend la forme «  »       ( on va factoriser les deux polynômes pour obtenir  )

Pour « x2 » , on peut écrire    : y =  ; après simplification :   y =

Info résoudre ..

Lorsque « x » tend vers « 2 » , la limite de « y » est  de «  »  soit  (après calcul)  «  » .

On exprime parfois ce fait en disant que  «  »   est la « vraie valeur » de « y » pour « x = + 2 »

En général :

Si une fraction rationnelle « F ( x ) » se présente sous la forme «  »    pour «  x = x ₀ »  elle admet , lorsque « x » tend vers « x ₀ » la même limite que la fraction «  F₁ ( x ) » obtenue après simplification par «  x - x ₀ » 

Le plus souvent la fraction simplifiée «  F₁ ( x ) » est définie pour «  x = x ₀ » et cette limite est égale à «  F₁ ( x₀ ) »

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