les intégrales : application géométriques des intégrales simples: Les centres de gravités.

Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

5°) application géométrique d’une intégrale simple :aires planes.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

 

 

 

 
 

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES :  APPLICATIONS GEOMETRIQUES DES INTEGRALES SIMPLES :

LES  MOMENTS D’INERTIE .

 

DEFINTION .

 

 

EXEMPLES :

 

 

  • Exemple 1 : Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à un côté.

 

 

  • Exemple 2 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un triangle par rapport à sa base.

 

 

  • Exemple 3 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’une plaque en  forme de « T »  , par rapport à son axe .

 

 

  • Exemple 4 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un cercle par rapport à son centre.

 

 

  • Exemple 5 : Moment d’inertie ( I ) d’ une couronne circulaire par rapport à un diamètre .

 

 

 

 

 

 

  1. Sciences : le centre de gravité et lieu (point) d’application du poids 

 

TEST

Voir l’évaluation !!!

Contrôle

évaluation

  1. Le centre de gravité d’un triangle…

Contrôle

évaluation


 

 

COURS

 

 

 

 

 

Le moment d’inertie d’un corps par rapport à un point, un axe  ou un plan est , par définition, la limite de la somme : «   » obtenue en multipliant la masse « m » de chaque élément par le carré de sa distance «  » au point , à l’axe ou au plan ; cette limite étant obtenue en augmentant indéfiniment le nombre des éléments ; chacun d’eux tendant vers zéro.

Le rayon de giration est une longueur  « R » telle que le moment d’inertie  ait pour valeur « M K ² » , « M »étant la masse totale du corps.

 

Dans le cas usuel où le corps est homogène,on remplace habituellement la masse par « la longueur » ; « la surface » ou « le volume » suivant qu’il s’agit d’une ligne , d’une aire , ou d’un volume.

 

 

 

DES EXEMPLES :

 

 

 

Exemple 1 : Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à un côté.

 

 

 

Soient «  OA = a »   et « OB = b » les côtés du rectangle.

Cherchons son moment d’inertie par rapport à l’axe « Oy »

 

En partageant la surface en éléments «  P P ‘ Q ‘ Q »par des  parallèles à l’axe « O y », tous les points de l’un d’eux sont à la même distance « x » , de l’axe « O y » . Sa surface «  P Q . P P’ = b dx »est son moment d’inertie est «  » .

 

Le moment d’inertie du rectangle est donc :

 = 

f48048

 

 

En appelant « M » la masse totale du rectangle , c'est-à-dire sa surface, on a « M = ab » et  «  »

 

 

 

 

 

Exemple 2 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un triangle par rapport à sa base.

 

 

On désigne :

·       « b » = « PQ »  la base du triangle.

·       « h » = « HR »  sa hauteur.

On demande : de calculer le moment d’inertie de sa surface par rapport à « PQ » .

Nous partageons le triangle en petites bandes « T’U’ T U » assimilables à des  rectangles.

 

On pose : « HL  = x » ,on a  alors :

L’élément d’aire est :

f49049

 

 

Et   =      =   ;   I =    

 

 

 

 

 

Exemple 3 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’une plaque en  forme de « T »  , par rapport à son axe .

 

 

On donne :

« AA’ = 2 a » ; « DD’ = 2 b » ; « AB = c » ; «  CD = d »  les dimensions de la plaque .

(voir la figure ci contre)

 

Le moment d’inertie  cherché est la somme des moments d’inertie des quatre rectangles deux à deux égaux.

 

Le rectangle « AHKB » a  pour moment  d’inertie par rapport à « HK »

 

f50050

 

 

Le rectangle « LDCK » a , de même, pour moment d’inertie par rapport à « KL » : 

 

 

D’où le moment d’inertie  cherché : 

 

 

D’autre part , la masse « M » est la surface «  2 ( a.c + b.d) de la plaque . Et le rayon de giration »R » est donné par :

 

 

 

 

 

Exemple 4 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un cercle par rapport à son centre.

 

 

Nous partageons le cercle de rayon « R » en couronnes concentriques .(voir la figure ci contre)

 

Soit «  » le rayon de l’une d’elles ; sa surface est le produit de sa longueur par sa largeur , soit  «  »  , et tous ses points étant à la même distance «  » du centre , son moment d’inertie est  «  » d’où le moment d’inertie du cercle :

 

  =  

En désignant par « M » la masse du cercle, c'est-à-dire sa surface «  » , on a donc :

f51051

 

 

Remarque :

Soit maintenant «  I ’» le moment d’inertie de la surface du cercle par rapport à un diamètre .Il est facile de déduire « I ’»  de  « I ».

 

En effet le moment d’inertie par rapport à « O y », par exemple, est  «  » . Le moment d’inertie par rapport à « Ox » a la même valeur, par symétrie.

On a donc aussi : «  »

D’autre part, le moment d’inertie par rapport au centre est : «  »  =   «  »

D’où «  »  = «    »

 

 

 

 

 

Exemple 5 : Moment d’inertie ( I ) d’ une couronne circulaire par rapport à un diamètre .

 

 

 

Soient «  R = OA »   et  « R’ = OB » , les deux rayons . ( voir la figure ci contre)

 

Le moment d’inertie cherché est la différence entre les moments d’inertie des deux cercles ,soit :

 

  = 

Si l’on veut exprimer ( I )  en fonction de la masse « M » , il faut remplacer  la surface : «  »   par « M » .

D’où :

f51052

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

Voir le cours !!!!!

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

calculer :

 

 

Reprendre chaque exercice du cours.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir le cours !!!!!

 

 

 

ml>