Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

5°) application géométrique d’une intégrale simple :aires planes.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES :  APPLICATIONS GEOMETRIQUES DES INTEGRALES SIMPLES :

LES  MOMENTS D’INERTIE .

 

DEFINTION .

 

 

EXEMPLES :

 

 

  • Exemple 1 : Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à un côté.

 

 

  • Exemple 2 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un triangle par rapport à sa base.

 

 

  • Exemple 3 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’une plaque en  forme de « T »  , par rapport à son axe .

 

 

  • Exemple 4 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un cercle par rapport à son centre.

 

 

  • Exemple 5 : Moment d’inertie ( I ) d’ une couronne circulaire par rapport à un diamètre .

 

 

 

 

 

 

  1. Sciences : le centre de gravité et lieu (point) d’application du poids 

 

TEST

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Contrôle

évaluation

  1. Le centre de gravité d’un triangle…

Contrôle

évaluation


 

 

COURS

 

 

 

 

 

Le moment d’inertie d’un corps par rapport à un point, un axe  ou un plan est , par définition, la limite de la somme : «   » obtenue en multipliant la masse « m » de chaque élément par le carré de sa distance «  » au point , à l’axe ou au plan ; cette limite étant obtenue en augmentant indéfiniment le nombre des éléments ; chacun d’eux tendant vers zéro.

Le rayon de giration est une longueur  « R » telle que le moment d’inertie  ait pour valeur « M K ² » , « M »étant la masse totale du corps.

 

Dans le cas usuel où le corps est homogène,on remplace habituellement la masse par « la longueur » ; « la surface » ou « le volume » suivant qu’il s’agit d’une ligne , d’une aire , ou d’un volume.

 

 

 

DES EXEMPLES :

 

 

 

Exemple 1 : Moment d’inertie d’un rectangle par rapport à un côté.

 

 

 

Soient «  OA = a »   et « OB = b » les côtés du rectangle.

Cherchons son moment d’inertie par rapport à l’axe « Oy »

 

En partageant la surface en éléments «  P P ‘ Q ‘ Q »par des  parallèles à l’axe « O y », tous les points de l’un d’eux sont à la même distance « x » , de l’axe « O y » . Sa surface «  P Q . P P’ = b dx »est son moment d’inertie est «  » .

 

Le moment d’inertie du rectangle est donc :

 = 

 

 

En appelant « M » la masse totale du rectangle , c'est-à-dire sa surface, on a « M = ab » et  «  »

 

 

 

 

 

Exemple 2 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un triangle par rapport à sa base.

 

 

On désigne :

·        « b » = « PQ »  la base du triangle.

·        « h » = « HR »  sa hauteur.

On demande : de calculer le moment d’inertie de sa surface par rapport à « PQ » .

Nous partageons le triangle en petites bandes « T’U’ T U » assimilables à des  rectangles.

 

On pose : « HL  = x » ,on a  alors :

L’élément d’aire est :

 

 

Et   =      =   ;   I =    

 

 

 

 

 

Exemple 3 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’une plaque en  forme de « T »  , par rapport à son axe .

 

 

On donne :

« AA’ = 2 a » ; « DD’ = 2 b » ; « AB = c » ; «  CD = d »  les dimensions de la plaque .

(voir la figure ci contre)

 

Le moment d’inertie  cherché est la somme des moments d’inertie des quatre rectangles deux à deux égaux.

 

Le rectangle « AHKB » a  pour moment  d’inertie par rapport à « HK »

 

 

 

Le rectangle « LDCK » a , de même, pour moment d’inertie par rapport à « KL » : 

 

 

D’où le moment d’inertie  cherché : 

 

 

D’autre part , la masse « M » est la surface «  2 ( a.c + b.d) de la plaque . Et le rayon de giration »R » est donné par :

 

 

 

 

 

Exemple 4 : Moment d’inertie ( I ) de la surface d’un cercle par rapport à son centre.

 

 

Nous partageons le cercle de rayon « R » en couronnes concentriques .(voir la figure ci contre)

 

Soit «  » le rayon de l’une d’elles ; sa surface est le produit de sa longueur par sa largeur , soit  «  »  , et tous ses points étant à la même distance «  » du centre , son moment d’inertie est  «  » d’où le moment d’inertie du cercle :

 

  = 

En désignant par « M » la masse du cercle, c'est-à-dire sa surface «  » , on a donc :

 

 

Remarque :

Soit maintenant «  I ’» le moment d’inertie de la surface du cercle par rapport à un diamètre .Il est facile de déduire « I ’»  de  « I ».

 

En effet le moment d’inertie par rapport à « O y », par exemple, est  «  » . Le moment d’inertie par rapport à « Ox » a la même valeur, par symétrie.

On a donc aussi : «  »

D’autre part, le moment d’inertie par rapport au centre est : «  »  =   «  »

D’où «  »  = «    »

 

 

 

 

 

Exemple 5 : Moment d’inertie ( I ) d’ une couronne circulaire par rapport à un diamètre .

 

 

Soient «  R = OA »   et  « R’ = OB » , les deux rayons . ( voir la figure ci contre)

 

Le moment d’inertie cherché est la différence entre les moments d’inertie des deux cercles ,soit :

 

  = 

Si l’on veut exprimer ( I )  en fonction de la masse « M » , il faut remplacer  la surface : «  »   par « M » .

D’où :

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

calculer :

 

 

Reprendre chaque exercice du cours.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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