Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

5°) application géométrique d’une intégrale simple :aires planes.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES :  APPLICATIONS GEOMETRIQUES DES INTEGRALES SIMPLES :

ARC D’UNE COURBE PLANE.

 

 

 

 

 

·        Préambule. « Rectifier une courbe » ; « Quadrature d’une aire » ; « Cubature d’un solide »

 

 

1° )L’équation de la courbe est de la forme :

 

 

2°) La courbe est définie en coordonnées polaires.

 

 

3°) La courbe est définie par des équations paramétriques.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


 

 

COURS

 

 

 

 

 

Préambule.

 

 

« Rectifier une courbe »   On dit que l’on « rectifie » une courbe lorsqu’on en cherche la longueur.

Cette façon de parler signifie que l’on cherche une longueur, un segment rectiligne, équivalente à la longueur de l’arc de courbe.

 

 

« Quadrature d’une aire » :

 

 

On appelle souvent « quadrature d’une aire » la mesure de sa surface ; cela correspond à la recherche d’un carré ayant une aire équivalente.

 

 

« Cubature d’un solide »

 

 

On appelle « cubature d’un solide » la mesure de son volume , cela correspond à la recherche d’un cube ayant un volume équivalent.

 

 

 

 

 

D’une manière générale , l’élément d’arc « ds » est donné par la relation :    ( voir rappel info)

 

 

 

Plusieurs cas sont à distinguer suivant la manière dont la courbe est définie.

 

 

 

1°) L’équation de la courbe est de la forme :

 

 

Dans ce cas «  »  et  

 

Par suite , l’élément d’ arc est , au signe prés : 

Exactement : Cette valeur de  « ds » exprimée sans double signe  est valable si « dx » et « ds » sont de même signe, c'est-à-dire si on prend comme « sens positif» des arcs  le sens pour lequel l’abscisse « x » va en croissant.

 

 

 

 

 

Exemple :

 

 

Vérifier la chaînette «  « 

 

Soit  « AP » l’arc limité au sommet « A » et à un point « P » d’abscisse « c »

Il a pour valeur :

 

On a «  » ; «  »

 

Par suite : «  = =  »

 

 

 

 

 

2°) La courbe est définie en coordonnées polaires.

 

 

Dans ce cas l’élément d’arc est :   ( voir rappel info)

 

 

«  »

 

 

Exemple :

 

 

Longueur d’une cardioïde :

 La cardioïde a pour équation  :

On l’obtient en construisant d’abord un cercle de diamètre « OA = a »  et en partant sur chaque rayon « vecteur » « OP » une longueur « P M = a ».

 

Par symétrie, la longueur totale est le double de l’arc « BMO »obtenu lorsque «  »  varie de  « 0 » à «  » . La longueur totale  est donc :

« 

 

or  «  »

et  «      =   =  

par suite :

  =  = 

 

 

 

 

3°) La courbe est définie par des équations paramétriques.

 

 

   on a  alors : «  »  et   «   »

et par suite :

 

«  » = «  »   et  «  »

 

 

 

Exemple

 

 

Calculer la longueur de la cycloïde . ( voir figure ci contre)

 

  on a  ici :

 

et  

= «  » =  «  »

 

 

Par suite , en comptant les arcs positivement dans le sens des « x » croissants :  «  »

La courbe « OCB » est obtenue ,toute entière , quand « t » varie de  « 0 » à « 2 » , d’où la longueur cherchée :

«   « =  «  »=  «  »

 

 

Remarque :

On sait que la cycloïde  est engendrée par un point d’une circonférence de rayon « a » qui roule sans glisser sur « Ox ».

( voir comme exemple :Une  cycloïde  est la trajectoire  de la valve d’une roue de vélo , lorsque la roue effectue un tour .)
Par suite , la portion « OB » de « Ox » représente le développement de la circonférence , soit  «  a » . Il est logique que l’arc OCB soit plus long que la droite « OB »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

calculer :

 

 

Reprendre chaque exercice du cours.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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