la distributivité par rapport à l'addition et la soustraction_ factoriser

 

 

 

Niveau : Classe de collège : 5ème

 

 

 

Pré requis:

 

Voir programme de collège 5ème

Objectifs   les égalités :    vocabulaire 1EG1

3D Diamond

 

égalités     les égalités : vocabulaire 2  EG2

3D Diamond

Expression algébrique (niveau 2)

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX : warmaths

Objectif précédent :

1°) Développer ……

2°) Première approche : niveau V

Objectif suivant : « factoriser »   Sphère metallique

Développer (suite )

·       Liste des cours d’algèbre.

·       Aller vers le corrigé

DOSSIER : DISTRIBUTIVITE  « développer» - FACTORISER

.

 

Fiche 1 –Distributivité de la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction.

 

 

Fiche 2 -  Exercices et une situation problème….

 

 

Fiche 3 -  Développement d’un produit.

 

 

Fiche 4 – Calcul mental.

 

 

Fiche 5 - Exemple  d’utilisation de la « distributivité ».

 

 

Fiche 6 -  FACTORISATION.

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 (Voir objectif : identités remarquables  )

 

Voir + : PUISSANCE « 3 » ; d’une addition ou d’une soustraction.

 

 

Fiche 1 –Distributivité de la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction.

 

 

Le dessin ci-contre représente deux parcelles de jardin  rectangulaires de même largeur.

Les dimensions indiquées sont en mètres.

On obtient une nouvelle parcelle en réunissant les deux parcelles données .

On demande :

Vous devez calculer la mesure de l’aire en « m² » de cette nouvelle parcelle

et cela de deux façons.

reperage_co022

 

 

1ère façon :

Vous multipliez la mesure de la largeur du nouveau jardin par la mesure de sa longueur :

 

 

 

Activité : ……

 

 

 

 

2ème façon : Vous additionnez la mesure des deux aires de chacune des parcelles données.

 

 

 

 

Vous remarquez évidemment que vous obtenez le même nombre dans les deux cas .

 

 

En utilisant uniquement les nombres « 18 » , « 37 » et « 23 » vous pouvez alors écrire l’égalité :

 

 

Vous  allez remplacer, dans l’égalité que vous venez d’écrire , les nombres « 18 » , « 37 » et « 23 » respectivement par trois nombres de votre choix :    « ….. » ; « …… » ; «  ……. ».

 

 

 

 

Ecrivez et calculez le premier membre :

 

 

 

 

 

Ecrivez et calculez le second membre :

 

 

Si vous ne vous êtes pas trompé , vous devez retrouver le même nombre dans les deux cas.

Vous pouvez alors écrire la nouvelle égalité où figurent les nombres que vous avez choisis.

 

 

 

Vous pouvez essayer avec n’importe quels nombres, l’égalité sera toujours vraie.

Soit « k » , « a » , « b » représentant des nombres quelconques, vous pouvez alors remplacer  vos nombres respectivement par  « k » , « a » , « b » , vous obtenez :   

 

 

 

Ce que l’on vient de faire pour l’addition est encore vrai pour la soustraction.

On dira alors :

 

 

On retiendra :

La multiplication est distributive  sur l’addition signifie :

« k » , « a » , « b » représentant des nombres quelconques ,

k(  a + b )  = k a + kb

 

 

 

La multiplication est distributive  sur la soustraction  signifie :

« k » , « a » , « b » représentant des nombres quelconques ,( avec « a b »)

k(  a + b )  = k a + kb

La condition ( avec « a b »)pour être sûr d’avoir un résultat positif.

 

 

 

 

Remarque : la multiplication étant commutative, on peut écrire aussi :on peut écrire aussi :

 

« m » , « n » ,  « p » représentant des nombres quelconques ,

                                         ( m + n ) p = ……………………..

  Et quand «  m  n » :    ( m – n ) p = …………………….

 

 

 

 

 

 

Fiche 2 : Exercices :

 

 

Activité……

On vous demande de calculer de deux façons différentes « A » donné ci-dessous.

1°) En faisant les calculs indiques ( colonne de gauche )

2°) En utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition (colonne de droite).

 

 A = ( 2,4 + 0,09 + 1,42 )   1,25

 

 

 

1°) méthode :

A =  ……………………………….

A = …………………………………..

2ème méthode :

A =  .….……….+ ..….……….+…….……….

A = ………+  ….… + ………= ………………..

 

 

 

 

 

Activité……

On vous demande de calculer de deux façons différentes « B »  donné ci-dessous.

1°) En faisant les calculs indiques ( colonne de gauche )

2°) En utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition (colonne de droite).

 

 B= ( 7,35  - 4,5 )   0,4

 

 

 

1°) méthode :

B = 

B = ……

2ème ) méthode :

B =  …………………………….

B = …..

 

 

 

 

 

Activité …….. (situation problème)

 

 

 

On expédie par la poste « 30 » colis identiques.

Sur chaque colis , on colle un timbre de « 20 € », un timbre à « 5 € » , un timbre à « 2 € ».

Vous allez calculer , de deux façons différentes , le prix total des timbres.

Info : Commencez par écrire la suite de calculs à effectuer puis effectuer ces calculs.

 

 

 

1ère  Façon : 30  20 + 30  5 + 30  2  =  600 + 150 + 60 = 810

2ème  Façon :  30 ( 20 + 5 + 2 )  = 30  27   = 810

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Développement d’un produit.

 

 

Ecrivez la formule de la distributivité de la multiplication sur l’addition. :

« k » , « a » , « b » représentant des nombres quelconques,  k ( a + b )  =  ……………………….

 

 

 

 

 

Vocabulaire :

 

 

«  a + b »  est une somme . c’est la somme dont les termes sont   «……. »  et « ……… » 

 

 

«  k ( a + b ) »   est un produit. C’est le produit dont les facteurs  sont   « ……… » « …….. » , « ……… » .

  «k a » est un produit  .  C’est le produit  de «  ….. » et de « …….. ». De même « kb » est un ………….. .

«  k a + k b » est une somme .C’est la somme dont les termes sont  «  » et «  …… ».

 

 

 

 

 

Quand on remplace «  k ( a + b) »  par «  ka + kb », on transforme ainsi un produit en une somme.

On dit alors que l’on « développe le produit ».

 

 

 

 

 

Exemples :

 

 

7 ( x + y )  =   7 x + 7 y

9 ( f – 3 )  =  9 f - 27

( 3 t – 8 ) 4 z = 12 tz – 32 z

 

 

 

 

 

Activités :

 

 

Développez les produits suivants . ( On suppose que les soustractions sont possibles )

Effectuez les opérations qui sont possibles et utilisez les conventions d’écriture.

 

 

 

 

 

 

Corrigé

 

 

Corrigé.

 

6 ( c + d ) =

 

 

3 ( x – z +7 ) =

 

4 ( x – 5 )  =

 

 

( f + g – h ) 5 =  

 

x ( 8 + y ) =

 

 

6 ( xy + y – 7 ) =

 

5 ( m – p ) =

 

 

tu  (  v + hr – 9 ) =

 

( 7 a – 5 b ) c =

 

 

2 x ( 3 y – 3 z + 5t ) =

 

 

 

 

 

Attention :

 

 

Transformez en simplifiant :

 

 

V = 4 ( 2 a + 3 b )

 

 

 

Quelle (s) propriété(s) avez-vous utilisées pour transformer « V »

 

 

 

 

 

 

 

T = 5 ( 2 a  3 b )  =

 

 

 

Quelle (s) propriété(s) avez-vous utilisées pour transformer « T »

 

 

 

 

 

 

Fiche 4 – Calcul mental.  ( info +++ toutes les activités sur le calcul mental )

 

 

Vous allez expliquer par écrit ce que vous pouvez faire mentalement.

 

 

 

 

Info ?

1°) Multipliez par un nombre de 1 chiffre.

 

 

74  2 =  ( 70 + 4 )  2  =   70  2  +  4  2 =  140 + 8  = 148

 

 

Faites de même pour :       47  3  =

 

 

·       47  3  =   ………………………………………………..

 

 

·        543  3 =   (…..   + …..  + …….)  …….  = 

 

 

 

 

 

2°) Multipliez par « 9 » , « 19 » , « 29 »,……..

 

 

27  9  =  27  ( 10 – 1 )=  27  10 – 27  1 = 270 – 27  = 243

 

 

 

 

 

Activités :

 

 

53  9  =

 

 

43   19 =

 

26  29 =

 

 

 

 

 

3°) Multipliez par « 11 » , « 21 » , « 31 »,……..

 

 

45  21 =  45   ( 20 + 1 ) = 45  20 + 45  1 =  900 + 45  = 945

 

 

Activité……

 

 

17  11  =

 

 

 

29  21 =

 

 

 

54  31 =

 

 

 

 

 

 

Fiche 5 : Exemple  d’utilisation de la « distributivité ».

 

 

Problème :

Le produit de deux entiers est « 1598 ». Si l’on ajoute « 23 » au premier facteur, le produit devient « 2380 ». Quels sont ces nombres ?

 

 

 

 

 

Nota : Il est commode de désigner, les nombres cherchés par des lettres.

Appelons «  » le premier entier et «  » le second.

 

 

 

 

 

·       Traduisons l’énoncé en langage mathématique :

 

 

-        « Premier terme : T 1 » : le produit des deux entiers est « 1598 » ;

-         se traduit par «  ……………. = 1598 »  ( égalité « EG1 »  )

 

 

-        « deuxième terme : T2 » : on ajoute « 23 » au premier facteur  «  » , le produit devient « 2380 » ;

-        se traduit par : ( )  ……  = 2380 ( égalité « EG2 » )

 

 

 

 

 

Nous allons maintenant faire quelques transformations :

Grâce à la « distributivité », le premier membre  de  ( EG2 ) peut s’écrire :

( )  …….    =      (  )

En remplaçant le premier membre de (EG2) par ce que vous venez de trouver , vous obtenez :

 

(EG3 ) (  )    = 2380

Vous pouvez modifier le premier membre de ( EG3 ) en remplaçant «  » par  «  ……………»  ( voir EG1)

 

Soit (  )    = 2380

Vous en déduisez alors que ( ……….. )    = 2380 …………….. ; c'est-à-dire    «  23 y = ………… »  d’où   «  y = 782 / 23 » soit « y = …… »

 

En remplaçant dans ( EG1)   «  ……… = 1598 » , « y » par ce que vous venez de trouver (34)  ,    on obtient « 34 x  = 1598 »

 

C'est-à-dire :  « x = …………  ……….. »    d’où   « x = ……….. »

 

 

 

Vérification :  «  ……..  ……. =  ………….»     ;  ( …….. + ……. )  ………. =   ……..   ……   =  …………

 

 

Les entiers cherchés  sont dans l’ordre :   ……………….

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

Le produit de deux entiers est « 899 » . Si l’on retranche « 15 » au premier facteur, le produit devient « 434 ». Quels sont ces nombres. ?

 

 

 

 

 

Fiche 6 -  FACTORISATION.  ( voir la fiche sur : la factorisation et factoriser)

 

 

 

« k » , « a » , « b », « m »,  « n » , « p » représentant des nombres quelconques, vous avez vu dans la « fiche 1 » que :

 

 

 

 

 

 

k ( a + b )  =  ………….

( m + p ) n  = mn + pn

 

 

(  si «  a  b )

k ( a - b )  = ……………

( m - p ) n  = mn - np

( si «  m   p )

 

 

 

 

·       Intervertissons les deux membres de ces égalités ( au lieu de  « B = A »  , écrivez  « A = B » ) 

 

 

 

 

 

 

…………….. =  k ( a + b )

……………….. = ( m + p ) n

 

 

(  si «  a  b )

…………….  = k ( a - b )

………………. = ( m - p ) n

( si «  m   p )

 

 

 

 

·       En vous inspirant de ces égalités , complétez  les équations ci-dessous , ( on suppose les soustractions possibles )

 

 

 

 

 

 

4 f + 4 e =   ……… ( f + e )

 

6a – 6 b = 6 ( …… )

 

 

 

I k + j k   =   ( l + j) ……..

 

5 r – t r =  ( …….. ) r

 

 

6 + 3 t =  ………. ( 2 + t )

 

7 h – 7 = 7 ( …….. )

 

 

 

 

 

 

 

«  x y  + x z =   …………….. »

 

«  u w + v w =  ………….. »

 

 

 

On dit  que l’on a mis  « x » en « facteur commun »   ;  ou que l’on a  « w » comme facteur commun.

 

 

C’est ainsi que l’on a transformé  une somme  ( dont les termes sont des produits de facteurs) en un produit .( dont l’un des facteurs est une somme de termes).

 

 

L’opération correspondante s’appelle la « factorisation »

 

 

 

 

 

Attention :

« a » et « b » représentant des nombres quelconques ;

Il ne faut pas confondre :

 

 

 

3a + 3 b = ………..

et        « 3a  3 b = …………… »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité …….

 

 

On veut calculer « A = 4724  64 + 276  64 ».

En remarquant que « 64 » figure dans chaque terme  de cette somme , on vous demande de trouver la méthode la plus rapide pour effectuer ce calcul. ( Détaillez les calculs ).

 

 

A = …………………………………………………

 

 

 

 

 

Activité …….

Calculez de même : B = 4,76  37 – 4,76  12  =………………………………………………………………………..

 

 

 

 

 

Activité …….

 

 

 

La figure ci-contre est constituée par « 3 » demi-cercles. On vous demande de calculer sa longueur « L » . ( prendre l’unité le « cm »).

·       Rayon du petit cercle : 2 cm .

   Longueur du petit demi- cercle : (( =

·       Rayon du cercle moyen : 3 cm .

Longueur du demi- cercle moyen : ……………………………….

·       Rayon du grand  cercle : 5 cm .

Longueur du grand  cercle moyen : ……………………………….

 

developpement003

 

 

Longueur totale :   L =      =   

 

 

Valeur approchée  de « L » à « 0,1 cm prés »  ( prendre    ; «  L = 10  fois 3,14  = ………. »

 

 

 

 

 

Activité : Réduction de somme.

 

 

Activité Exemple 1 :

Quand on remplace Longueur du demi- cercle moyen :   on dit que l’on « réduit la somme ».

 

 

 

Dans la pratique , on passe directement  de        à 

0n effectue mentalement la factorisation :

 

 F

 

 

 

 

Activité : exemple 2 ..

 

 

Le segment ci-contre a été par partagé en segments de même longueur «  »

Figure 1 developpement004

 

 

Figure 2developpement005

Figure 3developpement006

 

 

 

En vous aidant de la « figure 3 », complétez les égalités :

 

 

MP  =  7   l

MN  =     l

 

NP  =     l

 

 

NP = MP – MN   =  ..   l   -      l  =      l

 

 

 

 

 

Activité : exemple 3 ..

Réduisez :

 

 

( masse )

Monnaie

( Volume)

 

 

10 kg + 4 kg =    …………………...

 9 € + 5 € + 3 €  =   ………. ……….

15 m3 – 7 m3  = ………  ……..

 

 

D’une manière générale : «  »  représentant un nombre ou une grandeur quelconque.

Réduisez :

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : « a » et « b » représentent des nombres quelconques , peut-on réduire   :   7 a + 3 b ? …………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

CONTROLE:

 

1° ) Que signifie: Développer ?

 

 

2° ) Donner la condition minimum permettant de faire un  développement.

 

 

3° ) Donner le modèle mathématique représentant ce minimum.

 

 

4 ° )Donner le modèle mathématique  sur le développement  de  ( a + b ) ( c + d )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

I ) Développer les expressions suivantes :

 

 

Série 1

résultat

 

 

9 ( 3 + 5 ) =

(pour cet exercice uniquement ne pas effectuer les calculs!!)

 

 

 

3 ( x   + 2  )  =

 

 

 

3 ( x – 2  )  =

 

 

 

3 ( 4 -2x ) =

 

 

 

4  (3x - 5 ) =

 

 

 

 

 

Série 2

 

 

 

3 x ( x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( x – 2  )  =

 

 

 

Série 3

 

 

 

3 x ( 2 x   + 2  )  =

 

 

 

3  x ( 4 x  – 2  )  =

 

 

 

x (2y - 5x ) =

 

 

 

Série 4

 

 

 

 

 

2 ( 1 +2x )

 

 

 

a( 2 + b )

 

 

 

a(1-d)

 

 

 

3b(2 +1 ) 

 

 

 

3 ( x -y )

 

 

 

b (a2 + c )

 

 

 

a (a b  + c2f)

 

 

 

2 xy ( x - 2y)

 

 

 

( x+1) [(x-3) + ( x-2 )]

 

 

 

 

 

II )  Développer les expressions suivantes  et  réduire et ordonner quand cela est  possible : Nota pour « réduire » il faut avoir fait « factoriser »,il vous faudra reprendre ce travail qu’après avoir traité cet objectif !

 

Série 2

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +1 ) ( x -2 ) =

 

 

 

 

 

 x +5 ) ( 3x -2 ) =

 

 

 

 

 

( -4x  +3 ) ( 5 x - 6 ) =

 

 

 

 

 

Série 3

développer

Réduire

Ordonner

 

( x +5 ) ( x + 5 ) =

 

 

 

 

 

( x -5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

( x  +5 ) ( x - 5 ) =

 

 

 

 

 

 

Série 4

développer

Réduire

Ordonner

( 2x +3 )2 =

 

Voir les I.R.

 

 

( -3x +1 ) 2  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

Série 5

développer

Réduire

Ordonner

( a + b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a - b )2  =

 

Voir les I.R.

 

 

( a + b )  ( a - b )  =

 

Voir les I.R.

 

 

 

 

 

Développer , réduire , ordonner

 

A = (x +5 ) ( 2 x – 1 ) – 3 (2x – 5 )

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

Géométrie

 

Calculer l'aire d'une surface

Longueur

largeur

 

Rectangle

L = x +a

l = x - b