Pré requis:

Les unités de mesure d’angles	Les secteurs circulaires	Les secteurs angulaires

Les angles orientés ;
Extension : Angle et arc

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Objectif précédent :

1°) Le radian

2°) Les fonctions circulaires

Objectif suivant :

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A savoir : les abréviations :

« tg » et « tan » , abréviations : lire « tangente »

« cotg » et « cotan » , abréviations : lire « cotangente »

DOSSIER : LES FONCTIONS CIRCULAIRES : ADDITION ET MULTIPLICATIONS DES ARCS .

COSINUS, SINUS ET TANGENTE DE LA SOMME ET DE LA DIFFERENCE DE DEUX ARCS.

En résumé :

Formules : Série 1
	Sin ( a +b) = sin a cos b + sin b cos a
“additions”	Cos ( a +b) = cos a cos b – sin a sin b

Formules : Série 2
	sin ( a – b) = sin a cos b – sin b cos a
“Soustraction”	cos ( a – b) = cos a cos b + sin a sin b

II ) SINUS , COSINUS ET TANGENTE DE L’ARC « 2 a »

En résumé :

Formules : Série 3
	Sin ( a +b) = sin a cos b + sin b cos a	Devient	Sin 2a = 2 sina cos a
“a” et “b” deviennent 2a	Cos ( a +b) = cos a cos b – sin a sin b	Devient	Cos 2a = cos² a – sin² a
		Devient

Problème ; exercices ;

application (formules en cos 2a)

En résumé :

Formules : Série 4			Série 5
	Cos 2a = 2 cos²a- 1	Qu’on peut écrire	1 + cos 2a = 2 cos²a

	Cos 2a = 1 – 2 sin²a		1 – cos 2a = 2 sin²a

Formules : Série 6

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

I )COSINUS, SINUS ET TANGENTE DE LA SOMME ET DE LA DIFFERENCE DE DEUX ARCS.

Problème posé : Connaissant les fonctions circulaires des arcs « a » et « b », calculer les fonctions circulaires des arcs « a + b » et « a – b »

Nous allons établir la formule : Cos ( a +b) = cos a cos b – sin a sin b d’où nous en déduirons toutes les autres.

Soit le cercle trigonométrique, avec O x , axe des cosinus,et O y , axe des sinus.

A étant l’origine des arcs,marquons les extrémités M et N des arcs de mesures respectives « a » et « b » ;.

Pour introduire « a - b » ,écrivons

« a – b » = l’arc AM – l’arc AN ; = l’arc NA + l’arc AM ou d’après la formule de Chasles (info @ )

a – b = l’arc NM à k . 2

a – b = ( ON,OM) à k . 2 ;

donc

Cos ( a – b) = cos ( ON,OM)

Or , le cosinus de l’angle de deux axes est la mesure de la projection sur l’un d’eux d’un vecteur unitaire de l’ autre ; donc :

Cos ( a – b) = proj. du vecteur OM sur l’axe du vecteur ON

Notons que l’on pourrait aussi bien projeter le vecteur ON sur l’axe du vecteur OM.

Les composantes du vecteur OM suivant les axes sont :

Sur O x : le vecteur OC de mesure = cos a ;

Sur O y : le vecteur OS , de mesure = sin a

Ce qui nous permet d’écrire que : Le vecteur OM = le vecteur OC + le vecteur OS

vect011

Or, étant donné deux vecteurs OC et OS , la projection de leur résultante du vecteur OM sur un axe a pour mesure la somme des mesures des projections des deux vecteurs ; donc ;

La projection du vecteur OM _{(sur ON)} = projection du vecteur OC _{(sur ON)} + projection du vecteur OS _{(sur ON)}.

Enfin, la mesure de la projection d’un vecteur sur un axe s’obtient en multipliant la mesure du vecteur par le cosinus de l’angle de l’axe-support et de l’axe de projection. Donc ;

Cos ( a –b ) = cos ( Ox , ON) + cos ( Oy , ON) ( relation 1 )

Or , d’une part ( Ox , ON ) = b

Et d’autre part , le premier énoncé rappelé ci-dessus donne :

’ Cos ( Oy , ON) = projection du vecteur ON _{sur Oy} = = sin b

En substituant dans le deuxième membre de ( la relation 1 ) , on trouve enfin :

Cos ( a – b) = cos a cos b + sin a sin b

Autres formules .

Cos ( a + b ) .

Quels que soient les arcs « a » et « x »x , on a :

Cos ( a – x) = (cos a) ( cos x) + (sin a) ( sin x)

Remplaçons : “x” par “- b” :

Cos ( a – (-b) ) = (cos a) ( cos (-b) ) + (sin a) ( sin (-b) ) ; ce qui donne :

Cos ( a +b) ) = cos a cos (-b) + (sin a) sin (-b)

Comme : cos (-b) = cos b , et , sin (-b) = - sin b

Il en vient que :

Cos ( a +b) ) = cos a cos b - sin a sin b

On dit que cette formule se déduit de la formule cos ( a-b) = .................en changeant “b” en (-b)

sin ( a + b ) .

Quels que soient les arcs « b » et « x »x , on a :

Cos ( x -b) = (cos x) ( cos b) + (sin x) ( sin b)

Remplaçons “x” par “- a”

Nous obtenons l’égalité :

Cos = cos (- a) cos b + sin (- a) sin b

Or, quand deux arcs sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre . Donc on peut écrire l’égalité suivante :

Sin ( a +b) = sin a cos b + sin b cos a

tan ( a + b ) .

On a :

si nous divisons en haut et en bas par « cos a cos b »

nous obtenons :

pour enfin obtenir :

tan ( a - b ) .

en changeant « b » par « -b », la formule précédente devient :

Soit en résumé les formules suivantes :

Formules : Série 1
	Sin ( a +b) = sin a cos b + sin b cos a
“additions”	Cos ( a +b) = cos a cos b – sin a sin b

Formules : Série 2
	sin ( a - b) = sin a cos b - sin b cos a
“Soustraction”	cos ( a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Exercices :

1°) En déduire la formule qui donne tan(a-b) des formules sin(a-b) et cos (a-b)

2°) calculer : sin 15° , cos 15° et tan 15° sachant que 15° = 60° - 45°

II) SINUS, COSINUS ET TANGENTE DE L’ARC « 2a ».

Problème posé : On connaît les fonctions circulaires d’un arc « a » ; calculer les fonctions circulaires de l’arc double « 2a »

Nous remplaçons , « b » par « a » dans les expressions :

Sin( a + b) , cos ( a + b) ; tan ( a +b)

On trouve : Sin( a + a) , cos ( a + a) ; tan ( a +a)

Et sin (a +a) = sin a cos a + sin a cos a soit : sin (2a) = 2 sina cos a

Il en est de même pour cos 2 a = cos cos a – sin a sin a = cos²a – sin²a

Il en est de même pour tan (a + a) = tan 2a

d’où en résumé , la troisième série de formules :

Sin 2a = 2 sina cos a

Cos 2a = cos² a – sin² a

Exercices résolus :

1°) On donne tan x = 2 - ; calculer « x » supposé compris entre 0 et

Calcul de tan 2x : on trouve , après calculs tan 2x = d’ où : (@ voir exercice 3 , chapitre : relation entre les fonction circulaires d’un même arc)

Donc 2 x = ; x =

2°) Mêmes questions pour :

a) tan y = 2 + ; même méthode : y =

b) tan v = - 1 ; même méthode v =

c) tan u = + 1 ; même méthode ; solution u =

Application : formules en cos 2 a

Nous écrivons

Cos 2a = cos² a – ( 1 –cos² a ) ou bien cos 2 a = ( 1 – sin ² a ) – sin ² a

D’où les nouvelles formules :

Formules : Série 4			Série 5
	Cos 2a = 2 cos²a- 1	Qu’on peut écrire	1 + cos 2a = 2 cos²a

	Cos 2a = 1 – 2 sin²a		1 – cos 2a = 2 sin²a

D’où on tire :

Ce qui nous permet d’énoncer le théorème suivant :

Théorème :

Sin²a , cos² a et tan ² a s’expriment rationnellement en fonction de cos 2a . ( nota : « rationnellement » veut dire : sans radicaux)

Activité : Transformer en monôme 1 + sin 2a ; 1 – sin 2a ( poser 2 a = )

THEOREME FONDEMMENTAL :

Les fonctions circulaires de l’arc « a » s’expriment rationnellement en fonction de

Remplaçons « a » par dans les formules (série 3 )

Sin 2a = 2 sina cos a

Devient

Sin a = 2 sin cos

Cos 2a = cos² a – sin² a

Devient

Cos a = cos² – sin²

Devient

Cette dernière formule donne déjà « tan a » en fonction de .

Pour « sin a » et « cos a » , nous observons que les seconds membres sont homogènes et du second degré en « cos » et « sin » ; on sait que « 1 = cos² + sin² » divisons donc ces deuxièmes membres par « 1 » puis remplaçons ;