Pré requis:

 

1°) Lecture d’énoncé .

 

2°) Vers la liste des cours sur CALCUL NUM 

 

)Cours : valeur numérique d’une expression algébrique

 

4°) Algèbre 1 :Informations sur les conventions d’écritures

Boule verte

5°) Les transformations d’équations  : les théorèmes

3D Diamond

 

Environnement du dossier :

 

Index   warmaths

)niveau V : le premier degré: exercices types et problèmes (intro .)

2°) Résoudre une équation du premier degré « simple ».

Objectif suivant:

)degré (exercices résolus)

 2°) premier degré à deux inconnues

3°) Inéquations du premier degré.

. 4°) comment traiter un problème du premier degré.

5°) les équations  IRRATIONNELLES.

 

Tableau        Sphère metalliquePrésentation des cours et travaux du premier degré

)programme  Bac prof.

 

)Niveau BEP - Bac Prof :    

 

 

DOSSIER (suite):     Forme générale  de Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue

 

I ) EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.

II)  « Equation paramétrée ». ( 3 exemples)

III ) Equations à une inconnue dont la résolution se ramène a celle d’équations du premier degré.

IV ) Equations qui renferment des dénominateurs contenant l’inconnue.

V) Equations irrationnelles.

 

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COURS

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Interdisciplinarité                         Filescrosoft OfficeverteProblèmes du premier degré

 

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COURS

 

 I ) EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.

 

EQUATION ENTIERE : 

 

En faisant passer tous les termes dans un même membre , toute équation peut se mettre  sous la forme   P = O

Si P est un polynôme, on dit que l’équation est « entière » et le degré est le degré de l’équation.

 

Ainsi  3 x3 + 5 x² - 4x + 3 =  3 x ( x² - 4x) + 5   est une équation du second degré parce qu’elle est équivalente à :

17 x² - 4 x - 2 = 0

 

Transformations successives :

3 x3 + 5 x² - 4x + 3 =  3 x ( x² - 4x) + 5

3 x3 + 5 x² - 4x + 3  =  3 x3 -  12 x²  + 5

3 x3 + 5 x² - 4x + 3  -  3 x3 +   12 x² -15  = 0

17 x² - 4 x - 2 = 0

 

 

EQUATION DU PREMIER DEGRE.   D’après ce qui précède , une équation du premier degré est une équation de la forme

P = 0

P étant un polynôme du premier degré.

 

Si l’on fait passer tous les termes contenant l’inconnue « x » dans le premier membre et tous les autres dans le second, on obtient une équation de la forme.

(1)            a x = b

 

« a » et « b »  étant des données.

 

1°) si   a ¹ 0  , on peut diviser les deux membres par « a ».On voit ainsi que l’équation (1) admet une seule solution :

 

)Si   a = 0   l’équation (1) s ‘écrit :   0 × x = b

Or quel que soit « x », le premier membre est nul . Donc si « b » est différent de zéro, l’équation n’admet aucune solution. On dit qu’elle est impossible.

 

Si « b » est nul, quel que soit « x », l’équation est toujours satisfaite. On dit qu’elle est indéterminée.

 

En résumé :

si   a ¹ 0    solution  

 

 

REMARQUE : Si l’équation renferme des données littérales ( paramètres),on sera en général amené à distinguer plusieurs cas car pour certaines valeurs des paramètres le coefficient de l’inconnue pourra être nul et on n’aura pas le droit de  diviser les deux membres de l’équation par ce coefficient.

 

 

 

 

 

Exemple 1 : résoudre l’équation :

Chassons les dénominateurs. On obtient :

 

3 ( 3x+5)    =  2 ( 5x -2) - (4x -1)

9X +15       =  10 x  - 4 - 4x +1

9x +15        =  6x -3

                              3x      = -18

                                x      = - 6

 

II )  Equation paramétrée :     « Résoudre l’équation » :

 

Exemple 1

 

m (x+2) + 2x  =  3 ( 3x -5)

dans laquelle « x » est l’inconnue et « m » est un paramètre.

L’équation est équivalente à :

m  x + 2 m + 2x    =    9x -15

m x +  2x   - 9x         =   - 2m - 15

(m-7)x                      =    -2 m -15

 

1°) si m ¹ 7   alors x =   ce qui peut s’écrire  x =

 

2°)  Si m = 7   l’équation s’écrit :                              0 × x = -29

 

 

elle est donc impossible.

 

 

 

 

Exemple 2 

 

Résoudre et discuter suivant les  valeurs du paramètre « m » représentant un nombre connu, l’équation :    2 ( m - 1)x - m ( x-1) = 2m +3

 

Développons et réduisons les termes semblables :

                         2 m x - 2x - m x + m = 2m + 3

                                            m x - 2x = m +3

 

a) si m - 2 ¹ 0 ou m ¹2 , alors l’équation admet la solution unique : 

b) si m-2 = 0 ou m=2 , l’équation se réduit à 0x = 5

 

L’équation n’admet pas de solution.

 

 

 

 

 

Exemple III (à 2 paramètres) Résoudre l’équation   a  (x-2) + 2x = 4 ( x +b)

 

 

( « x » est l’inconnue et « a » et « b » deux paramètres.

L’équation est équivalente à :

         a x - 2a +2x   =    4x + 4b

          a x  +2x - 4x =  2a + 4b

             ( a -2) x     =   2 a + 4 b

 

1°) Si  a ¹  2   ;    x =

 

2°) Si a = 2  l’équation s’écrit :

                         0 × x = 4 + 4b

 

Donc si 4 + 4b ¹ 0 c’est à dire si b ¹ -1 l’équation est impossible.

 

Si b = -1 l’équation est indéterminée.

 

En résumé :

Si a ¹0 : 1 solution       ;    x =       

Si       

Si        

 

 

 


APPLICATION : construction du graphique d’une fonction affine (@ ). Nous avons vu que pour construire le graphique d’une fonction affine « y = ax+b » on en construisait deux points. Souvent on prend les points de rencontre avec les axes de coordonnées. Le point de rencontre avec l’axe des « y » s’obtient, comme nous l’avons vu, en faisant « x = 0 », ce qui donne « y = b »

Le point de rencontre avec l’axe des « x » est le point du graphique pour lequel ona « y=0 »

On l’obtiendra donc en résolvant l’équation « a x + b = 0 »

Ce qui donne  x =  

Ainsi , on a construit ci-contre le graphique de la fonction  y =

 

 

 

De même, pour préciser le tracé du graphique d’une fonction homographique  (@ )

 

y =  on pourra chercher le point de ce graphique qui est sur l’axe des « x ». Pour ce point on a « y = 0 » , donc  a x+b = 0 c’est à dire x = 

 

III ) Equations à une inconnue dont la résolution se ramène a celle d’équations du premier degré.

 

 

Equations entières . Il est souvent possible de résoudre une équation entière qui n’est pas du premier degré en procédant ainsi :

 

1°) On fait passer tous  les termes dans un même membre. On obtient ainsi une équation de la forme :  

 

(1)             P = 0

 

« P » est un polynôme.

 

 

2°) On essaie de mettre « P »  sous la forme d’un produit  de facteurs  du premier degré.

 

Par exemple , si P est le produit de trois facteurs  du premier degré  A ; B ; C ;l’équation (1) s’écrit :

 

(2)             A × B × C = 0

 

Résoudre cette équation, c’est déterminer les valeurs de l’inconnue pour lesquelles le produit  A × B × C  est nul. Pour cela, il faut et il suffit que l’un des  facteurs du produit soit nul , c’est à dire que l’on ait :

 

                         A = 0       ;       B = 0       ou        C = 0

 

 

On est ainsi ramené à résoudre trois équations du premier degré à une inconnue.

 

Exemple :

Résoudre l’équation :  ( 9x + 12 ) ( 2 x² -8) = ( 9 x + 12 ) ( 4x + 8 )²

 

Cette équation s’écrit :

( 9x + 12 ) ( 2 x² -8) - ( 9 x + 12 ) ( 4x + 8 )² = 0

 

6 ( 3x +4) ( x -2) ( x +2) - 48 ( 3x +4) ( x +2 ) ² = 0

 

( 3x +4 ) ( x +2) [ ( x -2) - 8 ( x +2) ] = 0

 

( 3x +4 ) ( x +2) ( x - 2 - 8x - 16 ) = 0

 

( 3x +4 ) ( x +2) ( - 7x  - 18 ) = 0

 

Cette équation se décompose en trois :

                                         3x +4 = 0

                                         x + 2  = 0

et                                  - 7x - 18 = 0 

Elle admet donc 3 racines :

 

                          x =      ;      x = - 2     et      x =

 

IV ) Equation contenant l’inconnue au dénominateur : 

 

Si on fait passer tous les termes dans un même membre on obtiendra , après réduction au même dénominateur, une équation de la forme :

 

   (1)                     

Les racines de cette équation sont celles de l’ équation  A = 0 qui n’annulent pas B .

On saura donc résoudre les équations de cette forme si « A » est un polynôme que l’on peut mettre sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.

 

Exemple n°1   Résoudre l’équation

 

            (1)                  

 

Cette équation est équivalente à :

 

                        

 

                    

 

                       

 

          Le numérateur s’annule pour « x » =   . Cette valeur n’annule pas le dénominateur, donc elle est racine de l’équation (1).

 

         L’équation n’a de sens que si le  dénominateur  est  différent de zéro, c’est à dire si x ¹

 

 Exemple n°2 : Résoudre l’équation    

 

L’équation n’a de sens que si les  dénominateurs sont différents de zéro, c’est à dire si x ¹ 0 et  x ¹ 2 . Supposons ces conditions réalisées, nous pouvons supprimer les dénominateurs en multipliant tous les termes par  x (x-2).

 

          x (x-2). - ( x - 2) = 2

           x² + 2x - x + 2 = 2

 

soit   :  + x = 0   ou x ( x +1) = 0

 

ces équations se décompose en deux autres :

   d’ où les racines 

 

La valeur x= 0  est une des valeurs exclues. Seule x = - 1 est racine de l’équation proposée .

 

La méthode générale qui en découle est donc la suivante :

Pour résoudre une équation contenant l’inconnue au dénominateur :

On cherche une équation équivalente en supprimant les dénominateurs et on résout l’équation entière obtenue. On écarte parmi les racines trouvées, celles qui annulent un des dénominateurs de l’équation réduite.

 

Exercice n°3 : Résoudre l’équation    

 

la fraction du premier membre n’est définie que si son dénominateur x + 2    est différent de zéro , donc si x ¹ -2 . Cette condition étant réalisée, la fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul. D’où : x ² -9 = 0 Û ( x  +3)( x - 3) = 0

les solutions de cette équation sont x= -3 et x= +3. Ces deux valeurs étant différentes de -2 , sont racines de l’équation proposée.

 

 

Info ++

V ) EQUATIONS   IRRATIONNELLES  

 

 

 

 

 

Définition :

 

 une équation irrationnelle est une équation qui renferme un ou plusieurs radicaux portant sur des expressions contenant l’inconnue.

 

Dans le cas contraire, l’équation est dite « rationnelle ».

 

Nous allons voir que la résolution de certaines équations irrationnelles se ramène à celle d’équations du premier degré.

 

Exemple 1 : résoudre l’équation  (1)   

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, pour cette valeur les carrés des deux membres sont aussi égaux.

 

Donc toute racine de l’équation (1) est racine de l’équation :   x² - 3 = ( x - 1)²

 

Cette équation s’écrit :            x  ² - 3   = x² - 2x +1

 

                                                             2 x = 4

                                                               x  =  2

  x = 2 est donc la seule solution possible de l’équation (1)

Pour voir si cette valeur est effectivement racine de l’équation (1), il suffit de vérifier.

Pour   x = 2 , on a :

 

 

 

                  x = 2 est donc bien racine de l’équation (1)

 

Exemple 2 : Résoudre l’équation    (1)     

 

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, cette valeur satisfait aux équations suivantes :

 

                                                

                                               4 x² +9 = (2x -9 )²

                                          4 x² +9 = 4x² - 36 x + 81

                                             36 x = 72

                                                   x = 2

 

x = 2 est donc la seule solution possible de l’équation(1) . Vérifions :

 

Pour  x = 2 , on a :

 

 

 

  x = 2 n’est donc par racine de l’équation (1) et celle-ci n’admet aucune solution.

 

Exemple 3 : Résoudre l’équation : (1)

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, cette valeur satisfait aux équations :

                            x + 2     =  9 - 6  +5 +x

 

   6  = 12

                              = 2

                            5 + x = 4

                                  x = -1      

 

Donc l’équation (1) a une seule racine « possible » :  x = -1

 

Pour voir si cette valeur est effectivement racine de l’équation (1), vérifions.

Pour « x » = -1 , on a

 

 

    donc x = -1 est bien racine de l’équation (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

Info +++ 

   les équations  IRRATIONNELLES.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE:

 

Pour chaque cas « cliquer sur «Boule verte » 

Equation type:  ax = b    ;    9  x  =  45

Savoir résoudre

Electricité

Boule verte

Physique :

 

Mécanique (poids et masse)

Boule verte

Mouvement uniforme

Boule verte

Travail d'une force

Boule verte

Mouvement uniformément varié

Boule verte

Equation type  ax -b =  c  ;   5x -14 =16

Savoir résoudre

Surface d'un triangle

Boule verte

Calcul d'intérêt simple

Boule verte

Densité d'un corps

Boule verte

Equation  type    ;

Boule verte Savoir résoudre

Equilibre d'un levier

Boule verte

Roues et engrenages

Boule verte

Equilibre d'un treuil

Boule verte

Chimie :

Boule verte

Chimie :

L’atome :        On donne l’écriture suivante : 1123 Na   (qui symbolise l’atome de Sodium (natrium)), combien compte t- on de neutrons ?

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

-        Donner la procédure pour résoudre une équation du premier degré , comportant des parenthèses et des dénominateurs.

-         

EVALUATION:

Devoir L ( le corrigé  est dans le cours précédent)

PARTIE I :

Série 1 :

 

Résoudre :

Résolution

 

1-a

 

4,6 x = 18,4

    

 

1-b

 

 

1-c

4 ( x -3) = 2 ( x-5)+3

 

 

1-d

 

 

Série 2 :

 

Résoudre :

Résolution

1-a

 9x = 4,2

 

 

1-b

 7 x + 3,2 = 7,7

 

 

1-c

3 ( 2x - 1) = 5 ( 6x + 4,2)

 

 

1-d

 

 

PARTIE II

 

1°)   Résoudre l’équation :

                      

2°)   Résoudre l’équation :

  ( 9x + 12 ) ( 2 x² -8) = ( 9 x + 12 ) ( 4x + 8 )²

 

 

3°)    Résoudre l’équation                      

 

4°) Résoudre l’équation                        

 

N°4   Résoudre l’équation                  

 

N°5 : résoudre l’équation                                  

 

N°6 Résoudre l’équation                      

 

 

N° 7 Résoudre l’équation :                     

 

PARTIE III :   Niveau +++(sur les équations paramétrées)

 

1°) Résoudre l’équation et discuter      : m (x+2) + 2x  =  3 ( 3x -5)

 

 2°) Résoudre et discuter suivant les  valeurs du paramètre « m » représentant un nombre connu, l’équation :                   2 ( m - 1)x - m ( x-1) = 2m +3

 

 

3°) Résoudre l’équation et discuter  :     a  (x-2) + 2x = 4 ( x +b)