Classe de quatrième collège.

 

 

 

 

Programme classe de 4ème

 

 

 

 

Pré requis:

 

 

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la multiplication de deux nombres entiers naturels

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 la multiplication  de deux nombres décimaux positifs:

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Puissance : écriture normalisée et indicée

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ENVIRONNEMENT du dossier

Index   warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) la multiplication d’un nombre par lui - même

 

2°) voir le cours sur « comparaisons » et « carrés »

Objectif suivant Sphère metallique

1°) le cube d’une nombre

2°) « Carré » d’opérations simples. ( + ; - ; ¸ ; ´  )

2°) les Identités Remarquables

3°) les puissances Nièmes  

4°) RACINE « CARRE »

5°) puissance des nombres relatifs

6°) « puissance de dix ».

)éventuellement voir le cas de la puissance de deux nombres positifs ou négatifs.

1°) Tableau        Sphère metallique68

2°) table numérique

 

Vers la liste des cours sur le calcul numérique

DOSSIER:                     PUISSANCES de nombres positifs

 

Fiche 1 : Puissance d’un entier ou d’un décimal positif.

 

 

Fiche 2 : Produit de puissances d’un même nombre.

 

 

Fiche 3 : Puissance d’un produit de décimaux positifs.

 

 

Fiche 4 : Puissance d’une puissance.

 

 

Fiche 5 :  Quotient où figurent des puissances .

 

 

Fiche 6 : Puissance d’un nombre en écriture fractionnaire.

 

 

v Puissance d’un quotient

 

 

Fiche 7 : Ordre dans lequel il faut effectuer les opérations.

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

               Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité                          )Applications en sciencesBoule verte

2°) série 2

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

Fiche 1 : Puissance d’un entier ou d’un décimal positif.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ecrivez le produit de  « 9 » nombres égaux à « 7 ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vous remarquez que c’est long à écrire !  Heureusement qu’il n’y en a pas « 379 » (par exemple )

 

Pour simplifier cette écriture , on décide , par convention , de la noter :  :

 

 

 

Donc              =

7

7

7

7

7

7

7

7

7

 

 

 : se lit «  sept exposant « 9 ».     « 9 » est l’exposant  , il indique le nombre de facteurs .

 

 

 

 

 

 ;    ;  ;      sont des puissances de « 7 » ;      est la puissance de « 7 » d’exposant « 9 ».

 

Si il y avait eu « 379 » facteurs égaux à « 7 » , on aurait écrit : 

 

 

  =   .. ………………………………………..

 

 

Conseil :   Habituez - vous à dire    est le produit de    5  facteur  égaux à « 2 » .

 

 

 

 

 

Activité :

 

 

Opérations 

Décomposition

Résultat recherché

Erreur de traduction

Résultat qui a conduit à l’ erreur .

 

  =

…………………………

=  ...

2 x 8

=  …64..

 =

…………………………..

=  …..

 

=  …..

 =

……………………………..

=  …..

 

=  …..

 =

………………………………..

=  …..

 

=  …..

 =

……………………………….

=  …..

 

=  …..

 

 

 

 

·       Que pouvez-vous dire des 2 résultats trouvés  sur chaque ligne ?...................

 

 

 

Etc……

 

 

 

 

 

·       « » étant un nombre non nul ,   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·         =  

 

 

 

 

 

Remarque :

On parle de même de puissances de décimaux :

Ainsi :     

 

 

 

 

 

A retenir :

«  » étant un nombre décimal et  « » un entier supérieur  ou égal à « 2 » ,

« » facteurs égaux à «  »

 

 

 

 

 

Par convention   , on écrit :           et si         ;  remarque   ne signifie rien..

 

 

 

 

 

Puissance de dix  ( 10 )

Info +++@

 

 

 

 

 

 

 

C’est un « 1 » suivi  de « … » zéros

 

 

 

C’est un « 1 » suivi  de « …. » zéros

 

 

 

 

A retenir :

«  » étant un entier supérieur ou égal à «  ».

 

   ,      c’est un « 1 » suivi de   «  » zéros.

 

 

 

 

 

 

Remarque :

 

 

 

Si    = 1 ,  

C’est un « 1 » suivi  de « ….. » zéros

 

 

 

Si    = 0 ,  

C’est un « 1 » suivi  de « ……» zéros

 

 

 

 

 

Fiche 2 : Produit de puissances d’un même nombre.

Info +++@

 

 

 

 

 

Justifiez oralement ..ces égalités

 

                                                                

 

 

 

 

·       D’une manière générale , «  a » étant un décimal , « m » et « n »  des entiers  ( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas particuliers :

Si «   = 1 »    ( ou  = 1 )    ;           

 

Si «   = 0 »    ( ou  = 0 )    ;    et         ;               

 

 

 

 

 

 

A retenir :

« a » étant un décimal non nul , « m » et « n » des entiers positifs,

 

 

 

 

 

 

Remarque : cette formule peut se généraliser à plus de deux facteurs . ( Expliquez oralement)

 

Exemple : 

 

 

 

Activité 1 :  Complétez en utilisant la formule précédente  ( «  » et «  » sont des nombres positifs)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=   

 

 

 

 

 

Activité 2 :  On vous demande d’ écrire  « » sous forme de produit de puissances de « 7 » et « 3 ».

 

 

 

 

 

  =   

 

 

 

 

 

·       On vous demande d’écrire « B » sous forme  de produit de puissances  de « 2 » , de « 3 » , et de « 7 ».

 

 

 

 

 ;

 

 

 

 

 

·       On vous demande d’écrire « B » sous forme  de produit de puissances  de « a »et  de « b »  ( « a » et « b » sont des nombres )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activité 3 :  A votre avis ,   est –il un nombre très grand ?

 

 

 

 

 

Environ combien ?

 

 

100

1 000

 1 000 000

1 000 000 000

1 000 000 000 000 000

 

 

 

 

 

Encadrez la bonne réponse et barrez les autres .

Vérifiez par le calcul  (dites cela à l’oral )…..

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 3 : Puissance d’un produit de décimaux positifs.

Info +++@

 

 

 

 

 

Voici ci-contre un carré dont la mesure de la longueur  du côté  ( en mm ) est « a ».

Considérons un autre carré dont la longueur du côté est le triple de celle précédent.

A votre avis , l’aire du grand carré est combien de fois plus grande que celle du petit ?..............

carre001

 

 

On vous demande de vérifier le résultat , dessinez le grand carré  et comptez combien il contient de petits carrés.

Combien en trouvez – vous ? ………..

 

 

 

 

 

·       Vous allez le vérifier maintenant par le calcul .

 

-        La mesure de l’aire du petit carré ( en mm² ) est égale à   : 

-        La mesure de l’aire du grand carré ( en mm² ) est égale à :    .

 

 

 

En définitive : L’aire du grand carré est « 9 » fois plus grande que celle du petit.

 

 

 

 

 

v En vous aidant du calcul fait précédemment   , on vous demande de transformer :   :

 

 

 

 

 

 

D’une manière générale , « » et «  »  étant des décimaux et « » un entier  ( )

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

·       Etudiez  les cas où «  » est égal à « 1 » ou « 0 ».

 

 

 

 

 

A retenir :

«  » et «  » étant des décimaux non nuls, et « » un entier positif .

 

 

 

 

Notation équivalente : 

 

 

Remarque : Cette formule peut se généraliser à plus de deux facteurs .  ( voir réponse  orale )

 

 

 

 

 

Activités 1 :Transformez en appliquant la règle précédente ( les lettres désignent des nombres ) .

 

 

 

 

 

 

 

Complétez le calculez :  

 

 

 

 

 

 

 

Activités 2 :En faisant apparaître une puissance de « 10 » , calculez « D » .  D =

 

 

 

 

 

Commencez par regrouper les « 2 » puis les « 5 » .   D =

 

Mais vous venez de voir que 

 

Donc   D  =

 

 

 

 

 

Faîtes de même pour :    F ;  F =

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 4 : Puissance d’une puissance.

 

 

 

 

 

 

 

Justifiez oralement ces égalités…

 

 

  c’st à dire

 

 

 

 

·       D’une manière générale , «  » étant un décimal , «  » et «n » des entiers  (  ) ,

 

 

 

 

 

 

 

Chaque facteur  «  » est le produit de combien de facteurs égaux à « a » ? ..  …………

Au total , il y a donc combien de facteurs égaux à « a » ?...............................................

 

En définitive    = 

Etudiez les cas où «  » et «  » sont égaux à « 1 » ou « 0 » .

 

 

 

A retenir :

«  » étant un  décimal  non nul,  «  » et  « » des  entiers positifs .

 

 

 

 

 

 

Activités 1:

 

 

 

  ……………..

 

Attention !!!!!

 

 

 

   

 

 

 

  ………..

 

Et : 

 

 

 

 

 

Activités 2:  Ecrivez « H » sous forme de produit de puissances de « 3 » , « 5 » et « 7 » .

 

 =  : …………………………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

Activités 3:  Ecrivez «  R » sous forme de produit de puissances de « 2 » et de « 5 »., puis calculez « R » en faisant apparîatre des puissances de « 10 ».

 

 

 

 ; 

 

 

; 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 5 :  Quotient où figurent des puissances .

 

 

 

 

 

 

Simplifions :        ; . On peut écrire        =  

 

 

 

 

 

De même : 

 

 

 

 

 

Remarque : Pratiquement  , on ne détaille pas les produits , on écrit directement :  

 

 

 

Faites de même pour : 

 

 

 

 

 

 

 

 

·       Simplifions    puisque         et              , on peut écrire 

 

 

 

 

 

·       Simplifions de même : 

 

 

 

 

 

v Vous savez calculer le produit de nombres en écriture fractionnaire :

 

Calculez en simplifiant :  

 

 

 

 

 

·       Faites de même pour :  

 

 

 

 

 

Fiche 6 : Puissance d’un nombre en écriture fractionnaire

 

 

 

 

 

 

Les règles de calculs sont les mêmes que pour les décimaux.

 

 

 

 =  

 

 

 

 

 

·       Calculez :        = 

 

 

 

 

 

·       Complétez :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v Puissance d’un quotient .

 

 

 

v D’une manière générale, «  » et «  » étant des décimaux non nuls et  «  » un entier ,

 

   

 

 

 

 

 

Cas particuliers :

 

 

Si  «  = 1 » ;      et    donc 

Si  «  = 0 » ;      et    donc 

 

 

 

 

 

 

A retenir :

«  » et «  » étant des décimaux non nuls, et « » un entier positif .

 

 

 

 

 

 

Activités  1:

 

 

 

 

 

 

 =   =  

 

 

 

 

Activités 2 :

 

 

 

 

 

Simplifiez :

 

 

 

 

 

Simplifiez  

 

 

 

 

 

Activité 3 :

Voici deux cubes  « C » et « C’ » de volumes respectifs « V »  et « V’ ».

Désignons par «  » la longueur de l’arête du cube « C ».

Et par «  » la longueur de l’arête du cube « C’ » .

 

On sait que  «   =  »

 

 

 

Quelle fraction  de « V » représente « V’ » ?

 

( Trouvez une équation ( égalité ) de la forme « V’ = ….V »

carre002

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 7 : Ordre dans lequel il faut effectuer les opérations.

Info ++ sur les priorités de calculs.

 

 

 

 

 

Répondez à la question :Comment doit-on s’y prendre pour calculez ?

 

1°) Calculez : « le carré du double de 5 » :

Procédure  :

 

On cherche d’abord  le ………double ……….de « 5 » : on obtient   :  

Puis on calcule  le ……………………… : on obtient : ……………

Ce qui s’écrit :  ( 2  ……..   =    …… ²   = ……….

 

 

 

2°) Calculez : « le double  du carré  de 5 » :

Procédure  :

 

On cherche d’abord  le ………carré ……de « 5 ».    On obtient :   .. ………..

Puis on calcule le .. …………..      . On obtient :  .. ………………..

 

Ce qui s’écrit :    =  

 

Trouvez- vous le même nombre dans les deux cas ? ..

 

 

 

Ø  représentant un nombre quelconque .

 

«  le carré du double de   » s’écrit en mathématiques :    

«  le double du  carré  de   » s’écrit en mathématiques :    

 

 

 

Attention :

D’une manière générale , ne cofondez pas   :   et 

Dans le cas     , l’exposant ne porte que sur «  ».

 

 

 

 

 

A retenir :

En l’absence de parenthèses , quand dans un calcul , il y a des multiplications et des « puissances » , on doit effectuer d’abord le calcul des puissances.

L’exposant s’applique uniquement au nombre qui le précède.

 

 

 

 

 

 

Activités 1  : Calculez .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Activités 2   : Complétez .

 

 

 

 

 

«  »

«  »

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2