TRAVAUX  AUTO - FORMATIF

N°9 / 25

CORRIGE

 Leçon

CONSIGNE :   vous devez répondre aux questions en vous aidant du cours .

N°9

LA PROPORTIONNALITE   et les calculs sur la proportionnalité ;son  l’application linéaire .

CHAPITRES :

Etude chapitre par chapitre (des questions peuvent être rajoutées):

1)     Suites de nombres proportionnelles .

Info plus ! ! !

1)     Proportion et produit en croix

Info plus !!

2)     Coefficient de proportionnalité .

Info plus ! ! !

3)     Ecriture algébrique dite « équation »

Info plus ! ! !

4)      Tableau de proportionnalité .

C d INFO plus ! !

5)      Recherche du coefficient de proportionnalité 

Info plus !!!!!

6)     Représentation graphique d’une proportion

Info plus !!!!

7)     Problème résolu de proportionnalité.

Info plus !!!!

8)     Application linéaire .

Info plus ! ! !

 

ETUDE  du cours

Prendre une feuille , répondre aux questions en vous aidant du cours.

i9

VOCABULAIRE  déjà utilisé : (Rappels)

:i

 I ) Qu’appelle t - on :  Rapport ?:

  On appelle « rapport » : le quotient obtenu par la division d’un nombre par un autre nombre.

 

Quel est le  modèle mathématique d’un « rapport » ?   le modèle est  « une écriture fractionnaire ou une  fraction ».

Compléter le tableau :

Exemples :

Quotient :

Commentaire :

6 / 2  =  3

3

Le quotient est un nombre entier.

4,5 :2  =

2,25

Le quotient est un nombre décimal

8 : 3

Le quotient est une fraction irréductible  dit « rationnel »

 

II ) qu’appelle -t - on « Rapports égaux » ?  :

   On appelle « rapports égaux » des divisions  qui ont le même quotient  ( et dont le reste des divisions est identique ) .

- quel est le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions ?.

- Traduction en langage   mathématique :

                        

 

 

Quel  peut être la nature du quotient ?   peut être un nombre entier, un nombre décimal  ou une fraction .

 

III ) Qu’appelle -t - on par  « Suite de rapports égaux » ? 

 

  Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux  nous pouvons  dire que nous avons  une « suite de rapports égaux » , le quotient de chaque rapport étant identique , ce quotient  est un nombre de valeur  « constante » , on l’appelle  « k »  (coefficient).

 

-Quel est son modèle mathématique ?    Traduction en langage mathématique :

                                               

 

 

 

Appliquer :  sont t-ils des rapports égaux ?

on trouve le même quotient donc  k = 5

 

FIN du rappel.

 

i9

La proportionnalité :

Info plus ! ! ! !

 

i9

I                       Proportion

Info plus !! et :i

1°)  Donner la définition de la proportion ??? :

Définition :-   L'égalité de deux rapports est appelée "une proportion".

                -     On appelle « proportion » l’égalité de deux rapports.

 

2°)  Soit deux cas : montrer   si il y a , ou pas , une proportion :

Cas : il y a proportion

 

Cas il n’y a pas proportion

  est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

  est ce que ces deux fractions forment  une proportion ?

Réponse :  oui si !!!!

Réponse :   

Réflexion :  Si  le quotient des divisions sont identiques , nous avons une proportion.

Réflexion  Si  le quotient des divisions sont identiques , nous avons une proportion.

Calculs :

9 : 3  = 3    ;  18 : 6 = 3

Etude du résultat du calcul :  le quotient est identique , le reste = 0

Calculs :

9 : 3 = 3   ; 27 ; 3 = 9

Etude du résultat du calcul :  le quotient est n’est pas identique .

 

Conclusion :

Les deux fractions forment deux rapports égaux c’est une proportion.

Conclusion :

Les deux fractions ne forment  pas deux rapports égaux ; ce n’est  pas une proportion.

3°) Compléter la phrase :  Lorsque le quotient « semble identique)  est identique et que  le calcul ne « tombe pas juste (c’est à dire que  reste différent de zéro ) » Une autre possibilité de calcul permet de vérifier si deux fractions sont égales : il faut calculer le « produit en croix » . ( on verra cette pratique plus loin dans le cours ) .

4°) Application : calculer le  produit en croix des   deux fractions    8 / 3    et   16 / 6   

Les produits  de  ( 8   6  = 48   )  et  (16   3  = 48  )  sont  appelés "les produits en croix".

5°)  Soit la proportion :    ; nommer les  « moyens et les extrêmes »   les nombres  « 8 » et « 6 » sont appelés "les extrêmes"  et  les nombres  « 3 » et « 16 » sont appelés "les moyens".

6°) compléter la phrase suivante :

Dans une proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Rappel    C d :  les  fractions équivalentes :

6°)  Application :  :   est - elle égale à  ?  donner une conclusion .

 

Solution : « oui » si  3 fois 37,5   est égal à    15 fois 2,5   ;

Calcul  n°1:  3 fois 37,5 = 112,5 ; calcul  n°2  15 fois 7,5 = 112,5

Conclusion :    on trouve pour les deux multiplications le même produit « 112,5 » ; on peut écrire que 

 

 

 

i9

II .     Coefficient de proportionnalité

Info plus ! ! !

7°) Qu’est qu’un  coefficient de proportionnalité ?

Définition :  Le coefficient de proportionnalité est un nombre obtenu en divisant  plusieurs fois  deux  nombres différents , mais dont on trouve le même quotient  .

8°) Quel peut être la nature de ce  nombre ( à quel ensemble appartient -il ?) :  « entier » ; « décimal » , « rationnel » , et  relatif ou pas relatif

9°)  comment obtient - on un coefficient de proportionnalité  .. ce nombre est obtenu par un calcul : ce calcul est une division . On obtient ce coefficient   lorsque  l’on  divise  chaque valeur  de la première  suite par le nombre correspondant  ( valeur correspondante : qui occupe le même rang )  de la seconde suite .

10) Exemple 

 Si   deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels : si l’on met ces nombres dans un tableau , on obtient un tableau de proportionnalité.

 

Le tableau  ci dessous   est appelé « tableau de proportionnalité »

  ´ 2      

¯

1,5

4,3

9,6

Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « Première suite »

 ¸2  ­

3

8,6

19,2

Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « seconde suite »

11 ) Quelle  est la valeur du coefficient de proportionnalité : 2 est le Coefficient  de proportionnalité

12°) Etablir la suite de nombres  proportionnels  et Vérifier ar le produit en croix  :

3 / 1,5 ;  8,6 / 4,3 ;19,2  /9,6   ; On a bien   4,3   2 =  8,6     et     9,6  2 = 19,2

13°) Lorsque l’on a deux suites de nombres , donner la règle qui permet de calculer le coefficient  de proportionnalité !

Lorsque l’on a deux suites de nombres ; Le coefficient de proportionnalité est égal au rapport des nombres de la deuxième suite aux nombres correspondants de la première  suite  de nombres.

.i9

III   )    Rechercher si deux  suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels

Info plus ! ! ! !

 

14°)  Quelle condition faut -il  remplir  pour que deux suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels. ?

Définition : Deux suites de nombres forment  une suite de nombres proportionnels (rapports égaux)   si le rapport entre les nombres de la première suite et les nombres correspondants (même classement dans la suite )  de la deuxième  sont    constant . ( même valeur )

 

15°)  Soit la première suite S1 = { 2 ; 6 ; 10 }    ; soit la deuxième suite  S 2 = { 4 ; 12 ; 20 } , sont - elles  proportionnelles ?

1ère Solution : si     2/4  = 6 / 12  =  10 /20

Rectangle à coins arrondis: 0,5  =   =   =  si  { 2 ; 6 ; 10 }  et { 4 ; 12 ; 20 } sont deux suites  de nombres proportionnelles   car  en faisant une simplification  (ou calcul) des rapports on peut  montrer que 

 ;  ;   deviennent    ;

   donne un nombre constant   0,5

 

IV.               Proportionnalité et « l ’équation » :

  y = a x  (REPRESENTANTE de  la fonction dite « linéaire »)

 Info plus ! ! ! ! !

Vocabulaire : compléter  la phrase : 

16°)  on dit  aussi q ‘ une  « équation » est une «  écriture algébrique »

 

17 °) .iLa fonction linéaire est le modèle algébrique  permettant de traiter  toutes les situations  problèmes de la proportionnalité.

18°)    Problème « exemple » :   2 kg de pommes  valent 1, 6 €   ; 3 kg valent  2,4 € ; 5 kg valent  4 € .

18a )  comment montrer qu’il y a « proportionnalité » ? .

On montre qu ‘il y a proportionnalité  en effectuant les divisions suivantes :  (1,6 ¸2 ; 2,4 ¸ 3  et 5 ¸ 4) ; ce qui nous permet d’écrire la suite de nombres « proportionnels » :

=  0,8   (0,8 étant le prix au kilogramme)

18b )  compléter la phrase : On peut dire que le prix à payer est égal  à 0,8 €    multiplié par le nombre de kilogramme acheté.

18c)Que désigne la lettre « y » ? : on désigne par « y » le prix à payer ;

18d) Que désigne la lettre « x » ?  on désigne par « x » le nombre de kilogramme acheté 

18e) On remplacera  la formule de la forme  y = a x  par l’équation :??      y = 0,8 x 

18 f) Si le kilogramme de pomme passe à 1,2 € le kilo ; donner  la formule : y = 1,2 x

Qu’est ce que cela implique dans le raisonnement de celui qui achète ? prendre une valeur numérique.

19 ) Donner le forme de la  formule ( forme algébrique)    y  =  a x ;

20) Compléter la phrase :  la droite d’équation « y = 1,2x » peut être tracée dans  un repère cartésien.

21) « vocabulaire » :   traduire l’écriture : f (x)    :        lire  « en fonction de « x »

22 )  Compléter la phrase : o n dit que « y » est obtenu  en … f (x)   ……..

23 )  Compléter la phrase :   On remplacera  l’équation «  y = 1,2 x »  et l’on écrira que  la fonction s’écrira :  « f(x) = 1,2 x   »

+Généralisation :  On peut mettre les  suites de  nombres précédents sous la forme d’

Rectangle à coins arrondis: Prix à payer
 


Rectangle à coins arrondis: Nombre de kilo achetésune suite de rapports égaux ===......... ;

Bulle ronde: Des « i » grecs
 

 


On peut dire que cette suite est égale au rapport   des     

Bulle ronde: Sur de  « ixes »  

 


Ce rapport est un coefficient qui est égal au nombre  que l’on nommera  « a » .

On peut donc écrire  que :     ==  =  

On  a  décidé de transformer ces  rapports de la forme         par  l’écriture  y = ax

c’est une autre  forme  d’écriture dite « algébrique », cette écriture algébrique est une égalité  appelée « équation » .

25 )  Cette   équation  « y = a x »  est appelée : « équation de la fonction linéaire » .

+Application à des cas  concrets  (Adapté à la vie quotidienne)

D’autres applications seront traitées dans le  cours   10 /25 .

Série  1 :  

26 )  ►Problème 1°)

   Le prix d’un kg de fruit est de 0,8 €. Donner une formule permettant de calculer le prix à payer en fonction de la masse achetée.

Solution 

Pour tout achat de ces fruits , on a :

                prix à payer  =  prix au kg nombre de kg

22a) Si on appelle « x » le nombre de kg achetés  et « y » le prix à payer  on écrira  l’équation 

                y = 0,8 x .

 

 

27) ►Problème 2°)

 J’achète des pommes à 1,53 € le kilogramme ; quelle sera  la relation mathématique à utiliser ?

Solution :

27a) si « y » est le prix à payer et « x » le nombre de kg ,quel sera est le coefficient de proportionnalité ? 1,53  .  

27b) Donner la forme de l’équation de ce que je dois payer      je dois payer : y = 1,53 x

Applications :

27c) -si je prend  4,5 kg      ;   je payerai     y = 1,53 fois 4,5 ; soit  6,885 €

27d ) -si je prend  1, 350 kg ;    je payerai     y = 1,53 fois 1,350  ; soit  2,0655 €

 

2 7 e   ) Conclusion : Avec la relation y = 1,53 x  je peux  calculer la somme à payer quelque soit la masse; je multiplie la valeur de cette masse  par 1,53 .

28 °)  ►Problème n° 3

J’ai payé  7,2 €  pour des pommes vendues 0,8 € au kg . Quelle est la masse de pommes achetées ?

28a)   On sait  que la relation  à utiliser  est       y =  0,8 x

28b) On connaît « y = 7,2 »   , on peut écrire   7,2  = 0,8  x  

Pour calculer « x » on transforme l’équation :

On simplifie  pour obtenir :     

28c) Donc   x =  7,2   ¸  0,8   ;   soit    x =  9

28 d)  conclusion :   la masse de pommes achetées est de   9 kg.

Série  2 :   Autre méthode de résolution d’un problème sur les proportionnalités :

on raisonne en passant par le tableau de proportionnalité.

29 )   Problème n° 4  : J’ai payé 7,2 €  pour 10 kg pommes  combien paierai-je  pour  4 kg ?

 (on a  établi le tableau suivant)

Nombre de kg

10

4

Prix payé

7,2

x  )

Calcul : On fera le produit en croix :

10   ´ ( x )  =  7,2   ´  4   ;  on transforme :  ( x) =  ( 7,2 ´ 4 ) ¸ 10 ;       x  = 2,88

Conclusion : le prix à payer pour 4 kg est de 2,88 €.

C d INFO plus ! !

+Première approche : nous avons vu précédemment  que nous pouvions mettre  dans un tableau des valeurs calculées.

30°)   Problème  n° 5 : J’ai payé  pour des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’achète  une masse de 1,5 kg ; 4,3 kg  et 9,600 kg ;  pommes achetées ?

 

 

 

30a)  Construire le tableau de proportionnalité

  ´ 2     

¯

1,5

4,3

9,6

 

 ¸2  ­

3

8,6

19,2

 

+Deuxième approche : théorique

31°) Problème  n°6  :

J’  achète  des pommes vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’ achète  une  masse  « quelconque » ( notée par la lettre « x » ) de pommes achetées ?  

On demande  d ’ établir l’équation  et de construire un tableau ou l’on peut connaître les prix à payer  pour  des sacs contenant 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 et  5 ( kilos achetés)

Solution :

31a )On pose : « x »  pour les kilos achetés ; « y » pour le prix à payer ; 

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne supérieure  les nombres forment la    « Première suite ». Les valeurs de « x » sont données ou choisies .31b) On en déduit l’équation «  y = 2 x »

31c) Construire un tableau  de proportionnalité , précisez !! :

 

x

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

Rectangle à coins arrondis: Dans cette   Ligne inférieure   les nombres forment la    « seconde suite », les valeurs de « y » sont calculées .on sait que  les valeurs de « y = ax » 


 

Rectangle à coins arrondis: Procédure : On construit deux lignes  « x » et « y » et autant de colonnes que de valeurs cherchées.
On remplit la ligne des « y ».
 

 


31d)   construire un tableau . Placer les valeurs 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 4 et  5  on sait que :  y = 2 x 

compléter le tableau.

 

x

1,5

2

2,5

3

4

5

 

y

3

4

5

6

8

10

 

V.                 autre activité demandée :

on   Recherche le  coefficient de proportionnalité

Info plus !!!!!

La recherche du coefficient de proportionnalité est un autre  moyen de traiter les problèmes de proportionnalité.

32 °) Problème n° 7 : j’achète 9 kg de pommes pour 7,2 € ;  une  offre  promotionnelle propose un lot de 3 kg de ces mêmes pommes à   2,99 €.

Y a - t-il un rapport de proportionnalité ?  expliquez comment on doit procéder .

Solution :

32 a) Calculs :   Pour le savoir  on effectuera les deux calculs  suivants   ( 7,2 : 9  et  2,55 : 3 ) et puis on comparera  le résultat de ces calculs :  7,2 : 9 = 0,8 ;   2,55 : 3 =   0,85 ;

  0,8 et 0,85  ne sont pas égaux !

32b)  Conclusion : Il n’y a pas  de proportionnalité parce que l’on a pas obtenu le même quotient.

 

 

VII.    autre activité : Faire la Représentation graphique  d' une proportion

Info plus !!!!!

 

33°)  compléter la phrase :   La représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine .( O ) du repère cartésien.

34°)  Exemple  N°8 : Un cycliste  se déplace à la vitesse moyenne de 20 km par heure ( 20 km/h ou 20 km.h-1 ).Déterminer l’équation « y » distance parcourue(km) en fonction de « x » durée du parcours(h) ; construire un tableau  de proportionnalité  avec  x = 1 h ; 2h et 3 h ; Tracer la droite  dans un repère cartésien. 

34a)  donner l’équation algébrique :   L'équation algébrique  est    y = 20 x

34b) compléter :  Avec  " y " représente :  la distance parcourue, "x"  représente  la durée en heure.

34c) compléter le tableau  :

Durée en h.

1

2

3

Distance   parcourue

20

40

60

34 d) Compléter les colonnes par une lettre majuscule.

 

 

 

Pour la   représentation graphique ( on reprend le tableau précédent on nomme les colonnes )

                Points ®

A

B

C

Durée en h.

1

2

3

Distance  parcourue

20

40

60

34 e) Tracer le repère   sur « x » 1h = 2 cm ;  sur « y » 20 km = 1 cm ) ;

Donner les valeurs des  couples de points et  puis les  placer dans le repère .

 les points  A ( 1 ; 20) ; B ( 2 ; 40 ) ; C ( 3 ;60 )

La représentation graphique est une droite ( ensemble de points)

 

 

 

 

 

35°)  Rechercher  un  complément d'informations  à la lecture de la représentation  graphique, et interpréter certains événements   :

Soit la représentation graphique ci- contre.

« Soit un cycliste qui quitte un lieu en un point O » .

 

35a)  Compléter le tableau ci - dessous :

 

?

G

?

D

F

?

E

?

Durée en h.

0

 

1

 

 

2

 

3

Distance

parcourue

0

 

20

 

 

40

 

60

2°)  Quel commentaire peut - on faire  sur  les  points : G : D ; F et E ?.

 

 

 

Solution :a)  Après avoir remplir le tableau :

 

 

O

G

A

D

F

B

E

C

Durée en h.

0

0,5

1

1,30

1,75

2

2,50

3

Distance

parcourue

0

10

20

30

35

40

50

60

 

35 b  ) commentez ce qui se passe au point  « G »  , au point « D »   au point « F » ; « E »:

On peut faire les  commentaires suivants :

au point "G"   il met 0,5h  pour parcourir  10 km

au point "D"  il parcourt 30 km en 1,5 h

au point "F"  en 1,75 h  ( 1 .h  ou 1 h 45 min)  il  a parcouru 30 km

au point "E" il a parcouru  50 km au bout de 2,5 h ( 2h 30 mn )

 

 

 

 

 

 

Pré requis : repérage  et les calculs

1°) Info plus ! fonction linéaire présentation! !/

2°) fonction et application

Revoir ce dessus pour ce qui est du vocabulaire employé. !!!!!!

Dans ce chapitre

1°)  il faut savoir : compléter et utiliser un tableau de proportionnalité , et ;

2°) il faut savoir  déterminer , représenter et utiliser l’application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

36°)  Application linéaire :

36 a)  Que désigne « k »  (quelle est sa nature ?):

    «  k »  est le coefficient de proportionnalité , c’ est un nombre non nul (  ¹ 0) 

36b) L’ ’application linéaire de coefficient « k » fait correspondre à chaque nombre « x » le nombre « y »  , traduire en une équation mathématique : 

on notera  le  modèle       k ´ x = y    soit  y = k x   ,

36 c)  compléter la phrase :     on dira  que le produit  de  « k x »  est l’image  de « x » par l’application linéaire de coefficient « k » . On dira donc   que  «  x  à pour image   k x »

36d) Par quel symbole remplace - t- on   l’expression « à pour image » ?

 

On remplace l’expression « à pour image » par le  dessin :    ( flèche orientée de vers la droite, la flèche aura un talon (trait vertical lié) )

 

 

 

36 e) Traduire en écriture symbolique : «  x  à pour image   k x » : on notera cette phrase par l’écriture symbolique :     x    k x

36 f )  Compléter la phrase  :    « y » est le produit de k x    ( lire « k » fois « x » )

36 g)   Si l’application linéaire s’appelle «  » et  si « y » est l’image de « x » ;

 traduire en écriture symbolique :    y =    f (x)

36 h )  On lira que :  chaque valeur  de « y » est obtenu en fonction de la valeur  de « x » .

37°)    Application linéaire liée à une situation de proportionnalité .

37 a)  on donne :     x -3,5 x  est associé à  ce tableau de proportionnalité ; compléter le tableau

´ -3,5     ¯

x

 

- 3

-

0,4

1

2

 

y

 

+10,5

+1

-1,4

-3,5

-7

 

37 b)  Représentation graphique .   ( voir chapitre ci dessus : 6° )Représentation graphique  d' une proportion )

Compléter la phrase :   La représentation graphique de l’application linéaire de coefficient « k » est la droite d’équation  y = k x

37 c)  par quels points particuliers passe - t- elle ?   Elle passe  par  les  points particuliers :   point  « O » ( 0 ;0)  et par le point « A » ( 1 ; k )

38°)  Coefficient :

soit   l’application linéaire   f   telle que  f ( 2)  =  ( -13)

38 a)  calculer sont « k » :             à pour coefficient  car

38 b)  généraliser  : l’application linéaire   f   telle que  f(x)  =  k x

            à pour coefficient :    « k »  =

39°)  Exemple de représentations graphiques :

 

Que peut -on dire des droites sur le dessin ?  Complétez les phrases.

39 a)  La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par « O ».

 

 

39 b)  D1   ; D2 ; D3 ; D4   sont des droites passant par « O »

 

39 c)  ces droites sont les représentantes d’une fonction …linéaire.

 

39 d) Quel est le signe de « k » pour chaque ?

D1 :  k  positif ;

D2   k  négatif;

 D3   k  négatif

 D4   k  positif

Ceci termine la découverte du document , vous devez demander des précisions si les réponses ne vous ont pas paru « évidente ».

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