LES FRACTIONS "opérations" : cours 2 / 5

Auteur : WARME R.

MATHEMATIQUES :Niveau V.

FRACTIONS :

Dénominateur différents.

Opérations

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

Classe :…………………..

Année scolaire : ………………………

Dossier pris le : ……/………/………

Validation de la formation : O - N

Le : ……………………………………..

Nom du formateur : ……………………

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

5 B / 26

-Pré requis : Savoir faire des calculs avec des fractions de mêmes dénominateurs « Addition » ; « soustraction » ; « multiplication » ; « division ».

TITRE : LES FRACTIONS DE DENOMINATEUR DIFFERENT (Opérations)

ADDITION ; SOUSTRACTION ; DIVISION et MULTIPLICATION ; de DEUX FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.

DOSSIER N°5

INTERACTIF

LES FRACTIONS (Opérations)

Informations

« TRAVAUX d’auto - formation »

Cliquer sur le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation Niveau V (inclus le CAP et CFA).

OBJECTIFS :

- Savoir faire des calculs avec des fractions de dénominateurs différents « Addition » ; « soustraction » ; « multiplication » ; « division ».

Leçon

PREAMBULE

N°5

LES FRACTIONS DE DENOMINATEUR DIFFERENT (Opérations)

COURS

Il faut valider les acquis précédents avant d’étudier le chapitre « B » (chapitre suivant).

i9voir ci- dessus. i29

:iCd³ INFO +

Les fractions sont de la forme :

; où « a » ; « b » ; « c » et « d » sont des nombres différents et à condition que « b » et « d » soient différents de « 0 » ( parce que l’on ne peut pas diviser par « 0 »)

1 .ADDITION : de DEUX FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Soit les deux fractions Qui n’ont pas la même valeur au dénominateur !

► On ne peut pas additionner des fractions de dénominateurs différents :

On doit transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un dénominateur égal au produit des dénominateurs. Ici le dénominateur commun sera « bd »

Procédure à respecter pour additionner 2 fractions de dénominateurs différents.

Activité : « additionner »

Exemple :

Calculer :

Il faut :

1°) Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions il faut transformer chaque fraction en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est égal au produit des deux dénominateurs « bd »

2°) on transforme la première fraction !

3°) on transforme la deuxième fraction !

4°) On remplace la première addition par l’addition des fractions équivalentes :

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur .

4°) On remplace la première addition par l’addition des fractions équivalentes :

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur .

5°) On calcule l’addition :

On peut écrire :

On peut maintenant effectuer l’ addition des deux fractions équivalentes.

5°) Calcul de l’addition :

l’addition est rendue possible parce que nous avons deux fractions ayant le même dénominateur.

Autre exemple :

Calculer

Procédure à suivre :

1°) Au préalable on simplifie ou ,dans la mesure du possible’ on essaie de rendre irréductible la ou les fractions.:

ce qui est le cas de pour

2°) On remplace l’addition devient égale à l’addition

On a remplacé , On obtient une nouvelle addition ,

3°) On calcule le « dénominateur commun » :

5 fois 4 = 20

Il est égal au produit des dénominateurs.

4°) Transformation chaque fraction en fraction équivalente . (Dont le dénominateur sera 20)

première fraction :

deuxième fraction :

Vérification : est « vraie » parce que dans le produit en croix 3 fois 20 = ( 60) est égal à 5 fois 12 = ( 60)

Vérification :

est « vraie » parce que 1 fois 20 est égal à 4 fois 5 .

5°) On remplace l’addition avec les fractions de départ par une nouvelle addition avec des fractions équivalentes :

On dit que les additions sont équivalentes.

Nous avons maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire l’addition

6°) Calcul de l’addition

7°) Conclusion :

On reprend l’énoncé : l’addition de départ !

On donne le résultat sous forme irréductible

= 0 ,85

On peut donner aussi le résultat sous forme décimale

8°) Vérification : Dans tous les cas il faut vérifier si notre résultat est conforme ; pour cela on calcule la division dans chaque fraction :

3/5 = 3 ¸ 5 = 0,6 et 3 / 12 = 3 ¸ 12 = 0,25

Ensuite , on remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées précédemment et l’on compare :

0,6 + 0,25 = 0,85

On compare 0,85 avec , bien entendu nous trouvons le même nombre donc on peut maintenant conclure que : est bien égale à

2. SOUSTRACTION: de DEUX FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

Soit les deux fractions Qui n’ont pas la même valeur au dénominateur !

► On ne peut pas soustraire des fractions de dénominateurs différents :

On doit transformer les fractions en fractions équivalentes dont on donnera un dénominateur égal au produit des dénominateurs. Ici le dénominateur commun sera « bd »

Procédure à respecter pour additionner 2 fractions de dénominateurs différents.

Activité : « soustraire »

dans le sens a /b - c / d

Exemple :

Calculer :

Il faut :

1°) Ainsi avant de faire la soustraction de deux fractions il faut transformer chaque fraction en fraction dite « équivalente » dont le nouveau dénominateur est égal au produit des deux dénominateurs « bd »

2°) on transforme la première fraction !

3°) on transforme la deuxième fraction !

4°) On remplace la première soustraction par la soustraction des fractions équivalentes :

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur .

4°) On remplace la première soustraction par soustraction des fractions équivalentes :

Après transformations , on se trouve en présence d’une addition de deux fractions de même dénominateur .

5°) On calcule la soustraction :

On peut écrire :

On peut maintenant effectuer la soustraction des deux fractions équivalentes.

5°) Calcul de la soustraction :

la soustraction est rendue possible parce que nous avons deux fractions ayant le même dénominateur.

Autre exemple :

Calculer

Procédure à suivre :

1°) Au préalable on simplifie ou ,dans la mesure du possible’ on essaie de rendre irréductible la ou les fractions.:

ce qui est le cas de pour

2°) On remplace la soustraction devient égale la soustraction

On a remplacé ,

On obtient une nouvelle soustraction ,

3°) On calcule le « dénominateur commun » :

5 fois 4 = 20

Il est égal au produit des dénominateurs.

4°) Transformation chaque fraction en fraction équivalente. (Dont le dénominateur sera 20)

première fraction :

deuxième fraction :

Vérification :

est « vraie » parce que dans le produit en croix 3 fois 20 = ( 60) est égal à 5 fois 12 = ( 60)

Vérification :

est « vraie » parce que 1 fois 20 est égal à 4 fois 5 .

5°) On remplace la soustraction avec les fractions de départ par une nouvelle addition avec des fractions équivalentes :

On dit que les soustractions sont équivalentes.

Nous avons maintenant deux fractions de même dénominateur , nous pouvons faire la soustraction

6°) Calcul de la soustraction :

7°) Conclusion :

On reprend l’énoncé : l’addition de départ !

On donne le résultat sous forme irréductible

= 0 ,85

On peut donner aussi le résultat sous forme décimale

8°) Vérification : Dans tous les cas il faut vérifier si notre résultat est conforme ; pour cela on calcule la division dans chaque fraction :

3/5 = 3 ¸ 5 = 0,6 et 3 / 12 = 3 ¸ 12 = 0,25

Ensuite , on remplace les deux fractions par les valeurs décimales calculées précédemment et l’on compare :

0,6 - 0,25 = 0,35

On compare 0,35 avec , bien entendu nous trouvons le même nombre donc on peut maintenant conclure que : est bien égale à

Si l’addition et la soustraction de deux fractions de dénominateurs différents posent un réel problème , il n’en est pas de même pour la multiplication et la division ( ou fraction ) de fractions : il n’y a aucune transformation particulière , il faut appliquer directement les règles énoncées pour les fractions de même dénominateur . (Voir suite du cours .)

3. MULTIPLICATION de DEUX FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

Il n’y a pas de transformation particulière à effectuer , ainsi la multiplication de deux fractions de dénominateur différent ne pose pas de problème particulier .

On retiendra la règle suivante :

Règle : ( écriture littérale)La multiplication de deux fractions de dénominateur différent est égale à une troisième fraction qui aura pour « Numérateur » : le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » : le produit des dénominateurs.

Traduction symbolique mathématique

= =

Exemple : calculer :

Faire le produit des numérateurs

Faire le produit des dénominateurs

conclusion :

15 / 77 est le résultat : forme irréductible

Résultat sous forme décimale ,

15 / 77 » 0,194805194805194805194805194805195

ce qui peut se ramener au nombre » 0,195 qui est le résultat exprimé à 0,001 prés

4. DIVISION de DEUX FRACTIONS de DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

iNous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux fractions , il faut impérativement transformer l’écriture

Donc l’écriture :

se transforme en :

Commentaire : La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractions.

La fraction de fractions

Commentaire 1:

La première fraction étant au dessus de la barre de fraction qui se trouve alignée avec le signe « égal ».

devient :

Commentaire 2 : la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal.

Bien que la fraction de fractions soit transformée en division ; la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut transformer la division en multiplication en respectant la procédure suivante:

On sait que

se transforme en

qui devient

En conclusion : Transformation finale

Commentaire : Première transformation de la fraction de deux fractions en division de deux fractions.

Deuxième transformation : la multiplication par l’inverse !

On a transformé la fraction de fractions par une « multiplication » .

Rappel ( Cd ³ ) INVERSE d'un nombre.(ou fraction) :

l’ inverse de

est égal à

et inv. de

est égal à

Et l’on applique ,ensuite, les règles de la multiplication de deux fractions.

Règle : ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit de multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction.

Forme symbolique mathématique :

Exemple :

Calculer :

77 / 45 =

Résultat calculé :( »1,71111111111111111111111111111111)

conclusion

» 1 , 71 à 0,01 près ( il faudrait faire la vérification ! !)

+Faire les exercices suivants :

Addition

Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

Soustraction

Multiplication

Fraction de fractions

Division de fractions

iComme vous l’avez remarqué : on peut multiplier ou diviser directement deux fractions de dénominateur différent , on ne peut pas additionner ou soustraire deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur .

Leçon

Titre

N°5 B

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

LES FRACTIONS ( OPERATIONS )

TRAVAUX N°5 B d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

Définitions préalables

1°) donner la définition d’un fraction : donner un exemple avec 3 et 4

Exemples ?:

2°) Qu’est ce qu’un rationnel ?

Donner des exemples :

16 : 2 = ? ………………………………………………

25: 4 = ? ………………………………………………

11 : 7 = ? …………………………………………………

3°) qu’appelle - t - on « écriture fractionnaire »

B ) ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de DEUX FRACTIONS DE DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

5 .ADDITION :

Cd³ INFO +

°) Soit les deux fractions que peut - on déclarer sur l’addition de ces deux fractions ?

2°)Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions de dénominateurs différents il faut transformer chaque fraction en fraction dites « ………………. » dont le nouveau dénominateur est « bd » ( appelé :…………………………………..) .

3°) transformer en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

4°) transformer en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

5 ° ) faire l’addition des fractions :

6. SOUSTRACTION:

Cd³ INFO +

1°) Soit les deux fractions que peut - on déclarer sur la soustraction de ces deux fractions ?:

2°)Ainsi avant de faire l’addition de deux fractions de dénominateurs différents il faut transformer chaque fraction en fraction dites « ……………. » dont le nouveau dénominateur est « bd » (appelé : ………………………………) .

3°) transformer en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

4°) transformer en fraction équivalente de dénominateur valant « bd »

5 ° ) faire la soustraction des fractions :

7.MULTIPLICATION

Cd³ INFO +

1°) à quoi est égale la multiplication de deux fractions de dénominateurs différents ? ( écriture littérale) ?

2°) donner la traduction symbolique mathématique:

8. DIVISION

Cd³ INFO +

1°) Compléter la phrase :

Remarque importante: Comme pour la division de deux fractions de même dénominateur , nous ……………………. calculer directement la fraction de deux fractions de dénominateur différent , il faut impérativement transformer

2°) Transformer la fraction de fractions en division de fractions :

4°) A quoi est égale le résultat de la division de deux fractions de même dénominateur ?

( Forme littérale)

5° ) montrer les étapes de transformation conduisant au résultat .

3°) Donner la forme symbolique mathématique du calcul de :

TRAVAUX N°5 d ’ AUTO - FORMATION : EVALUATION 1

Définitions préalables

1°) avec « 3 » et « 4 » écrire une fraction ?

2°) souligner les rationnels .

16 + 2 = 18 ; 16 : 2 = 8 ; 16 -2 = 14

25: 4 = 6,25 ; 25 ´ 4 = 100 ; 25 - 4 = 21

11 + 7 = 18 ; 7 - 11 = -4 ; 11 : 7 = 11/7

3°) entourer l ’ « écriture fractionnaire »

16 / 2 ; 17 / 5 ; 20,2 / 2 ; 10 / 0,5 ; 6,3 / 7,8 ; .456/ 3625

B ) ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de DEUX FRACTIONS DE DENOMINATEURS DIFFERENTS.

Cd³ INFO +

B) Série 1

5 .ADDITION :

Cd³ INFO +

Calculer :

; donner le résultat sous forme irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

6. SOUSTRACTION:

Cd³ INFO +

Calculer

; donner le résultat sous forme irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

7.MULTIPLICATION

Cd³ INFO +

Calculer

; donner le résultat sous forme irréductible et sous forme décimale à 0,001 prés .

8. DIVISION

Cd³ INFO +

Calculer

; donner le résultat sous forme irréductible et puis sous forme décimale à 0,001 prés .

B) Série 2
Addition

Soustraction ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs

Soustraction

Multiplication

Fraction de fractions

Division de fractions

6) A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 000 F, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7) Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 F. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?