1°)  MULTIPLES  D’UN ENTIER NATUREL.

Dire que « 28 » est un multiple de « 7 » , c’est dire que  « 28 » est le produit de « 7 » par un entier ( qui est …..)                          ( 4 )

De même « 42 » est un multiple de « 7 » car    42   =  7    6     

De même « 0 » est un multiple de « 7 » car    0   =  7    0     

Compléter :

« 33 » est un multiple de « 11 »  car  «  33 = …11  3 ………….. »

« 48 » est un multiple de « 6 »  car  «  48  = …6  8 ….. »

« non multiple »

« 34 » n’est pas un multiple de « 4 » car «  4  8  =    32. » ,  « 4  9  =  36… »    et :      32  <  34 <  36

« 13 » n’est pas un multiple de « 3 » car «  3  4.=    12.. » ,  « 3  5….  =  15… »    et :      ……12…  <  13 <  …15….

Ecrire la liste des dix premiers multiples de « 7 » :  0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ;..

On passe d’un multiple de « 7 » au multiple suivant en ajoutant ………… « 7 »…………….. ;

Donc chaque multiple non nul de « 7 » est supérieur ou égal à « 7 ».

D’une manière générale ,

On retiendra :

On appelle « multiple » d’un entier naturel « a » tout entier obtenu en multipliant « a » par un entier naturel.

Tout multiple non nul d’un entier « a » est supérieur ou égal à « a ».

Série  1  d’exercices : Dites en l’expliquant si les phrases suivantes sont vraies « oui » ou « non »

Rayer la mention inutile

Justification :

« 56 » est multiple de  «  8 »     

« oui » ou « non »

Car

« 32  » est multiple de  « 6 »

« oui » ou « non »

Car

«  48 » est multiple de  « 4 »

« oui » ou « non »

Car

« 0  » est multiple de  « 13 »

« oui » ou « non »

Car

« 7  » est multiple de  « 7  »

« oui » ou « non »

Car

«  5 » est multiple de  « 0 »

« oui » ou « non »

Car

« 1  » est multiple de  « 23 »

« oui » ou « non »

Car

« 11  » est multiple de  « 11 »

« oui » ou « non »

Car

« 15 » est multiple de  « 1 »

« oui » ou « non »

Car

Série  2  d’exercices :

a) Ecrire la liste des multiples de « 4 » inférieurs à 49

0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48

b) Ecrire la liste des multiples de « 6 » inférieurs à 30.

0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48

 c) Ecrire la liste des entiers multiples  de « 4 »   et  « 6 » et inférieurs à « 50 »

Multiple de « 4 »  <  50 :  0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48

Multiple de « 6 »  <  50 :  0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48

Donc : les   multiples de « 4 »  et  multiples de « 6 » : sont :      0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48

On dit que ces entiers sont les communs multiples de  « 4 » et « 6 » inférieurs à « 50 »

Vous constatez que ces entiers sont les multiples de «  12 »  inférieurs à « 50 »

2°)  DIVISEURS   D’UN ENTIER NATUREL.

Dire que « 28 » est divisible par « 7 »  c’est  dire que dans la division de « 28 » par « 7 » le reste est égal à «  zéro »

On dit parfois que la division « tombe juste »

On dit que « 7 » est un diviseur de « 28 »  ou que « 7 divise 28 »

On peut écrire  alors :  «  27 : 8  = ………… » ….  Or ,  « 28 : 7  = 4 »  signifie que  «  28 =  7   4 »

Donc « 28 est divisible par 7 » signifie que  «  28 est un multiple de 7 »

Conséquence : Tout diviseur d’un entier « a » non nul est inférieur ou égal à « a ».

On vous donne deux nombres « 54 » et « 9 » on vous demande de compléter les 4 assertions  suivantes :

…54..est  multiple  de …9….

…9…..est  diviseur   de …54….

…54 ..est  divisible  par  ……9…….

…9…..divise  ……54….

Série  1  d’exercices :

Compléter les phrases en utilisant convenablement les mots « diviseur »  ou « multiple »

« 52 »  est

multiple

de « 13 »

« 17 » a pour

multiple

«  170 »

« 32 » a pour  

diviseur

«  4 »

« 6 »  est

diviseur

de « 24 »

« 5 » a pour  

multiple

«  20 »

« 14 » a pour

diviseur

«  2 »

« 3 »  est

diviseur

de « 21 »

« 77 »  est

multiple

de « 11 »

Série 2 :

Exercice 1 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 42 »

    « 2 ;3 ; 7 »

Exercice 2 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 36 »

Exercice 3 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 60 »

Exercice 4 :  Ecrire la liste des diviseurs de « 36 » et de « 60 »

On dit que ces entiers sont les communs diviseurs à la fois de « 36 » et de « 60 »

Vous constatez que ces entiers sont les diviseurs de ……………………………..

Série  3 : d’exercices :Parmi les phrases suivantes , certaines sont fausses, barrez les.

«  7 » est diviseur de « 42 »

« 36 » est diviseur de « 9 »

« 130 » est multiple de « 10

« 53 » a pour diviseur « 53 »

« 4 » a pour diviseur « 12 »

« 9 » est  multiple « 53 »

« 143 » est divisible par « 11 »

« 8 » a pour multiple « 0 »

« 1 » a pour multiple « 17 »

« 7 » divise « 43 »

« 17 » est divisible par « 0 »

« 91 » est multiple de « 13 »

« 84 » est multiple de « 13 »

«  0 » est diviseur de « 27»

« 5 » divise « 40 »

« 31 » est divisible par « 31 »

3 -  Divisibilité par « 9 » et par « 3 »

Reste de la division par « 9 » :

Considérons le nombre  «  7 358 » . IL est formé des chiffres «  7 ; 3 ; 5 ; 8 » ; on vous demande de compléter :   «  7 + 3 + 5 + 8 = …….. »  ( 23 )

On dit « abusivement » que « 23 » est la somme des chiffres de   «  7 358 ».

La somme des chiffres de « 23 »   est……………………………( 5 )…….

On écrira schématiquement :       «  7 358     23   5

Le nombre « 5 » ainsi obtenu est le reste de la division de «  7 358 »  par « 9 ». Vous pouvez le vérifier en posant la division.

Vous prouverez plus tard qu’il en est toujours ainsi quand on divise un entier par « 9 ».

Exemples :

« 468 575 »  « 35 »   »8 » ; donc en conclusion :  le reste de la division par « 9 » du nombre « 468 575 »  est « 8 ».

« 8 795 676 »  «    »     «    » «    » ; donc en conclusion :  le reste de la division du nombre « 8 795 676 » par « 9 »  est « ……….. »

« 5 148 »  « …. »   « …. » ; donc en conclusion :  le reste de la division par « 9 » du nombre « 5 148 »  est « ….. »

Remarque :

Le reste d’une division par « 9 » ne change pas si on retranche « 9 » au dividende.

Donc , quand on fait la « somme des chiffres » , on peut ne pas compter les « 9 ».

Exemples :

« 924 »   « 15 »  « 6 » .                            sans compter le « 9 » : « 924 »   « 2+ 4  »  « 6 » .

de même  « 5142 »    « ( 5+4) +1 + 2 »    «  9 + 3 »  « 3» .  

  471 328 »  «  4 + ( 7+ 2 )+  (1 +8)  + 3 » « 4 + 3 »   « 7 »

Exercices : Trouver de même le reste de la division par « 9 » de :

429 765      …………………………………………

173 862    ……………………………………..

48 316        ………………………………………….

256 217     …………………………………….

Divisibilité par « 9 » :

Un entier est divisible par « 9 » signifie que « le reste de la division par neuf est « 0 ».

Ainsi la connaissance du reste d la division par « 9 » d’un entier nous permet de savoir si cet entier est divisible ou non par « 9 » . On dira alors :

A retenir :

Un entier est divisible par « 9 » dans le seul cas où la somme de ses chiffres est divisible par « 9 ».

Exercices :  dire si les entiers suivants sont divisibles ou non par « 9 ».

 «  74 862 » ………………….

«  57 432 » : ……………………………

« 179 514 » : ……………………………..

Divisibilité par « 3» :

Vous prouverez plus tard que

A retenir :

Un entier est divisible par « 3 » dans le seul cas où la somme de ses chiffres est divisible par « 3 ».

Pour savoir si un entier est divisible par « 3 », on calcule la somme de ses chiffres comme on l’a fait pour la divisibilité par « 9 ».

Exemple :

« 7 386 512 »   5     donc l’entier  « 7 386 512 » ………………………………n’est pas divisible par  « 3 »

Exercices : dites si les entiers suivants sont divisibles par « 3 »

1 738 294………………….

47 502 …………………………

69 432 :………………………….

54 382 : …………………

Donnez des exemples  de nombres entiers divisibles par « 3 »

Remarque :

Un entier divisible par « 9 » est divisible par « 3 ».

Un entier divisible par « 3 »  est-il nécessairement divisible par « 9 » ?

Donnez des exemples :………………………………………………………………………………………………………………..

Critères de divisibilités .

Un critère de divisibilité  est un procédé rapide qui permet de savoir, sans faire la division , si un entier est divisible ou non par un autre.

Vous en connaissez  déjà certains.

Voir ci-dessous ceux que vous devez savoir :

Divisibilité  par :..

Condition nécessaire et suffisante

10 ; 100 ; 1 000 ;…

Si l’entier se termine par « 0 » ; « 00 » ; « 000 »

2

L’entier se termine par « 0 » ; « 2 » ; « 4 » ; « 6 » ; « 8 » ; ( S’il est « pair »)

5

L’entier se termine par « 0 » ou par « 5 »

9

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « 9 »

3

La « somme des chiffres » de l’entier est divisible par « 3 »

Donnez des exemples d’entiers divisibles par « 1 000 » :………………………………………………………………………

Donnez des exemples d’entiers divisibles par « 5 » :………………………………………………………………………

Exercice 1 :

Pour matérialiser le fait qu’un entier de la première entrée est divisible par un entier de la deuxième entrée, on place une croix dans la case correspondante.

P

R

E

M

I

E

R

E

E

N

T

R

E

E

Deuxième entrée

2

3

5

9

10

48

x

140

595

Exemple :

« ‘8 » est divisible par « 2 » , on amis une croix dans la case correspondant  au couple ( 48 ; 2)

Placer toutes les croix possibles.

162

543

3 420

149

2835

Exercice 2 :

Mettre un chiffre convenable à la place du point pour que le nombre correspondant soit divisible par « 9 » ( il y a peut-être plusieurs solutions ).

37 _ 1

5_43

78 _ 34

50 _ 72

31 _ 5

Mettre un chiffre convenable à la place du point pour que le nombre correspondant soit divisible par « 3 » ( il y a peut-être plusieurs solutions pour chaque cas ).

37 _ 1

5_43

78 _ 34

50 _ 72

31 _ 5

Exercice 3 :

Comment reconnaît-on qu’un entier est divisible par « 6 » ?

Mettre les chiffres convenables à la place des  points  pour que les entiers suivants soient divisibles par « 6 » . Donnez toutes les  solutions.

853 _

372 _

524 _

Exercice 4 :Comment reconnaît-on qu’un entier est divisible par « 45 » ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Donnez 2 exemples ( ayant au moins 4 chiffres ) ……………………………………………………………………………

Exercice 5 :

Mettre les chiffres convenables à la place des points pour que  l’entier  «  53 _ 7 » soit divisible à la fois  par « 5 » et par « 3 ». Donnez toutes les solutions.

wr

6 – 12 – 2012.