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PARTIE 1 |
CORRIGE des
Travaux auto - formatifs sur LE
NOMBRE D’OR |
TRAVAIL
PERSONNEL : De ces travaux , un devoir peut être
donné : les exigences et les difficultés à résoudre sont fonction du
niveau des objectifs à atteindre.(pré défini par le programme)
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Questionnaire 1
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Questionnaire 2
Activité 1 ; activité
2 ; activité 3 A et activité 3B
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(@) |
A) Partage d’un segment dans la divine
proportion: |
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Activité 4 ;
activité 5 ; activité 6 ;
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B) Construction
d’un rectangle à partir des segments |
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-
calcul : activité 7 activité 8
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C ) Construction
d’un rectangle à partir d’un carré. |
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Activité 9
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Activité 10 ; activité
11
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Activité 12
Activité 13
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PARTIE
2 |
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Questionnaire N°
3
Activité 14
SUITE à donner à ce cours: Pour donner un prolongement et assurer un travail
en interdisciplinarité, en Art appliqué, on devra traiter de la « composition selon le nombre
d’or ».
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QUESTIONNAIRE 1 :
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Le symbole @ signifie qu’ il existe un lien |
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1°) Qui est « Vitruve » ( quelle période) ?
Architecte romain Vitruve
2°)
donner la citation de « Vitruve » concernant l’obtention du « nombre d’or »:
« Il y a de la petite
partie à la grande le même rapport que de la grande au tout »
3°) de quoi parle
- t- il ? du partage asymétrique des longueurs d’une figure dont le
rapport de dimensions est établi selon le « nombre d’or ».
4°) de quelle façon a - t - on découvert le nombre d’or ?
Découvert d’une façon
empirique, dans l’architecture et dans la peinture,
5°)
Qui a attribué les propriétés au
nombre d’or ?
ce sont les Grecs avec Pythagore ( v. 570-V 480 av. J.- C) qui
ont attribué au nombre d’or ses propriétés mathématiques.
6°) A partir de quel événement a -t - on fait
l’usage de la division au nombre d’or ?( à quelle période ? )
Dès la parution du
traité d’ Euclide ( III e siècle av. J.-C.) .
7°) que précise t - il ? :il
indique comment on procède pour obtenir
le nombre d’or par tracé au compas.
8°) A quelles figures géométriques
lie - t- on le nombre d’or ?:
Le nombre d’or est
notamment lié (@) au pentagone régulier ainsi qu’à
divers autres (@) polygones réguliers et (@) polyèdres.
9°)
Rechercher les définitions :
de
« pentagone » ; « polygones réguliers » ;
« polyèdres » ; Rechercher les figures ou autres dessins.
10°)
Compléter les phrases :
Empreint de mystère, objet de culte
tantôt religieux , tantôt magique , le nombre d’or
influence la vision occidentale de l’harmonie.
Chez les Grecs ,
avec le développement de la géométrie , la secte secrète des pythagoriciens en
avait fait un symbole d’ harmonie universelle , de vie , d’amour et de beauté. A la renaissance
Architectes , peintres et sculpteurs cherchant à renouer avec l’ idéal antique
se sont réclamés de la doctrine platoniciennes
des corps cosmiques , les cinq polyèdres réguliers
, et on fait du nombre d’or , « la divine
proportion », un modèle de perfection
esthétique et philosophique.
Le nombre d’or correspond à une
proportion particulièrement esthétique
appelée « divine proportion » ;
il tient toujours une place importante dans le monde des arts et de
l’architecture.
11 °) Quelle est la figure
géométrique qui permet d’approcher et de
comprendre la « divine
proportion » ?
C’est le rectangle d’or , par sa
forme simple, qui permet d’approcher et de comprendre une construction établie
selon la « divine proportion ».
12 °) A quel
format des « peintres correspond -
t-il ?
Il correspond à la
dimension du format « marine » des peintres.
13°) Trouver des professions ou
activités où l’on utilise le nombre
d’or ?
le nombre d’or est
utilisé par les : architectes , artistes , concepteurs , publicistes , ……
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QUESTIONNAIRE 2 :
A)
Recherche du nombre d’or à partir de la définition :
1°) Par quelle lettre désigne - t - on le nombre d’or , comment la note - t -on
?
Par la lettre grecque
« phi » notée : 
2°) Donner la définition du nombre
d’or :
C’est le partage d’une
longueur en deux parties inégales, dans lequel le rapport de la grande partie
au tout est égal au rapport de la plus grande partie à la plus petite.
3°) Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce
segment : établir la relation qui permet d’obtenir le nombre d’or :
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Soit le segment de
droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la
relation suivante : |
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4°) Comment s’appelle cette relation ? une proportion.
5°) A quelles fractions peut
approché ce rapport ? Les fractions 
ou 
approchent ce
rapport.
Activités : niveau IV (dont : Bac. Prof)
Recherche du nombre d’or :
On prend appui sur la construction
de la « divine proportion » :
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La distance AB entre les pieds et
la tête de l’homme présentant les mensurations idéales et dessiné par Léonard
de Vinci, est partagée par le nombril « M » dans une proportion
correspondant au nombre d’or. La construction de la
« divine proportion » prend appui sur le triangle rectangle
ABC rectangle en « B » tel
que : BC = Sur le dessin ci-contre , sont représentés des rectangles dont le rapport
entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or ; de tels
rectangles sont appelés « rectangles d’or » |
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1°)
détermination par le tracé de la
position du point « M » sur la segment AB de telle sorte que :
Tracer un triangle rectangle semblable
à celui de la figure « ABC »,
puis, en utilisant le principe de construction indiqué sur celle - ci, placer
les points « M’ » et M » . En déduire
la valeur approximative du nombre d’or.
Activité 1 : Relever les longueurs des segments
AB ; AC ; AM ; AM ’
et calculer le rapport 
et le rapport 
;le rapport 
et 
; comparer les
résultats et conclure que :. Les rapports
sont égaux
Activité 2 :
Après avoir tracé un triangle ABC , rectangle en « B »
- On note AB = a
- On demande : Calculer AC² ; puis exprimer AC en fonction de « a » :
AC² = ( a² + (
) ² ) = a² + 
= 
AC = 
= 
- On demande : En déduire
l’expression de « A M’ »
et « AM » en fonction de « a ».
AM’ = 
- ou
= 
= AM ;
AM = 
4. On demande Calculer le rapport et l’on montre que le
nombre d’or est :
ou soit ≈ 1,618
= 
= 
= 
=
= 
=
=
Conclusion: = =
Activité 3 :
A)
Rechercher l’équation permettant de
calculer le nombre d’or par la résolution d’une équation du second degré.
( voir le triangle ABC sur le dessin de Vinci)
On donne : AB = a
et = x
a) Exprimer AM en fonction de « a » et
« x ». : puisque 
donc 
b) En utilisant la relation : 
on montrer que
« a² - 
» (1)
Il faut trouver MB = AB - AM = a -
on remplace
« AB » ; « AM » et « MB » dans le
relation
on obtient : 
; en faisant le produit en croix : a (a - )= ()² (2)
soit : en développant (2) on
obtient la relation (1) :
a (a - )= ()² = a² - (3)
c) En déduire l’équation du second degré
permettant de calculer le nombre d’or et la résoudre.
1°) Réduire la relation précédente (3) au même
dénominateur : 
= 0
(@ info + »on chasse les dénominateur »++) (d’après
un théorème sur les égalités :cela revient à multiplier tous les termes
par x² )
On obtient
l’équation : a²
x² - a² x - a² = 0 ;
2°) On factorise : a² (x² - x -1) = 0
3°) Il faut
résoudre l’équation « x² - x - 1 » , une solution de cette équation est le nombre d ‘or. (On doit résoudre une équation du
deuxième degré).
4°) Résoudre l’équation : x² - x -1
(c’est
une activité de niveau (Bac. Prof) ;pour cela Il est évident qu’il
faut savoir résoudre algébriquement les équations du second degré .
Résolution :
Δ = b²
- 4ac ; (-1)² - 4 fois (+1)
fois (-1) = 1 + 4 = 5
X’ = 
soit x ‘ =
et x’’= 
soit x’’=
On retiendra la solution
« positive » : que l’on
appelle : phi et que l’on note :
B) Résoudre graphiquement l’ équation « y
= x² - x -1 » , situer sur la courbe
position du nombre d’or.
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construire la représentation
graphique de la fonction : f : x x² - x -1 et en déduire la valeur
du nombre d’or. (l’utilisation d’une calculatrice graphique est conseillée) Voir le tracé ci contre : Le point
« x » = 1,618 pour y= 0 est une des solutions de
l’équation ; la valeur négative n’est pas retenue. |
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.
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III)
APPLICATIONS : |
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A)
Partage d’un segment dans la divine proportion: |
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Soit le segment de droite AB et un
point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation
suivante : |
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Les fractions ou approchent ce rapport. On prendra
= 1,618
Activité 4 : Calculer la longueur totale du
segment connaissant la plus petite dimension du segment :
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Soit MB = 10 cm ; calculer AB Suivant la formule
ci dessus : : AM = 10 × 1,618 = 16,18 Longueur totale du
segment AB : AB = AM + MB = 16,18 +
10 = 26,18 cm |
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Activité 5 : Calculer la longueur totale du
segment connaissant la plus grande dimension du segment :
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Soit AM = 10 cm , calculer AB Suivant la formule
ci dessus : : MB = 10 / 1,618 = 8,85 cm Longueur totale du
segment AB : AB = AM + MB = 10+
8,85 = 18,85 cm |
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.
Activité 6 :Diviser , par tracé , un segment
AB en deux parties , dans le
rapport : ; Avec un compas .
1-
Tracer un segment AB
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2- Tracer la
perpendiculaire BC de longueur AB à partir de « B » |
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3 - Diviser la droite BC
en deux parties égales au compas. Le point O est le point central. |
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4 - Tracer à partir de O
un circonférence de diamètre BC. |
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5 - Tracer à partir de A
un arc tangent extérieurement à la circonférence de centre O qui la touche en
« M’ » et qui coupe la droite AB en « M » |
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6 - Le rapport obtenu
est : |
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B )Construction
d’un rectangle à partir des segments |
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Pour construire un rectangle
d’or la méthode est la même : le
petit côté est dans le rapport
(phi) avec le grand côté. On peut
toujours vérifier les calculs en se servant du rapport approximatif 5/8 ou 13 / 21.
(@ Voir tracé d ‘un rectangle)
Activité 7 : On
donne la longueur du petit côté d’un rectangle : 12 cm ; tracer le rectangle dans le format
marine. : Format : N°
1 12 x 22 cm
Activité 8 On donne la longueur du grand
côté d’un rectangle : 27 cm ;
tracer le rectangle dans le format marine. : Format : N° 2 27x
22 cm
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C)
Construction d’un rectangle à partir du carrée |
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Activité 9: Soit un carré de 9 cm de côté ,
tracer le rectangle d’or à partir de ce carré .
Procédure :
1- tracer un
carré
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2- Diviser la base du
carré en deux parties égales. |
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3- Avec le compas,
tracer à partir de « M » un arc de cercle qui passe par
« C » |
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4-Du point
d’intersection de l’arc de cercle avec le prolongement de la base
« AB », « N » on trace la perpendiculaire à
« AB ». Elle coupera le prolongement du sommet du carré en
« N’ » |
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5 -La relation obtenue
sera : AN / AB = ? |
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Activité 10:Sur une feuille A3 : tracer le rectangle d’or ABCD :
22 x 12 cm ; Agrandir ce rectangle , en
vue d’obtenir un autre rectangle d’or.
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1 -Tracer un rectangle
ABCD qui soit dans le rapport du nombre d’or : |
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2 -A
partir de AB tracer un carré
AFEB 3- |
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Activité 11 - On trace un rectangle ABCD qui est dans un rapport de « phi » : 22 x 12 cm - tracer à l’intérieur de ce rectangle un autre
rectangle d’or . |
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||
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@info |
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Activité 12: Sur une feuille de format A4 ; centrer un rectangle d’or de 4,6 x 2,7
cm, à partir de ce rectangle tracer une
spirale harmonique. La plus grande possible.
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On se servira de
l’agrandissement du « rectangle d’or » pour tracer cette spirale
particulière. Il faut faire partir la ligne courbe d’un premier carré inscrit
dans un rectangle d’or. Elle doit toucher trois coins de ce carré et un coin
du rectangle. Puis on agrandit la spirale par le tracé d’un carré d’agrandissement
à partir de la plus grande dimension et ainsi de suite. |
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Activité 13: tracer un pentagone convexe , ( diamètre AB = 10 cm) et a partir du même tracé
construire le pentagone étoilé . (noter par une lettre
chaque sommet et établir un rapport qui vérifie que «les rapports des
côtés des deux pentagones est égal à « phi » ».
Construction au compas :
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1- tracer une circonférence dont
le centre est O et le diamètre AB |
2- A
partir de O, en se servant d’une équerre, tracer une perpendiculaire à AB qui
coupe la circonférence en « D » |
3- Avec le compas diviser le rayon
OB en deux parties égales : ON = OB |
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4 - Mesurer au compas la longueur
ND et , en partant de « N » tracer un arc
de cercle qui viendra couper « AO » en « M ». |
5- Mesurer la distance
« MD » au compas et reporter cette longueur sur la circonférence. 6 - En réunissant les points
obtenus par des cordes, on reconstitue le pentagone convexe. |
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7 - Pour obtenir le célèbre pentagone étoilé, on relie entre eux tous les trois
points. On a aussi construit un second
pentagone inversé. |
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8- Le rapport des côtés des deux
pentagones est égal à « phi ». (CQFD) * On peut toujours le vérifier par
le calcul, on prend la mesure des côtés consécutifs et on fait le rapport. |
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PARTIE 2 |
QUESTIONNAIRE N°3 :
1°) Compléter la phrase
suivante : le nombre d’or est en
mathématique un nombre irrationnel, c’est - à - dire un nombre irréductible à un
rapport de nombres entiers ou à une fraction.
2°) Qu’appelle -
t- on : LA DIVISION en
« MOYENNE » ?
La moyenne raison est le rapport entre la petite et la grande dimension
3°) Qu’appelle -
t- on : « EXTREME »
RAISON. ?
L’extrême raison est le rapport entre la grande dimension et la dimension
totale
4°) Qu’appelle -
t- on : « section dorée » ?
La moyenne raison et L’extrême raison permettent d’obtenir la section dorée.
5°) Quel point on en commun LA
DIVISION en « MOYENNE » et
« EXTREME » RAISON.
Ces deux termes du rapport
sont égaux entre eux et égaux au nombre d’or
..
6°) Avec quels instruments peut - on faire la division en moyenne et extrême
raison ?
. Le compas,
la règle et l’équerre sont les instruments
avec lesquels on peut faire la division en moyenne et extrême raison
7°) Quel autre outil peut -on utilisé , comment le nomme t - on ; précisez?
Le compas de proportion de
Galilée
on peut utiliser le
compas de proportion pour calculer le nombre d’or. Ce compas est constitué de
deux règles graduées , articulées à une de leurs
extrémités. L’ouverture du compas placé sur une longueur donnée, les
graduations indiquent la réduction ou l’agrandissement proportionnel
correspondant.
► il
est établi une fois pour toutes que = 1,618
►Il s’agit toujours
d’un partage asymétrique d’une dimension en deux parties :une moyenne et une petite dimension.
Activité 14: :
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Travail de recherche : Rechercher une reproduction d’une oeuvre
(peinture ou photographie d’un monument architectural,.. ; )
« Composer selon le nombre d’or ». Le montrer sur la reproduction
et expliquer. |
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