2003 -   2004 -

Mathématiques : découverte du nombre d’or  et calculs appliqués

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LE  NOMBRE D'OR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ travaux auto - formatifs :niveau V ; CAP  BEP ….

Doc. Warmé .LP ameublement.

   LE NOMBRE D’OR 

@ travaux auto - formatifs :niveau IV ; bac ….

 

« Il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout » commente l’architecte romain Vitruve en parlant  du partage asymétrique des longueurs d’une figure dont le rapport de dimension est établi selon le « nombre d’or ».

 SOMMAIRE

Partie 1

Le NOMBRE D’OR  (1/2)

        1 / 2

 

 

I)  Historique et définitions.

ٱ

- Définitions des MOTS : « divine proportion » ; « le rectangle d’or » , « format « marine » des peintres ».

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

ٱ

             A) Recherche du nombre d’or à partir de la définition

             B ) Recherche du nombre d’or par le calcul :

 

III ) APPLICATIONS :

ٱ

 

(@)

A)  Partage d’un segment dans la divine proportion:

ٱ

 

 

B) Construction d’un rectangle à partir des segments

ٱ

-        a) Par le calcul 

-        b)  Par le tracé.

 

C ) Construction d’un rectangle à partir d’un carré.

ٱ

 

@info

IV )   AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

ٱ

       -  a)  Pour réduire ;

      -   b )  pour agrandir.

 

V )  LA SPIRALE HARMONIQUE.

ٱ

 

@info

 VI ) LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.

@inٱfo

        -   Construction au compas 

PARTIE 2

LE NOMBRE D’OR  ( 2 / 2 )

2/2

            A )  Compas de proportion de Galilée

            B ) LA DIVISION  en « MOYENNE » ET « EXTREME » RAISON.

SUITE : Pour donner un prolongement et assurer un travail en interdisciplinarité, en Art appliqué, on devra traiter de  la « composition selon le nombre d’or ».

 

Le symbole @ signifie qu’ il existe un lien 

 

 

« Il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout » commente l’architecte romain Vitruve en parlant  du partage asymétrique des longueurs d’une figure dont le rapport de dimension est établi selon le « nombre d’or ».

 

I)  Historique et définitions.

ٱ

 

Découvert d’une façon empirique, dans l’architecture et dans la peinture, ce sont les Grecs avec Pythagore ( v. 570-V 480 av. J.- C) qui ont attribué au nombre d’or ses propriétés mathématiques.

L’usage de la division au nombre d’or se répand dès le traité d’ Euclide  ( III e  siècle av. J.-C.)  qui indique son tracé au compas.

 

Le nombre d’or est notamment lié (@) au pentagone régulier ainsi qu’à divers autres (@) polygones et   (@) polyèdres.

 

Empreint de mystère, objet de culte tantôt religieux , tantôt magique , le nombre d’or influence la vision occidentale de l’harmonie. Chez les Grecs , avec le développement de la géométrie , la secte secrète des pythagoriciens en avait fait un symbole d’ harmonie universelle , de vie , d’amour et de beauté. A la renaissance , architectes , peintres et sculpteurs cherchant à renouer avec  l’ idéal antique se sont réclamés de la doctrine platoniciennes des corps cosmiques , les cinq polyèdres réguliers , et on fait du nombre d’or , « la divine proportion », un modèle de perfection esthétique et philosophique.

 

Le nombre d’or correspond à une proportion particulièrement esthétique  appelée « divine proportion » ; il tient toujours une place importante dans le monde des arts et de l’architecture.

C’est le rectangle d’or , par sa forme simple, qui permet d’approcher et de comprendre une construction établie selon la « divine proportion ».

Il correspond à la dimension du format « marine » des peintres. ( @ Info +)

 

 

 

 

 

 

 

Aujourd’hui ;, d’autre nombres ((@) ;   (@) e ) présentent un intérêt mathématique plus important , mais le nombre d’or ne continue  pas moins d’inspirer , architectes , artistes , concepteur , publicistes , ……

 

 

or2

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

 

A)  Recherche du nombre d’or à partir de la définition :

1° Définition :

   Le nombre d’or correspond à un rapport de grandeurs, entre elles et par rapport au tout.

 

C’est le partage d’une longueur en deux parties inégales, dans lequel le rapport de la grande partie au tout est égal au rapport de la plus grande partie à la plus petite.

 

Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation suivante :

orsegm

 

Les fractions      ou        approchent ce rapport.


Activité : niveau  IV (Bac. Prof)   - Recherche du nombre d’or par le calcul :   A partir de la  Construction de la divine proportion :

La distance AB entre les pieds et la tête de l’homme présentant les mensurations idéales et dessiné par Léonard de Vinci, est partagée par le nombril « M » dans une proportion correspondant au nombre d’or.

La construction de la « divine proportion » prend appui sur le triangle rectangle ABC  rectangle en « B » tel que :

BC = .

 

Sur le dessin ci-contre , sont représentés des rectangles dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or ; de tels rectangles sont appelés  « rectangles d’or »

or1

Tracer un rectangle semblable à celui de la figure, puis, en utilisant le principe de construction indiqué sur celle - ci , placer les points « M » et M’ » . En déduire la valeur approximative du nombre d’or. 

1ère Façon :     Procédure à appliquer pour obtenir par le calcul du nombre d’or :

Après avoir tracé le triangle ABC , rectangle en « B »

-        On note AB = a

-        On exprime AC en fonction de « a ».

-        On déduit l’expression  de « AM’ » et « AM » en fonction de « a ».

-       On calcule le rapport  et l’on montre que le nombre d’or est :

 

 

 

 

 

 

soit       1,618

 

 

  

( @  INFO sur les calculs)

 

 

 

 

 

2ème Façon :  On  recherche de l’équation permettant de calculer le nombre d’or :

 

 On note  AB = a  et   = x

 

-        On exprime  AM en fonction de « a » et « x ».

-        En utilisant la relation :   on montre que    -

 

 

-        On en déduit l’équation permettant de calculer le nombre d ‘or : x² - x - 1

 

 

 ( l’équation obtenue est une équation du deuxième  degré).

 

( @  INFO sur les calculs)

 

 

-        On construira la représentation graphique de la fonction  (@ info):

-         f : x         x² - x -1 et en déduire la valeur du nombre d’or (l’utilisation d’une calculatrice graphique est conseillée)

 

Voir le tracé ci contre :

Le point  « x » =  1,618  pour y= 0 est une des solutions de l’équation ; la valeur négative n’est pas retenue.

 

 

 

 

 

 

 

( @  INFO sur les calculs)

Il est évident qu’il faut savoir résoudre algébriquement les équations du second degré pour trouver un résultat.

 


 

 

III) APPLICATIONS :

 

 

(@)proportion

A) Partage d’un segment dans la divine proportion:

 

F    lire « phi »

Le nombre d’or correspond à un rapport de grandeurs, entre elles et par rapport au tout.

 

C’est le partage d’une longueur en deux parties inégales, dans lequel le rapport de la grande partie au tout est égal au rapport de la plus grande partie à la plus petite.

 

Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation suivante :

orsegm

 

Les fractions      ou        approchent ce rapport.   On prendra   = 1,618

 

Exemple 1 : Calcul de la longueur totale du segment connaissant la plus petite dimension du segment :

Soit MB  = 10 cm

 Suivant la formule ci dessus :

 

:  = = 1,618

 

AM =  10 × 1,618 = 16,18

Longueur totale du segment AB :

AB = AM + MB = 16,18 + 10 = 26,18 cm

 

orsegm

Exemple 2 : Calcul de la longueur totale du segment connaissant la plus grande dimension du segment :

Soit AM  = 10 cm

 Suivant la formule ci dessus :

 

:  = = 1,618

 

MB =  10 / 1,618 = 8,85 cm

Longueur totale du segment AB :

AB = AM + MB = 10+ 8,85  = 18,85 cm

orsegm

.

Division d’un segment en deux parties , dans le rapport :

 

Avec un compas , et soit un segment AB

1-    Tracer la perpendiculaire BC de longueur AB à partir de « B »

2-     

or9

2 - Diviser la droite BC en deux parties égales au compas. Le point O est le point central.

or8

 

 

3-Tracer à partir de O un circonférence de diamètre BC.

or7

3-    Tracer à partir de A un arc tangent extérieurement à la circonférence de centre O qui la touche en « M’ » et qui coupe la droite AB en « M »

4-    or6

5- Le rapport obtenu est

                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B )Construction d’un rectangle à partir des segments

 

 

Pour construire un rectangle d’or  la méthode est la même : le petit côté est dans le rapport  (phi)  avec le grand côté. On peut toujours vérifier les calculs en se servant du rapport approximatif 8/5  ou  21/13

 

Procédure :

1°) Tracer un segment de longueur « a » ;

2°)  calculer la longueur de la largeur ( a x 8/5  =  8 a / 5 ) ;

3°) tracer  à l’extrémité du segment tracé un segment perpendiculaire de longueur ( 8a / 5 ) ;

 4°)  terminer le rectangle en traçant des parallèles aux côtés tracés.

 

 

 

 

C) Construction d’un rectangle à partir du carrée

 

Procédure :

1-  tracer un  carré

2- Diviser la base du carré en deux parties égales.

or3

3- Avec le compas, tracer à partir de « M » un arc de cercle qui passe par « C »

or4

 

 

4-Du point d’intersection de l’arc de cercle avec le prolongement de la base « AB », « N » on trace la perpendiculaire à « AB ». Elle coupera le prolongement du sommet du carré en « N’ »

or5

5 -La relation obtenue sera :                                                   

 

 

@info

IV )  AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

 

Pour agrandir :

 

Pour réduire :

- On trace un rectangle ABCD qui est dans un rapport de  « phi »

- On trace un carré de côté AD à l’intérieur de ce rectangle.

Remarque : Le rectangle ECFB est lui aussi dans le rapport « phi » ; on peut ainsi de suite réduire dans le rapport « phi ».

orr5

orr4

orr3

 

@info

V) LA SPIRALE HARMONIQUE.

 

 

On se servira de l’agrandissement du « rectangle d’or » pour tracer cette spirale particulière. Il faut faire partir la ligne courbe d’un premier carré inscrit dans un rectangle d’or. Elle doit toucher trois coins de ce carré et un coin du rectangle. Puis on agrandit la spirale par le tracé d’un carré d’agrandissement à partir de la plus grande dimension et ainsi de suite.

orSpi

 

@info

VI )  LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.

@info

On remarquera  que les rapports des côtés des deux pentagones est égal à « phi ».

 

Construction au compas :

1- tracer une circonférence dont le centre est O et le diamètre AB

2- A partir de O, en se servant d’une équerre, tracer une perpendiculaire à AB qui coupe la circonférence en « D »

3- Avec le compas diviser le rayon OB en deux parties égales : ON = OB

orp6

orp5

orp4

 

4 - Mesurer au compas la longueur ND et , en partant de « N » tracer un arc de cercle qui viendra couper « AO » en « M ».

5- Mesurer la distance « MD » au compas et reporter cette longueur sur la circonférence.

6 - En réunissant les points obtenus par des cordes, on reconstitue le pentagone convexe.

orp3

orp2

7 - Pour obtenir le célèbre pentagone étoilé, on relie entre eux tous les trois points. On a ainsi construit un second pentagone inversé.

orp1

8- Le rapport des côtés des deux pentagones est égal à « phi ».

 

( voir : @les rosaces )

 

 

 

 

LE NOMBRE D’OR

PARTIE 2

 

 

Compas de proportion de Galilée

orcomp

 

Si le nombre d’or est très célèbre, c’est surtout parce qu’il entre dans la construction de certains polyèdres réguliers qui ont eu à certains moments de l’histoire une valeur mystique ou symbolique à cause de leurs propriétés  esthétiques ou géométriques : les décagones et les pentagones. Sans doute la division  en dix et en cinq tronçons égaux s’est - elle imposée par l’observation de la nature. Dans le règne végétal, par exemple, se retrouve très fréquemment la répartition des pétales d’une fleur par cinq, dont les extrémités forment entre elles un pentagone régulier.

 

Dans le règne animal, l’oursin est un pentagone étoilé ;l’observation de mains de l’homme , formées de cinq doigts, a certainement eu aussi une influence sur l’importance  accordée à ce nombre. S’ y sont ajoutées des découvertes mathématiques et géométriques qui ont fait de ces figures des sortes de constructions parfaites et mystérieuses. Le pentagone étoilé , figure très répandues dans les architectures des cathédrales et les signes et emblèmes de certains groupes ou sectes , en témoigne.

Il est pratiquement certain que le nombre d’or a été d’abord découvert par de nombreux tracés et divisions de figures et que l’on a déduit des tâtonnements géométriques le caractère mathématique du rapport de proportions du nombre d’or.

Car le nombre d’or est en mathématique un nombre irrationnel parmi d’autres , c’est - à - dire un nombre irréductible à un rapport de nombres entiers ou à une fraction. On nomme :  ; 

Ce nombre qui a des propriétés mathématiques et géométriques spécifiques.

 

Certains artistes ont eu recours directement au nombre d’or dans la composition de leurs œuvres : en poésie , en musique et dans les beaux arts , l’associant ou non à des préoccupations  religieuses ou philosophiques .

 

Les exemples de constructions à partir du nombre d’or vu précédemment  sont destinées aux peintres.

 

 

LA DIVISION  en « MOYENNE » ET « EXTREME » RAISON.

 

C’est ce que l’on appelle : la « section dorée » :

 La moyenne raison est le rapport entre la petite  et la grande dimension. L’extrême raison est le rapport entre la grande dimension et la dimension totale.

 

Ces deux termes du rapport sont égaux entre eux et égaux au nombre d’or.

 

orcompro

Le compas, la règle et l’équerre sont les instruments  avec lesquels on peut faire la division en moyenne et extrême raison. Plus précisément, on se servait du compas de proportion pour calculer le nombre d’or. Ce compas est constitué de deux règles graduées , articulées à une de leurs extrémités. L’ouverture du compas placé sur une longueur donnée, les graduations indiquent la réduction ou l’agrandissement proportionnel correspondant.

 

► il est établi une fois pour toutes que  = 1,618

►Il s’agit toujours d’un partage asymétrique d’une dimension en deux parties :une moyenne et une petite dimension.

 

NOTA :    il  faudra , à partir de ces données , dans le cadre d’un travail artistique apprendre à « composer selon le nombre d’or ».

Voir aussi  les formats « marines »