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Lecture :  Les Statistiques  info

Les intervalles

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

1°) Informations générales.

Index        

Objectif précédent :

Enquête et sondage.

 

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1°) Terminologie

2°) Les séries

tableau               liste des objectifs

Doc. 2

 

DOSSIER :     « CLASSE » 

-          Constitution d’une classe , 

-        « mode » et « classe modale »     (ici : info plus)

-         Calcul : « valeur centrale d’une classe »,

-         Calcul : « classes et amplitude ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Devoir formatif.

 

 

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

COURS

 

Observation des faits ( exemple de dépouillement ).

 

Constitution  d’une classe ,

 

ENREGISTREMENT DES OBSERVATIONS et Exploitation et dépouillement des données : 

Exploitation et dépouillement des données : 

:

Supposons  qu’on doive définir une statistique portant sur les notes  de cent élèves à la suite d’un examen ;Les notes figurent dans le tableau ci – dessous et ont été distribuées au fur et à mesure de la correction.

La liste de ces notes   attribuées à chaque élève s’appelle « série statistique »

 

 

6

10

12

14

1

8

9

10

15

14

12

12

13

2

4

6

5

1

9

11

7

4

12

8

13

10

12

12

18

10

9

6

9

5

10

6

5

11

12

13

14

8

11

7

15

8

5

13

8

6

11

10

18

12

14

16

6

13

15

11

18

8

19

17

8

15

10

7

9

11

9

9

13

10

15

16

9

13

15

17

13

9

9

10

11

7

8

11

16

7

17

10

7

10

10

8

10

11

11

 

 

 

 

 

 

Ce tableau présente l’inconvénient d’être volumineux .On peut choisir d’effectuer un regroupement des valeurs de la variable (note) suivant 5 classes .

Pour cela on partage l’intervalle [ 0 ; 20] en 5 intervalles partiels comprenant chacun 4 notes sauf le dernier qui en contient cinq .

On obtient les classes suivantes : Ici :  SOS écriture normalisée

 

 

[  0 ; 4  [    groupant les  xi   tels que      0  £  xi  < 4

[  4 ; 8   [    groupant les  xi   tels que       4  £  xi  <  8

[  8 ; 12 [  groupant les  xi   tels que       8  £  xi  <  12

[  12  ; 16 [  groupant les  xi   tels que    12  £  xi  <  16

[  16  ; 20 ]  groupant les  xi   tels que   16  £  xi  £  20

 

 .Les valeurs  2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ,  sont appelées « valeurs centrales » des classes .

Dans ces conditions , le dépouillement se présente suivant le nouveau tableau suivant :

Classes des notes

Nombres d’élèves

 [  0  ; 4    [

  [  4 ; 8     [

                           [  8  ;  12 [  (classe modale)

    [  12  ; 16 [

     [  16  ; 20 [*

*remarquez que le crochet exclu la valeur 20

3

19

42

26

10

 

CLASSE :

« effectif » ; « effectif total » 

      

 Nous avons vu ci-dessus que  l'effectif total des éléments pris en compte sont regroupés par catégorie ou "classe".

                (les classes  (intervalles) sont imposées par le statisticien ) ;

 

Les classes n'ont pas obligatoirement la même amplitude.

L’ existence des valeurs entre  les bornes peuvent être différentes ; mais attention , lors de la représentation graphique appelée "histogramme" doit  respecter l'aire de référence .

Constitution d’une classe :

Lorsque  le caractère est quantitatif   ( mesurable )  ; on organise les "réponses" en classe de nombres ,C'est à dire  pour ce faire :

On prend l'ensemble des réponses: exemple :  les mesures des tailles des 30 individus recensés dans le désordre sont rangées (classées) par groupe (classe) ;et on les  regroupe par "Classe"

(les classes sont représentées par des "intervalles" ,un intervalle est un  segment de droite bornée  en géométrie )

Exemple les individus mesurant entre

158 et 162

constituent la classe 1

Exemple les individus mesurant entre

163 et 167

constituent la classe 2

Exemple les individus mesurant entre

168 et 172

constituent la classe 3

Exemple les individus mesurant entre

173 et 177

constituent la classe 4

Exemple les individus mesurant entre

178 et 182

constituent la classe 5

Exemple les individus mesurant entre

183 et 187

constituent la classe 6

Exemple les individus mesurant entre

188 et 192

constituent la classe 7

 

 

« Effectif » et « effectif total »

Se souvenir · chaque  classe possède son effectif… ( c’est le nombre d’individus qui entre dans la classe)   ……

·        Le   «  n i »  est  l’ effectif par classe.

 

 Dans un tableau on donne  L'  effectif par « classe »  (qui est un "sous- effectif" )  ou un effectif par « caractère » .  Cet effectif « par classe » ou « caractère » est noté par le  petit  " n " avec un indice d'ordre  : les   (n i ) 

·        La lettre «  N »   désigne  la somme des«  n i ».

·       ainsi  l' effectif total est la somme des éléments (n i )  qui sont inventoriés . Le symbole désignant l'effectif total est la lettre  " N "

 

 

Reprenons l’exemple ci-dessus : nous avons  7 classes. (chaque classe possède son effectif) 

 

L'effectif de la classe 1 est noté : n1

L'effectif de la classe 2 est noté :n2

L'effectif de la classe 3 est noté : n3

L'effectif de la classe 4 est noté : n4

L'effectif de la classe 5 est noté : n5

L'effectif de la classe 6 est noté :n6

L'effectif de la classe 7 est noté : n7

 

Nous pouvons calculer la somme des effectifs    en effectuant l’addition suivante  : n1+ n2+ n3+ n4+ n5+ n6+ n7

 

D'où l' égalité :                N = n1+ n2+ n3+ n4+ n5+ n6+ n7 

 

·        D'où la formule :

                         N  =     ;……  lire : l’effectif total est égal à la somme des «  n i ».

 

On dira que l'effectif total est égal à la somme des effectifs des classes données ( "i" désigne le nombre de classes")

 

Chiffres  d’ Affaire .  ( en milliers d’euros )

Effectifs :(  n i )

 

 

22 + 25 +90+33+24+6 =   200

 

(classe modale)

300 à moins  500

22

500 à moins  800

25

800 à moins  1 000

  90

1 000 à moins 1400

33

1 400 à moins  1500

24

1500 et +

  6

(la somme des (  n i ) :           N

            200

 

N  =   ainsi      N  =  200

 

 

« MODE »    et   « classe modale »    d’une série  statistique :

 

 

Par définition : Un mode d’une série statistique est une valeur du caractère correspondant au plus grand effectif ( ou à la plus grande fréquence.)

Notation : Mo

 

Vocabulaire   à connaître  :

On dit « mode » d’une série à variable discrète .

Et « classe   modale»  d’une série à variable continue …

               Généralement , les valeurs sont groupées en classe. La classe correspondant au plus grand effectif est appelée « classe modale ».

 

 

 

Chiffres  d’ Affaire .  ( en milliers d’euros )

Effectifs :(  n i )

L’effectif «  n 3 » de la classe «  x 3 » étant le plus grand .

La classe  [800 ; 1000  [  est appelée la « classe  modale » ;

 

22 + 25 +90+33+24+6 =   200

300 à moins  500

22

500 à moins  800

25

800 à moins  1 000

n 3  =  90

1 000 à moins 1400

33

1 400 à moins  1500

24

1500 et +

  6

(la somme des (  n i ) :           N

            200

 

 

Il faudrait étudier les 2 cas : les classes ont la même amplitude et les classes sont d’amplitude inégale.

 

Remarques :

pour tracer le polygone des effectifs  ou fréquences, il faudra rechercher pour chaque classe observée : « son centre de classe » .appelé aussi : « moyenne de centre de classe » ou « valeur centrale d’une classe ».

Dans le calcul de l’écart type  , on prendra la valeur centrale de chaque classe comme « x i »

« valeur centrale » d’une classe.

exemple

C.A.   .(milliers d’euros )

               

 

C.A.   .(milliers d’euros )    x i

Peut s’écrire

Centre de classe :  x i

 

300 à moins  500

 

[ 300 ; 500[

 

500 à moins  800

 

[ 500 ; 800[

( 500 + 800) /2 = 650

800 à moins  1 000

 

[ 800 ; 1000[

(800 + 1000) / 2 = 900 

1 000 à moins 1400

 

[ 1000 ; 1400[

( 1000 + 1400 ) /2 = 1200

1 400 à moins  1500

 

[ 1400 ; 1500[

(1400 + 1500) / 2 = 1450

1500 et +

 

????

Il faudra connaître le C.A. maxi

 

Dans le cas d’un regroupement en classes , la valeur centrale (  noté : x i ) de la variable statistique ewst égale à la demi somme des valeurs extrêmes de chaque classe. 

 

On se souviendra que :    dans les calculs de l’écart type on   admet que les valeurs observées sont celles du « centre de la classe ».

 

 

 

 

 


 

« Classe » et « amplitude »

L’amplitude  de classe est la distance entre les valeurs extrêmes de la classe.

On dit aussi : l’amplitude   d’une classe est la  valeur de l’intervalle compris entre les deux bornes de l’intervalle.

 

La représentation graphique des effectifs d’une variable continue ( organisation de « classe » pour ranger ces effectifs)  peut s’effectuer sous la forme d’un histogramme.

 

·        Pour respecter le principe de construction de l’histogramme, on devra veiller à vérifier que les intervalles  de toutes les classes sont égaux.

, On dit que les classes doivent avoir la même amplitude.

Exemples :le tableau 1  n’est pas exploitable ; le tableau 2  est exploitable.

Tableau 1

 

Les classes  sont d’amplitudes inégales

[ 300 ; 500[

.

500 – 300  = 200

Cette série ne sera pas exploitable pour tracer un histogramme. Il faudra repenser la distribution.    Voir « l’informaticien »

[ 500 ; 800[

800 – 500 = 300

[ 800 ; 1000[

1 000 – 800 =  200

[ 1000 ; 1400[

1400 – 1000 = 400

[ 1400 ; 1500[

1500 – 1400 = 100

 

 

 

 

 

 

Tableau 2 :

 

Les  classes sont d’égales amplitudes

[ 300 ; 500[

.

500 – 300 = 200

L’amplitude est de 200 .

 

Cette série est exploitable pour tracer un histogramme.

[ 500 ; 700[

700 – 500 = 200

[ 700 ; 900[

900 – 700 = 200

[ 900 ; 1100[

1100 – 900 = 200

[ 1100 ; 1300[

1300-1100= 200

[ 1300 ; 1500[

1500 – 1300 = 200

 

 

 

 

La valeur centrale  d’une classe :

 

Dans le cas d’un regroupement  en  classes , la valeur centrale ( notée :  xi ) de la variable statistique est égale à la demi- somme des valeurs extrêmes de chaque classe ;

Tableau 2 :

 

Valeurs centrales ( notée :  xi )  

[ 300 ; 500[

.

 

[ 500 ; 700[

[ 700 ; 900[

[ 900 ; 1100[

[ 1100 ; 1300[

[ 1300 ; 1500[

 

 

 

Cas général   d’une classe [  ai ; b i [  

 

1°)     L’amplitude  de la classe de rang « i »    est    égale  à :   b i -  ai 

 

2°)     La valeur centrale  xi   de la classe de rang  i  est égale  à  

 

 

 

 


 

 

 

 

Exemple de résolution de   PROBLEME :

 

  

      Nous relevons les tailles en cm de 30 individus adultes , pris au hasard. A chaque  individu correspondra une taille.

      Nous disposons  d'une distribution de la taille en fonction des individus.

     Nous dirons que la taille varie en fonction des individus.

     La taille , cette caractéristique de chaque individu est la variable ,( caractère )    et l' événement est  le couple  « taille individu » .

  

 Après « recensement   _ sondage »  (barrer un des mots )      des  variables  ( appelées aussi : ……caractère ……)   , nous obtenons le tableau de données suivant:

 

On nous donne le tableau suivant à remplir :

 

Tailles en  cm

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

nombre

1

0

0

1

0

1

1

2

0

0

0

Tailles en  cm

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

nombre

1

0

2

2

3

0

3

1

2

2

2

Tailles en  cm

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

nombre

1

0

1

2

1

0

0

0

0

1

0

   Nous constatons que certains événement se produisent 3 fois , deux fois , d'autres une fois et d'autres pas du tout. 

 

A partir de ces donnée nous décidons de regrouper ces tailles par classe  .   On décide de  regrouper  la taille des individus  «  en classe »  de 5 cm en 5 cm

 

Dans   1ère  classe on regroupe les tailles comprise entre 158 et 162 cm , puis la 2ème    celles des individus ayant entre 163 et 167 cm  , etc ; …nous obtenons le tableau suivant:

  Ensuite, nous « distribuons » les effectifs .

Nous obtenons le tableau intermédiaire   ci-dessous :

 

Valeurs extrêmes

158-162

163-167

168-172

173-177

178-182

183-187

188-190

Calcul, des Valeurs  centrales

(158 + 162) : 2

(163  + 167 ) : 2

(168 + 172) : 2

(173  + 177 ) : 2

(178 + 182) : 2

(183 + 187 ) : 2

(188 + 190) : 2

effectifs

1 + 1

1+1+2

1 + 2 + 2

3 + 3 + 1 +2

2 + 2 + 1 + 1

2+1

1

 

Soit le tableau  final :

 

Classe

[158-162[

[ 163-167 [

[ 168-172 [

[173-177 [

[ 178-182 [

[ 183-187[

[ 188-190[

Valeurs centrales

160

165

170

175

180

185

190

effectifs

2

4

5

9

6

3

1

 

Questions :

1°)  Quelle est la valeur  d’une classe . ?  5 cm

2°)  Comment a-t-on calculer les valeurs centrales ?   somme des valeurs extrêmes  divisée par 2

 3°) Q’appelle t- on « effectif » ?   le nombre de tailles par classe.

4°)   Combien y a – t- il de classes ?  7  classes