CAP

     DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Pourcentages   /  Objectif cours 47

Pré requis

Fractions équivalentes (égalité de deux fractions )

Multiplication de deux fractions

Multiplication d'une fraction  par un nombre

A propos de "a%"

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index         

Objectif précédent :

Le a%  

Objectif suivant :

Résumé sur les a%

tableau       187

 

DOSSIER :  Pourcentage :       DIMINUTION de a% 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                        

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

COURS :

 

 

 

 

 

Objectif :  Diminution en a%

 

INFO :              Définition de l ’ Objectif :  Savoir trouver la  Nouvelle  Grandeur  ( NG) d’une Grandeur  de Départ (GD) ayant subit une diminution de a% .

 

         ( Cas de la vie courante :   en période de solde , de promotion ou braderie , on peut lire  ,sur les étiquettes ou affiches,  2 prix  )

 

      Exemple         ici       -  4 0%  sur tout le magasin ;

 

 Sur  une affiche on peut lire  : 900 €  au lieu de 1200 

 

Y a t - il  « erreur » sur  l’affichage ?

Quel est le % réellement effectué   ?

 

 

les réponses seront données à la fin du cours !

 

 

Pour trouver la  « Nouvelle Grandeur »(prix après diminution) d’une « Grandeur  de Départ » (prix avant diminution)  ayant subit une diminution , il faut :           

n    que  la « Grandeur de départ » (prix avant diminution)  notée (GD) représente 100% de sa valeur de départ.

n    que la « diminution » (différence entre le prix avant diminution et le prix après diminution ) représente  « a% » de cette  « Grandeur de Départ » (prix avant diminution).

 

On peut ainsi conclure  que :

                   La  Nouvelle Grandeur (NG) est égale à 100 / 100  de la grandeur de départ  (GD) moins le « a % «  de cette Grandeur de Départ  ( GD) ..

 

Ce qui se traduit par l’égalité mathématique suivante :

 

(1)   NG  =  (100 / 100) GD  -  (a / 100)  GD

 

si l ’on pose  NG = y    ;  GD = x   ; on remplace  dans la relation (1)  :

 

                           

 

 

 

y  =  ()  x  -  () x

 

 

Nous remarquons que les deux termes  ()  x  et  () x

du second membre contiennent  comme « facteur commun » :  « x » ;(si pb  voir objectif :factdeve)

 

 

 

 

 

ce donne en factorisant :  y  =  x (-)

 

en regroupant les termes dans la parenthèse :         y  =  ( )  x

 

Traitement mathématique de l’équation :     y  =  ( )  x

 

(on appellera « traitement » les transformations possibles de l’égalité en vue de trouver « y » ; « a » ou « x ». )

se souvenir que :

 « y » est un élément de l’ensemble d’arrivée ; ( en économie on dira que c’est le prix à payer après réduction ).

 « a » est la valeur de l’échantillon pour cent éléments de l’ensemble de départ.

« x » est l’élément de l’ensemble de départ  (en économie ce serait le prix que l’on payerait avant (ou sans) réduction .

 

Premier calcul :rechercher la valeur après diminution :

 

 on utilise l’égalité :    y   =  ( )  x

 

On conclut que « le prix à payer après réduction » est de : ( )  x

 

 

Situation - problème  :Un objet était à vendre à 1200  ,on vous fait une remise de 25%.Quelle somme payerez vous ?

 

Résolution

Calcul direct :

1°) on pose : y   =  ( )  x

 

2°) on identifie : « y »= ? ;   « x » =  1200 € ; « a » = 25

 

)on remplace dans  (1) :         y  =  ( (100 - 25 ) /100 )1200 € 

 

)Calculs :

( (100 - 25 ) /100 )1200 €   = (( 75)/ 100) )1200 € 

                                             =   0,75 1200 € 

                                              = 900 € 

)Conclusion : le prix à payer après la remise de 25 %  est de 900 € 

 

On peut trouver le résultat  par une autre méthode :

  1° )on calcule la valeur de la remise avec la relation  y =  ( a /100) x

  2°) On pose : prix à payer =  prix affiché - remise

 


 

Deuxième type de calcul :on recherche le prix avant diminution

 

soit  l’égalité        :

 

 

y   =  ( )  x

 

 

 

 nous obtenons après transformation:                           x    =  y  /   ( )            (  lire  « ixe »  est égal à « hi grec »  divisé par

 

 

On conclut que « la somme » affichée  avant réduction était » de :          y  /   ( )  

 

Application :  Un Objet est vendu 900 F après une remise de 25 % quel était le prix demandé avant la remise ?

 

Résolution :

1°) On pose la relation y   =  ( )  x

 

2°) On identifie :  « y » = 900 €  (prix à payer après réduction)

« a » = 25 ; « x » = ?

 

3°) On remplace dans  (1) :

        900    =  (( 100 - 25 ) / 100 )  x

 

 4°) Calculs :

                       900 =  (75 /100)  x

                       900 = 0 ,75  x

           900  / 0, 75 =   x

                  1 200    =  x

5° ) Conclusion :

        Le prix avant remise était de 1 200

 

 

Il n’y a pas d ’autres  méthodes !
 

Troisième type de calcul : rechercher le % de diminution :

 

 soit  l’égalité:

 

  

 

 

y   =  ( )  x

 

 

                                          

 

nous obtenons après transformations successives:

               100y / x  = 100 - a  

     (100y / x ) + a   = 100 

                         a   = 100 - (100 y / x)

 

On conclut que « le taux de réduction » est de : = 100 - (100 y / x)

 

 

 

 Application :  Un Objet est vendu 900 €  après  « remise » ;Son prix avant remise était de 1200 €. Quelle est le pourcentage de remise ?

 

Résolution :

1°) On pose la relation y   =  ( )  x

 

2°) On identifie :  « y » = 900

  (prix à payer après réduction)

« a » = ?  ; « x » = 1200 €

 

3°) On remplace dans  (1) :

        900      =  (( 100 - a ) / 100 )  1200

 

 4°) Calculs :

                       900   / 1200  =  (100 - a )  /100)

                                     0 , 75 = (100 - a ) / 100

                         0, 75   100 =   100 - a

                                        75   =  100 - a

                                    a + 75 =  100

                                         a   =   100 - 75

                                         a   =   25

5° ) Conclusion :

       si « a » = 25 ; alors  « a% » = 25 %

 

        Le taux de la remise est de  25  %  

 

 

Autre méthode :

 

On calcule la valeur de la remise en « francs »

 

     1200 € - 900 €  =  300 €

On pose : y = (a /100 )  x ;     avec  « y » = 300 € ; « a » = ? ; « x » = 1200 €

 

( voir objectif  « a% »)

 

 Ce qui donne :  « a % »= 25 %

 

 

TRAVAUX   FORMATIFS :

 

CONTROLE :                   

 

1°) Soit une grandeur donnée  (un prix ; une masse ;....) ; on prévoie de la diminuer d’un « certain »   pourcentage  ( a%).Traduire de façon « mathématique » ce à quoi est  égale la nouvelle grandeur .

 

 

2° )   Mettre sous forme d’équation mathématique :

Nouveau Prix =  (100 / 100) Ancien Prix  -  (a / 100) Ancien Prix

 

avec « y » = NP ;  « x » = AP.

 

 

*+ +  Montrer  que nous avons  à faire une application linéaire !

    ++ Donner la forme de la représentation graphique  ( prendre « a %» = 15 % )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

Exercices :

On diminue « A = 300 »  de 3% ; exprimer en % ce que devient « A » après diminution.

Si l’on appelle « A » après diminution « A’ » ; quelle est la valeur de « A’ » ?

(montrer les deux méthodes (directe et indirecte ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problèmes :

 

CORRIGE

CONTROLE :                   

 

1°) Soit une grandeur donnée  (un prix ; une masse ;....) ; on prévoie de l ‘ augmenter  d’un « certain »   pourcentage  ( a%).Traduire de façon « mathématique » ce à quoi est  égale la nouvelle grandeur .

 

             y  =  ()  x  - () x

 

2° )   Mettre sous forme d’équation mathématique :

Nouveau Prix =  (100 / 100) Ancien Prix  - (a / 100) Ancien Prix

 

avec « y » = NP ;  « x » = AP.

 

y  =  ( )  x

 

*+ +  Montrer  que nous avons  à faire une application linéaire !

    ++ Donner la forme de la représentation graphique  ( prendre « a %» = 18,6 % )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

Exercices :

On augmente « A = 300 »  de 3% ; exprimer en % ce que devient « A » après augmentation.

Si l’on appelle « A’ »  A » après augmentation; quelle est la valeur de « A’ » ?

(montrer les deux méthodes (directe et indirecte ) 

vous ?

Résolution

Calcul direct :

1°) on pose : y   =  ( )  x

2°) on identifie : « y »= ? ;   « x » =  300 F ; « a » = 3

)on remplace dans  (1) :

       y  =  ( (100-3 ) /100 )300 F

)Calculs :

( (100-3 ) /100 )300 F  = (( 97)/ 100) )300 F

                                             =   0,97 300 F

                                              = 201 F

)Conclusion : le prix à payer après la diminution  de 3 %  est de 201F 

 

Autre méthode :

 

On calcule la valeur de la diminution en « francs »

 

     On pose : y = (a /100 )  x ;     avec  « y » = ? ; « a » = 3 ; « x » = 300 F

 

Donc : y = (3 /100 )  300

             y = 9

 

Ce qui donne :  300 - 9 = 201 francs

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

 

 

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