Niveau Vi et V

     DOSSIER : FONCTIONS LINEAIRES / Pourcentages   /  Objectif cours 46

Pré requis

Fractions équivalentes (égalité de deux fractions )

Multiplication de deux fractions

Multiplication d'une fraction  par un nombre

A propos de "a%"

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

 

Index        

Objectif précédent :

    le a%   

Objectif suivant :

Résumé sur les a% 

tableau       186

 

DOSSIER : Pourcentage et augmentation en a% 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

Sens du pourcentage  dos 192.

 

 

 

 

 

 

 

5°) FICHES à découvrir

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS : 

 

 

 

Objectif : Augmentation en a%

 

INFO :

             

Définition de l ’ Objectif : Savoir trouver la  Nouvelle  Grandeur  ( NG) d’une Grandeur  de Départ (GD) ayant subit une augmentation de a% .

 

         Cas de la vie courante :    sur une affiche  on lit :

 

       

 

 

à vendre :   1200 €   hors taxe  

 

 (taxe 25%)

 

 

Quelle  somme réelle doit - on verser ?

 

les réponses seront données à la fin du cours !

 

 

 

Pour trouver la  « Nouvelle Grandeur »(prix après augmentation) d’une « Grandeur  de Départ » (prix avant augmentation)  ayant subit une augmentation , il faut : 

         

n     que  la « Grandeur de Départ » (prix avant augmentation)  notée (GD) représente 100% de sa valeur de départ.

 

n     que l ‘ « augmentation»  (différence entre le prix avant augmentation et le prix après augmentation)  représente  « a% » de cette  « Grandeur de Départ » (prix avant augmentation).

 

On peut ainsi conclure  que :

                   Le prix à payer : c’est à dire La  Nouvelle Grandeur (NG) sera égale à 100 / 100  de la grandeur de départ  (GD) plus le « a % «  de cette Grandeur de Départ  ( GD) ..

 

Ce qui se traduit par l’égalité mathématique suivante :

 

(1)   NG  =  (100 / 100) GD  + (a / 100)  GD

 

 

si l ’on pose  NG = y    ;  GD = x   ; on remplace  dans la relation (1)  :

 

             y  =  ()  x  + () x

 

ce  qui  donne en factorisant :

 

Nous remarquons que les deux termes  ()  x  et  () x du second membre contiennent  comme « facteur commun » :  « x » 

 

si problème  SOS cours  :  Factoriser

 

 y  =  x (+)

 

A savoir :

en regroupant les termes dans la parenthèse , on obtient :

y  =  ( )  x

      

 

 

Traitement mathématique de l’équation :     y  =  ( )  x

 

( on appellera « traitement » les transformations possibles de l’égalité en vue de trouver « y » ; « a » ou « x ». )

 

Il faut se souvenir que :

 

 « y » est l’ensemble d’arrivée ; ( en économie on dira que c’est le prix à payer après augmentation ).

 

 « a » est la valeur de l’échantillon pour cent  de l’ensemble de départ.

« x » est  de l’ensemble de départ  (en économie ce serait le prix que l’on payerait avant (ou sans) augmentation.

 

 

Premier calcul : rechercher la valeur après augmentation

 

   On utilise l’égalité :       y   = ( )  x

 

On conclut que « le prix à payer après augmentation » est de : ( )  x

 

 

Application :Un objet   est à vendre à 1200 €  hors taxe ,la taxe est de  25%. Quelle somme payerez vous ?

Résolution

Calcul direct :

1°) on pose : y   =  ( )  x

2°) on identifie : « y »= ? ;   « x » =  1200 €  ; « a » = 25

3°)on remplace dans  (1) :

       y  =  ( (100+ 25 ) /100 )1200 €

4°) Calculs :

( (100 +25 ) /100 )1200 F  = (( 125)/ 100) )1200 €

                                             =   1,25 1200 €

                                              = 1500 €

5°) Conclusion : le prix à payer après l ’ augmentation  de 25 %  est de 1500 € 

 

 

 

On peut trouver le résultat  par une autre méthode :

 

 

1° )On calcule la valeur de la remise avec la relation  y =  ( a /100) x

 

2°) On pose : prix à payer =  prix affiché + la taxe (en € .)

 

Deuxième type de calcul :  On recherche le prix avant augmentation :

Soit l’égalité :         y   =  ( )  x

 

 

Nous obtenons après transformation:                           x    =  y  /  ( )  

 

On conclut que « la somme » affichée  avant réduction était » de :

        y  /  ( )  

 

Application : Un Objet est vendu toutes taxes  comprises  1500 €  ( de 25 %)  quel était son hors taxe  ( H.T.)  ?

 

Résolution :

1°) On pose la relation y   =  ( )  x

2°) On identifie : « y » = 1500 €   (prix à payer après réduction)

« a » = 25 ; « x » = ?

 

3°) On remplace dans  (1) :

        1500     =  (( 100 + 25 ) / 100 )  x

 4°) Calculs :

                      1500 €     =  (125 /100)  x

                       1500 €    =   1,25  x

              1500    / 1,25  =   x

                      1 200 €     =  x

5°) Conclusion :

   Le prix avant augmentation  ( dit aussi « hors taxe » ou noté  H.T.  ) était de 1 200 

 

 

Il n’y a pas d ’autres  méthodes !

 


 

Troisième type de calcul :rechercher le % d’augmentation :

 

soit  l’égalité :

                                             y  =  ( )  x

 

 

nous obtenons : après transformation successive :

               100y / x  = 100 + a  

     (100y / x ) - 100   =   a

                        

 

On conclut que « le taux de l’augmentation » est de : = (100 y / x) - 100

 

 

 

 Application :  Un Objet est vendu 1500 €  après  « augmentation » ;Son prix avant augmentation  était de 1200 € . Quelle est le pourcentage de l’ augmentation ?

 

Résolution :

1°) On pose la relation y   = ( )  x

 

2°) On identifie :  « y » = 1500 €   (prix à payer après augmentation)

« a » = ?  ; « x » = 1200 € 

3°) On remplace dans  (1) :

        1500     =  (( 100 +a ) / 100 )  1200 €

 

 4°) Calculs :

                       1500 €   / 1200 €  =  (100 +a )  /100)

                                     1,25 = (100 +a ) / 100

                       

                            1,25   100 =   100 + a

                                       125   =  100 + a

                                    125-100 =   a

                                         a   =   125 - 100

                                         a   =   25

5° ) Conclusion :

       si « a » = 25 ; alors  « a% » = 25 %

 

        Le taux de l ’ augmentation est de  25  %  

 

Autre méthode :

 

On calcule la valeur de l ’ augmentation  en « francs »

 

     1500 €  - 1200 €   =  300 €

On pose : y = (a / 100)  x ;     avec  « y » = 300 €  ; « a » = ? ; « x » = 1200 €

 

(voir objectif  « a% »)

 

Ce qui donne : « a % »= 25 %

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

CONTROLE :                   

 

1°) Soit une grandeur donnée  (un prix ; une masse ;....) ; on prévoit de l ‘ augmenter  d’un « certain »   pourcentage  ( a%).Traduire de façon « mathématique » ce à quoi est  égale la nouvelle grandeur .

 

 

2° )   Mettre sous la forme d’ une équation mathématique :

 

Nouveau Prix =  (100 / 100) Ancien Prix  + (a / 100) Ancien Prix

 

avec « y » = NP ;  « x » = A.P.

 

 

*+ +  Montrer  que nous avons  à faire une application linéaire !

    ++ Donner la forme de la représentation graphique  (prendre « a %» = 18,6 % )

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

Exercices :

On augmente « A = 300 »  de 3% ; exprimer en % ce que devient « A » après augmentation.

Si l’on appelle « A’ » ;« A » après augmentation; quelle est la valeur de « A’ » ?

Montrer les deux méthodes (directe et indirecte ) 

 

Résolution

 

INTERDISCIPLINARITE

 

Normal>