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Info :
Système d’équations (définition) |
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Compétences : -
Savoir transformer
l’équation a x + by + c = 0 en une
équation de la forme : y = …… |
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-
Savoir tracer une
droite d’équation y = a x + b dans un
repère orthonormé. |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
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DOSSIER : Fiches : Les systèmes d’équations. |
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Les
SYSTEMES d’ EQUATIONS A DEUX INCONNUES. |
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Fiche 2 : Equation du premier degré à deux inconnues. |
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Considérons l’équation « Sachant que « « En développant, vous obtenez : « Et après réduction des termes semblables , vous obtenez : « On ne change pas les solutions en divisant les deux membres par « 3 » ,
on obtient : « Cette équation est de la forme « |
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A retenir |
Définition : On appelle « équation du premier degré à deux
inconnues » toute équation qui
après transformation peut s’écrire
sous la forme « Avec (« a ; b ;
c » étant des nombres et « ( x ; y ) » le couple inconnu). |
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Remarque : Des équations telle que
« |
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Cas particuliers : |
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: : |
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Cas : |
Exemple |
Commentaire : |
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« |
« |
Toutes les solutions sont de la forme ( |
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« |
« |
Toutes les solutions sont de la forme ( |
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« |
« |
Tous les couples de nombres sont solutions. |
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« |
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Pas de solution. |
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Sauf dans le cas
où « Pour trouver des solutions, on procède
comme nous l’avons vu dans la leçon : fiche 1 .. |
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Fiche 3 : Représentation graphique des solutions d’une équation de
1er degré à deux inconnues. |
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Reprenons l’équation : « |
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Dans le plan muni d’un repère, placer les points dont voici les
coordonnées : |
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Parmi ces couples , quels sont ceux qui sont
solutions de l’équation donnée ? |
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Marquez en rouge les points correspondants. Vous constatez que ces points
sont ………………………………………………………….. ; Soit Tracez Donnez le couple de ses coordonnées : ( …. ;
…..) Ce couple est-il solution de l’équation ?..................... En est-il de même pour tous les points de C’est ce que nous allons démontrer : |
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Transformons l’écriture « En transposant , on obtient « En divisant les deux membres par
« 2 » , on obtient :
« |
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Les solutions de l’équation
« Or de « |
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Donc tous les points de la droite
On dit que |
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Fiche 4 : Système de deux équations du premier degré à deux inconnues . |
Info +++ |
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Voici deux équations du premier degré à deux inconnues. |
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« |
« |
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Chacune d’elles possède une infinité de solutions. IL se peut que ces deux équations aient des solutions communes , c’est ce que nous nous proposons de déterminer. |
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Procédure : chercher l’ensemble des solutions communes à ces deux
équations : On dit aussi : « résoudre le système d’équations :
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Résolution graphique de ce système d’équations : |
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Dans le plan muni d’un repère , dessinez les
représentations graphiques des équations : « Vous obtenez deux droites. Vous constatez que ces droites se coupent . Lisez les coordonnées du point d’intersection. Vous trouvez ? ………………. |
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Vérifiez par le calcul que ce couple est solution de chacune des
équations. Ce couple est alors solution du …………………………………………. |
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Démontrons que les droites sont sécantes. Ecrivez les équations de la forme
« |
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« |
Et |
« |
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Ont – elle le même coefficient directeur ? Donc les droites sont ……………sécantes
…………………………. Elles ont alors un seul point commun. Donc le système possède exactement
une solution. Cette solution est le
couple ( … ;
….) |
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Fiche 5 :
Simplification de l’écriture d’un système d’équations. |
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Avant de résoudre un système , il est
préférable d’en simplifier l’écriture. On obtient un système d’équations ayant les mêmes solutions que le
système donné en remplaçant chacune des équations par une équation écrite
sous forme simplifiée. |
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Exemple :
on vous demande de simplifier : |
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Simplification de ( 1 )
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Simplification de ( 2 )
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Le système donné s’écrit alors :
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Définition : On appelle système de deux équations du premier degré à deux inconnues
tout système qui après transformation
peut s’écrire sous la forme :
« |
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Fiche 6 : Système ayant une infinité de solutions. |
Info +++ sur la
résolution de .. |
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Considérons le système d’équations de couple inconnue ( x ; y )
Nous nous proposons de résoudre ce système. Soit « Tracez ces droites . |
image |
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Apparemment :
« C’est que nous allons démontrer : Droite « Droite « Vous constatez que « ·
Les équations (1) et ( 2 ) ont donc exactement les mêmes …………équations………. Le système donné se ramène à une seule équation. Il possède donc
……………………………… de solutions . |
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Remarque : En divisant les deux membres de
(1) par « En divisant les deux membres de
(2) par « Vous constatez que c’est la même
équation. On peut dire alors que les coefficients de (1)
sont proportionnels à ceux de (2) et vous pouvez écrire : |
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