COURS

Nous avons déjà vu comment on indique, par signes, l'addition, la soustraction, la multiplication division des quantités algébriques, et c'est l'emploi de  ces signes qui a donné naissance aux expressions littérales   que nous avons appelées monômes et polynômes . Mais ces quantités littérales elles-mêmes, avec leurs signes, leurs lettres, leurs coefficients et leurs exposants  sont soumises à leur tour aux quatre opérations fondamentales, d'après des règles qui constituent le calcul  algébrique.

Ces opérations rappellent en général mêmes idées qu'en arithmétique, et comportent mêmes définitions.

La soustraction  algébrique

régie :  Pour effectuer une soustraction algébri­que, II faut changer les signes de la quantité à sous­ traire et l'écrire à la suite de l'autre quantité.

Supposons que de a on veuille retrancher la quan­tité b — c; la soustraction sera effectuée en écrivant a — b +  c,

Démonstration : En effet, admettons d'abord qu'on retranche de a la quantité b  seulement, on posera alors  a — b; mais en soustrayant de a la quantité tout entière b  , on retranche plus qu'il ne faut, puisqu'on ne voulait diminuer   a   que de la différence qui existe entre   b  et  c ;   en sorte que le reste ci-dessus  a — b  est trop petit de toute la valeur de c. donc la véritable différence cherchée est a — b + c.

Cette règle s'applique à deux monômes.

Supposons que de a on veuille soustraire — b  ;  je dis qu'on aura a + b.  Pour le démontrer, il suffit  d'observer que la quantité a  est la même chose que a + b - b, et que si l'on retranche - b, il reste a + b.

Un exemple numérique rendra cette règle sensi­ble aux élèves :   soit à soustraire 7— 3 de 16, ce qui revient à diminuer 16 de 4  ( = 12); si l'on retranche  d'abord de 16 le nombre 7   tout entier, le reste 16 — 7  ( = 9)  sera évidemment   trop faible des trois unités qu'il fallait auparavant enlever à 7 ; donc la vraie différence est  16 — 7 + 3.

Dans la soustraction algébrique on peut, comme dans l'addition, rencontrer des termes semblables, et, dans ce cas, on en opérera la réduction comme nous l'avons indiqué plus haut.

Par exemple, si de 8 a²  — 4ab +  7 b ²   on veut soustraire  5a^s — 2ab + b² ,   on changera les signes de ce  dernier polynôme en l'écrivant au-dessous du premier, et l'on opérera la réduction, ce qui donnera

8 a²    — 4ab +  7 b ²  

5a ²     — 2ab +    b²

Différence ….

3 a  ²  — 2ab +  6 b²

Remarque.

 Au lieu d'effectuer la soustraction algébrique, on se contente quelquefois de l'indiquer en plaçant le polynôme à soustraire entre deux parenthèses et faisant précéder la première parenthèse du signe —   ainsi, pour exprimer que la quantité a² — 2a b + b² doit être retranchée du binôme m +  n , on écrit :  m + n — (a ² — 2ab +b² ).

·       Les élèves doivent bien se rappeler que le signe —, placé devant la parenthèse, affecte tous les termes qui  y  sont renfermés, et non pas le premier terme seulement.

C'est ainsi que l'expression a - (m — n) est la même chose que a — ( + m — n)  laquelle se réduit, en  effectuant l'opération, à  « a — m +  n ).

De même a — (— x + y) donne   a + x -  y.

1°) . Du polynôme   9 a +  3 b  - c      retrancher     7 a – 5 b 

2°) Effectuer la soustraction indiquée  5 a² - 2 a – ( 3 a² - 8 a – 4 )

3°) De 15m³ — 8 n ² +  5    ôter     9m³ + 4 n² — 7 n  - ¾

4°) De    - 6 x³ + 7 x² - ½ x       retrancher  5 x ³ + 1/3  x² + 9 x – 12 

5°) A quoi se réduit l'expression suivante : 

13 a ⁴ + 3 a ³ b – 7 a² b² + b ⁵  - (  7 a ⁴   + 12  a ³ b – 6 a² b² +  8  a b ³  - 5 )

6°) Prouver que l'expression 8 a ³ —  4a² b + 6 a b ² - 7 b ³ est égale à cette autre 8 a ³ — (4 a² b  —  6 a b ² + 7 b ³ ),

ou bien encore à :    8a³  - 4a² b  - ( - 6 a b² + 7 b ³ )  

Problèmes :

1° ) x exprimant l'âge actuel d'une personne, quel était son âge il y a  13 ans?

2°) La somme de deux quantités est   s  , la plus petite x ; exprimer la plus grande !  

3°) L'un des angles d'un triangle vaut a degrés, l'autre vaut b degrés; exprimer la valeur du troisième.

4°) On a mis dans un sac pendant 9 fois une somme a   et l'on en a retiré à cinq reprises différentes une somme b; exprimer ce qui reste dans ce sac.