Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n°10 / 25

 

 

Document ELEVE.

 

 

PROPORTIONNALITE.

 

 

 

 

APPLICATIONS

 

 

ECHELLE ; POURCENTAGE ; INDICE; ...

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°10

PROPORTIONNALITE applications : Echelle ; pourcentage ;indice .

CHAPITRES

1°)  Echelles

Info plus !!!

2°)  Pourcentages

Info plus !!!

3°)  Indice .

Info plus !!!

 

COURS

 

i 9

I.                      Les échelles

Info plus ! ! ! !

 

Définition :                                       Le rapport :  est appelé « l'échelle  du plan » .

 

L’échelle  permet de représenter « la réalité »  avec des dimensions différentes tout en conservant les mêmes proportions.

 

On note « Dp » dimension du plan et « Dr » la dimension réelle .

D'où la formule :    

 

Résultat du calcul :   L ' "échelle" peut être une fraction ou un nombre décimal.

 

+Activité 1 : Mesures sur un plan de maison

 

on donne  le plan d'une maison, l'échelle  est         (Lire : « un cinquantième »)           

 

On peut dire  que :                                       1 cm sur le plan représente 50 cm dans la réalité.

 

Remarque : la fraction 1/50 à pour valeur décimale : 0,02

 

             

Si l'on cherche à savoir la longueur  réelle de la cuisine dont la mesure sur le plan est 9 cm, on peut construire un tableau de proportionnalité.

 

Mesure "réelle" en cm.

50

x   (9 fois 50 )  = 450 cm

Mesure plan en cm

1

9

Le coefficient de proportionnalité "k" est égal à              ( ou  = 0,02 ) 

 

 

 On en déduit l’équation :              y =  x     ;     D p = Dr

 

 

+Activité 2 : Carte routière

Une carte routière est à l'échelle  1 : 50 000  (un cinquante - millième)

On dira que :  1 cm sur le plan représente 50 000 cm dans la réalité .

Rechercher par quelle mesure   sera représentée sur la carte  une portion de route droite longue de 3,5 km .

On  peut convertir  en cm :  3,5 km = 3 500 m =  350 000  cm

Ou l'on peut convertir 50 000 cm  en km  = 0,500 km

 

On peut établir le tableau :

( x)  Mesures réelles en cm

50 000

350 000

(y)  Mesure sur le plan en cm

1

"y"

On en déduit que :               Dp =     Dr         ou            Dp =  0,000 02 Dr

 

Le coefficient de proportionnalité est de  «1/  50 000 » ou de  «0,000 02 »        ;  soit    l ' équation   " y = 0,000 02  x "

 

- A partir du tableau  ci dessus, on peut effectuer le calcul de "x" :

 

Le produit en croix peut s'effecteur à partir  de la proportion :     =

 

 

Soit  " 50 000 y =  350 000 ;  donc  y  = 350 000 / 50 000 "   donc " y =  7  cm "

 

+Activité 3 : Agrandissement

 

Une plaque de métal  de 12 mm de long sur 6 mm de large  a été  dessinée sur plan, le rectangle mesure  6 cm de long et 3 cm de large. Quelle est l'échelle  utilisée ?

 

=Pour calculer l'échelle avec laquelle elle a été représentée, il faut tout d'abord effectuer les conversions pour que les mesures  soient exprimées  dans la même unité (en mm par exemple) :

 

Les dimensions  du  plan  en mm seront : 6 cm = 60 mm et 3 cm = 30 mm.

D’où le tableau :

Mesures réelles en mm

12 mm

6 mm

Mesures "plans"  en mm

60  mm

30 mm

 

L'échelle est le rapport   soit    ;

 

-   l'échelle utilisée pour  tracer le plan est de "5"

Remarques :

- La valeur du rapport  de l'échelle est supérieure à 1 ; il s'agit  donc d'un agrandissement.

 

-          Le coefficient de proportionnalité est égal au rapport   

-           

On établit la formule, à utiliser :     Dp =  5 Dr    ; (égalité de la forme     y = 5 x)

 

(Voir suite de la leçon : agrandissement ou réduction)

 

II.      Les pourcentages

Info plus 1!!!! ;     Info N°2 +++

 

iPré requis : multiplication d'une fraction par un nombre.

 

Le rapport de deux grandeurs exprimées dans la même unité peut s'écrire sous forme de pourcentage :

 

"je dépense 25 € sur 100 €  ; se traduit par "je dépense 25% de mes 100 €" ;              *

 

Les 25 % de mes 100 € se traduit par l'opération :  = =  = 25

 

Ainsi        25%   =   = 0,25

 

A retenir : Pour calculer  " a % " d'une grandeur A , ,on multiplie la grandeur A par   .

 

+Activité 1 : Rechercher l'existence  d'un "k"  en vu d'obtenir  un  "a % "

 

Lors d'une période de soldes , un commerçant a affiché , pour chaque article  , le prix habituel  et le montant de la réduction  accordée :

 

Marchandise

prix habituel 

réduction

Chemise

40 €

10 €

Pantalon

36 €

9 €

Veste

100 €

25 €

Polo

8 €

2 €

 

Pour vérifier qu'il y a « proportionnalité » , nous allons calculer le « coefficient »  multiplicateur  de chaque marchandise ; pour déduire qu'il existe un coefficient de proportionnalité "k" .

 

On établit le tableau :

Prix normal

40

36

100

8

Montant de la réduction

10

9

25

2

Le coefficient est égal au rapport :

 

Chemise  ;      Pantalon   ;        Veste     ;  Polo

 

On constate  que les coefficients obtenus  sont de même valeur : 0,25

 

Le coefficient de proportionnalité est donc k = 0,25

 

On peut écrire ce rapport  sous la forme  d'un pourcentage  pour signifier que la réduction  est de 25 € pour 100 €  ( voir la veste)

 

On écrira : la remise est  25% du prix habituel .

 

iUn pourcentage  permet de connaître la valeur qui correspond à 100 unités d'une grandeur .

 

Exemples :

 

 


.

 

 

 


+Activité 2 :    On veut retrouver une grandeur dont on connaît la valeur d’un certain pourcentage

 

On fait une remise de 20% sur un meuble. Calculer la valeur de ce meuble sachant que la valeur de ces 20 % représente 540 €.

 

i Si la valeur du meuble était de 100 € la remise serait de 20 €. 

 

Coût du meuble

100

"x"

Remise

20

540

 

D’où la proportion :   ; 

 

En résolvant cette équation il vient :  x =  = 2700

 

Donc le prix du meuble était de   2700 €

 

+Activité 3 : Rechercher le pourcentage d’une remise sur un article dont on connaît la valeur ainsi que la valeur de la remise.

 

Un article dont le prix de départ  est de  360 € est vendu avec une remise de 54 € sur le prix. Quelle serait la remise  pour 100 € marqué ?

 

On établit un tableau : 

Prix marqué

360

100

Remise

54

"x"

 

Proportion obtenue :      

 

En résolvant cette équation il vient :

 

Le pourcentage de remise sur le prix marqué est de 15 %

 

:

A RETENIR

On retiendra  que pour traiter un problème sur les pourcentages on peut utiliser  un tableau de proportionnalité

 

 

Base "100"

Réelle

Valeur

100

"x"

Remise

"a"

"y"

 

Pour remplir ce tableau :

- On repère les grandeurs proportionnelles  en transformant le pourcentage en une comparaison: à "100"  associe "a"  et à "x" associe "y"

- On construit et l'on remplit le tableau  afin d'obtenir la proportion : =

-On  transforme la proportion , pour obtenir un calcul à trois nombres et on effectue les calculs

 

 

 

 

i 9

III ) LES INDICES

Info plus !!!

 

Définition :

Un indice est un nombre abstrait  qui permet de chiffrer l'évolution d'un prix au cours du temps .L'indice est égale au rapport de la  nouvelle valeur Vj  par la valeur  d'origine  ( Vo)  multiplié par 100 (indice de base).

 

Ij/o  =  100

 

 

Un indice donne, à une époque " t i " ,  ( Lire «  temps initial »)  le prix d'un produit dont le prix aurait été de 100 €  à une époque "t o"  choisie comme base .

 

 

+Activité 1 :  En 2001, le kilogramme de tomates , est vendu 23,40 F ; en 2000 il était vendu  20 F ; à l'indice 100 ; l'année suivante le même kg de tomate est vendu 23,4 F. Trouver l'indice  d'augmentation .

 

L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

 

An 2000

An 2001

indice

100

"x"

Prix au kg

20

23,40

 

L'indice est égale au calcul :

Soit        I  =    =  117

 

L'indice du prix en 2001 est de 117 .

 

L'augmentation en pourcentage  du prix du kg de tomate est de :   =  17     soit 17%

+Activité 2

 

En l'an 2001, le kilogramme de tomates, est à l'indice 117 ; en 2000 il était à l'indice 100 ; Cela ne signifie pas qu'en  l'an 2000 le kilogramme de tomates valait 100 €  et qu'en 2001 il vaut 117 €.

 

Cela signifie que si le kg de tomates  valait 20 €  à l'indice 100 ; le kilogramme vaut en 2001   :    117  = 23,4 €

 

L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

 

An 2000

An 2001

Indice

100

117

Prix au kg

20

???? 

( R : 23,40)

 

iL'augmentation en pourcentage  du prix du kg de tomate est de :     =  17  soit 17%

x ( diminution ou augmentation).

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