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Le carré d’un nombre |
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ENVIRONNEMENT du dossier: |
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Index |
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
tableau . |
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DOSSIER : ce qu’il faut savoir pour comprendre : Le binôme de newton. La
découverte du binôme de Newton, par ses applications nombreuses,fit faire un pas
immense à la science algébrique. Cette formule est la base de la théorie générale des
équations et de la haute analyse. La seule application que nous en ferons
ici,ce sera d’en déduire la théorie de la formation des puissances et de
l’extraction des racines de tous les degrés, pour les quantités numériques
seulement. |
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TEST |
COURS |
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Corrigé Contrôle |
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Vocabulaire : on appelle « x+a » : racine
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COURS
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Point I ) Les puissances successives
d’un binôme , tel que « x + a »
, c'est-à-dire qu’une quantité composée de deux parties distinctes,sont
soumises à des lois importantes qui, une fois connues,permettent de former et
d’écrire sur le champ une puissance quelconque de ce binôme sans passer par les
puissances intermédiaires. La découverte de ces lois est due au célèbre
géomètre Newton ; aussi la formule générale qui les exprime porte – t-
elle le nom de développement du binôme de Newton.
Pour
rendre sensible ce théorème,il faut exécuter quelques –unes des puissances de
« x+a » par les moyens ordinaires, c'est-à-dire par les
multiplications successives.
Nous aurons d’abord le carré
que nous connaissons ( x + a ) ² = x² +
2 ax + a²
Ce
carré,multiplié par la racine « x + a » ,donnera le cube , ce dernier
,multiplié encore par « x + a » fournira la 4ème puissance, ensuite la 5ème
, etc …. ; comme on le voit ci après.
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( x + a ) ² |
x² + 2 ax + a² |
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(
facteur de : ……………………………….) |
x + a |
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+
a x² + 2 a² x
+ a 3 |
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x3 + 2 a x²
+ a² x |
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( x + a ) 3 = |
x3 +
3 a x2 + 3 a2 x + a 3 |
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( facteur
de : ……………………………….) |
x + a |
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a x3 + 3
a² x² + 3 a3 x + a 4 |
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x4 + 3 a x3 + 3
a² x² + a 3 x |
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( x + a ) 4 = |
x4 + 4 a x3 + 6
a2x2 + 4 a 3 x + a 4 |
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(
facteur de : ……………………………….) |
x +
a |
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ax4
+ 4 a² x3
+ 6 a3 x² +
4 a 4 x + a 5 |
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x5 + 4 a x4 + 6
a² x3 + 4 a 3 x² +
a 4x |
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( x + a ) 5 = |
x5 + 5 a x4 + 10 a² x3 + 10
a 3 x² + 5 a 4x + a 5 |
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Sans
aller plus loin, nous pouvons constater, dans ces développement, trois lois
évidentes:
1°)
Le nombre de termes dans chaque puissance est égal au degré de la puissance
augmenté d’une unité.
2°)Le
premier terme du développement est formé du premier terme « x » de la
racine , affecté du même exposant que celui de la puissance et n’ayant pour
coefficient que l’unité. Ce même terme « x » entre dans les termes
suivants avec des exposants qui diminuent successivement d’une unité
jusqu’au dernier terme du développement qui ne contient plus
« x ».
3°)
Le second terme « a » de la racine suit, dans le développement, une
marche inverse à celle du premier terme « x » ; ses exposants
augmentent successivement d’une unité jusqu’au dernier terme du développement
qui ne contient plus que « a » élevé au degré de la puissance formée,
sans autre coefficient que l’unité.
Ainsi
, dans la 6ème puissance de « x + a » , on aurait
x6 ;
a x5 ; a2 x4 ; a 3 x3 ;
a4 x2 ; a5 x; a6
A
vous de continuer ;.........................
Quant aux coefficients numériques qui affectent
les divers termes dans ces
développements, ils sont bien soumis aussi à une loi constante, mais elle n’est
point saisissable ici.
II ) Pour rendre évidente la loi de formation de
ces coefficients numériques, il faut non pas faire les puissances du même
binôme, mais former les produits successifs de facteurs binômes, tels que
« x+a » , « x + b », « x + c » , etc.……, lesquels
facteurs aient pour premier terme la même quantité « x », et dont les
second termes « a, b , c , etc.… » soient différents. Multiplions donc « x
+ a » par « x +b », ensuite le produit par « x+c » ,
ce second produit par le quatrième facteur « x+d », et ainsi de suite
, nous aurons, en ayant soin d’ordonner convenablement ces produits.
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(x + a) ( x + b) = |
x2 |
+ a |
x |
+
ab |
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|
+ b |
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Pour :
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(x + a) ( x + b) ( x + c) = |
x 3 |
+ a |
x 2 |
+
ab |
x |
+
abc |
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+ b |
|
+
ac |
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+ c |
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+
bc |
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Pour :
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(x + a) ( x + b) ( x + c) ( x + d) = |
x 4 |
+ a |
x 3 |
+
ab |
x2 |
+
abc |
x + abcd |
|
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+ b |
|
+
ac |
|
+
abd |
|
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|
+ c |
|
+
bc |
|
+
acd |
|
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|
+ d
|
|
+ad
|
|
+
bcd |
|
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|
+
bd |
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+ cd |
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Pour :
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(x +
a) ( x + b) ( x + c) ( x + d) ( x + f
) = |
x 5 |
+ a |
x 4 |
+
ab |
x3 |
+
abc |
x 2 |
+
abcd |
x + abcdf |
|
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|
+ b |
|
+
ac |
|
+
abd |
|
+
abcf |
|
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|
+ c |
|
+
ad |
|
+
acd |
|
+
abdf |
|
|
|
|
+ d
|
|
+a
f |
|
+
bcd |
|
+bcdf |
|
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|
|
+ f
|
|
+
bc |
|
+
abf |
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|
+
bd |
|
+
acf |
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|
+ b
f |
|
+
bcf |
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+
cd |
|
+
adf |
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+
cf |
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+
bdf |
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+
df |
|
+
cdf |
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Dans ces
divers produits, qu’on peut prolonger indéfiniment, le terne
« x »,commun aux facteurs binômes, suit la loi indiquée ci-dessus
pour les puissances de « x + a » ; ainsi, dans le cas de cinq
facteurs , nous avons « x5 », « x4 », « x3 », « x2 », « x1 », .Quant aux seconds termes « a,b,c,
…etc. » de ces facteurs,ils se groupent de diverses manières pour former,
dans les produits , les coefficients des puissances successives de
« x ». Or, d’après les notions du chapitre précédent, on
reconnaît :
- que
le coefficient du second terme
« x4 » est la somme de « a + b + c + d
+ f » des seconds termes des
facteurs binômes.
- que
le coefficient du troisième terme « x3 » est composé de la
somme de tous les produits différents que l’on peut former en combinant 2 à 2
les seconds termes « a , b , c ,
…. » des facteurs binômes.
- que
le coefficient du quatrième terme « x2 » est composé de la
somme de tous les produits différents que l’on peut former en combinant 3 à 3
les seconds termes « a , b , c ,
…. » ;
- que le coefficient du cinquième terme
« x » est la somme des produits différents de ces mêmes seconds
termes « a , b , c , …. » pris
4 à 4 ;
-
enfin ,que le dernier terme « abcdf » est le produit de tous les
seconds termes a,b ,c , etc.… On conclut de là que si l’on formait le produit
de six, sept ,etc.., et en général d’un nombre quelconque « m » de
facteurs binômes,les lois remarquées ci-dessus persisteraient constamment,c’est
à ire que la loi des exposants serait la même que pour les puissances de
« x + a » ; que le premier terme du produit n’aurait pas d’autre
coefficient que l’unité ;que le coefficient du second terme serait la somme des seconds
termes des facteurs binômes ;que le coefficient du troisième terme se
composerait de la somme des combinaisons deux à deux ( 2 à 2)de ces seconds
termes ;que le coefficient du quatrième terme serait formé de la somme des
combinaisons 3 à 3 de ces mêmes seconds termes, et ainsi de suite, de telle
sorte que le coefficient du terme placé au « n me » rang
serait la somme des combinaisons « n-1 » à « n-1 » des
seconds termes « a, b, c, , etc. » des facteurs binômes ; en fin
que le dernier terme se composerait du produit de tous ces seconds termes..
III) DEMONSTRATION : Pour démontrer,au reste , que ces lois sont générales
, il suffit de prouver que, si elles sont vraies pour le produit d’un nombre
donné de facteurs binômes,elles seront encore vraies en introduisant un facteur
de plus.
Supposons
donc qu’un nombre « m » de facteurs binômes « x + a »
, « x + b » , etc.
…..multipliés entre eux,aient donné un produit dans lequel existent les lois
ci-dessus ; ce produit aura la forme suivante :
[
G ] : x m + A x m-1 + B x m-2 + C x m-3 +.......................P ,
c’est à dire que dans cette
expression les coefficients, représentés par les lettres A , B , C ,
etc…, ont pour valeur
A
= a +
b + c + d + ……..
B = ab + ac + ad + ……………………..
C = abc + abd + bcd + ...................
.....................................................
Cela
posé , multiplions ce polynôme [ G ] par un nouveau facteur binôme « x + k » ,et cherchons quel sera
la composition du nouveau produit :
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X m |
+ A x m - 1 |
+ B x m - 2 |
C x m - 3 |
+ ……… |
P |
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(facteur
de ) |
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x |
+ K |
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[ H ] |
x m+1 |
+ A
x m |
+ B
x m - 1 |
C x
m - 2 |
+
……… |
P x |
|
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+ K
x m |
+ A
K x m-1 |
B K
x m-2 |
………… |
…….. |
PK |
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Soit [ H
] = x m+1 + ( A
+ K) x m + (
AK + B ) x m - 1 + (
BK + C) x m - 2 +
……………………+ P x + PK
Dans
ce produit [ H ] de
« m+1 » facteurs binômes,nous reconnaissons d’abord que la loi
des exposants de « x » est conservée, puisque le premier terme
« x m+1 » a pour exposant le nombre de facteurs employés,
et que dans les termes suivants les exposants de cette lettre vont en diminuant
d’une unité jusqu’au dernier terme qui ne contient plus « x ».
Quant
aux coefficients,il est facile de voir qu’ils ont conservé la même loi de
formation que dans le produit [ G ]
. En effet ,
Le
premier terme a pour coefficient l’unité.
Le
second terme ( A + K) x m ou
bien ( a + b + C + ….+K) x m
) a évidemment pour coefficient la somme « m + 1 » ,seconds
termes des facteurs binômes.
Le
coefficient du troisième terme ( AK + B
) x m - 1 se compose :
1° ) de B = ab + ac + bc + etc….. ou bien les combinaisons 2 à 2 des
« m » seconds termes relatifs au produit [G] ;
2°)et
de AK =
( a + b + c + …..) K qui est
égal (=) a K + b k + ck …….. , c'est-à-dire
des combinaisons 2 à 2 que forme le nouveau second terme « K » avec
les « m » anciens : donc, B + AK est la somme totale des
combinaisons 2 à 2 que peuvent former les « m+1 » seconds termes des
facteurs binômes qui composent le
produit [ H ] .
Le
coefficient du quatrième ( C + BK) xm-2 contient
C = abc + abd + bcd + …… combinaisons 3 à 3 des « m » anciens
seconds termes , plus BK = ( ab + ac + bd +……) K ,soit
= abK + acK + bd K+…..
combinaisons 3 à 3 que relatives au nouveau terme K , c'est-à-dire C + BK
renferme toutes les combinaisons 3 à 3 que peuvent donner les
« m+1 » seconds termes des binômes.
On
prouverait, par un raisonnement analogue, que tous les coefficients suivants
sont la somme des combinaisons successives 4 à 4 , 5 à 5 , 6 à 6 , stc, qu’on peut former avec
les seconds termes des « m+1 » facteurs binômes qui composent le
produit [H] .
Enfin
le dernier terme PK est le produit de ces « m+1 » secondes termes ,
puisque P représente le produit des « m » termes anciens.
Donc
, les lois reconnues dans le polynôme
[G] ,produit de « m » facteurs binômes, se sont conservées
dans le polynôme [H] ,produit qui contient un facteur de plus.
Or,ces
lois ont été vérifiées par expérience ( voir point II)
dans les produits de deux , de trois,,de quatre et de cinq facteurs
binômes :donc elles sont vraies pour six facteurs,pour sept,etc. , pour un
nombre quelconque ;donc,enfin,elles sont générales.
III
) Maintenant si nous observons que les
termes « a,b,c,etc. des facteurs
binômes employés sont quelconques,rien ne s’opposera à ce que nous admettions
que dans un certain cas ces seconds termes deviennent égaux,et cette égalité ne
détruira nullement les lois reconnues.
Mais
si l’on fait a = b = c = d = f = ……dans les produits du
point II , ces produits deviendront parfaitement identiques aux puissances
respectives du point I .En effet, dans le dernier,par
exemple, les cinq facteurs binômes x + a
, x + c, etc. .. seront égaux et l’on
aura :
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) ( x + f )
= ( x + a ) 5
D’un
autre côté, le coefficient du second terme
“ a + b + c + d + f ” deviendra
« 5 fois a » ou « 5a » .
Dans
le coefficient « ab + ac + ad+ ;;;;; » du troisième terme ,les
combinaisons deux à deux seront des carrés,et l’on aura 10 fois a² .
Les
combinaisons 3 à 3 du coefficient abc + abd+ + etc., du quatrième terme seront
égales chacune au cube « a3 »,et cette puissance se
trouvera répétée 10 fois encore….
De
même les combinaisons 4 à 4 : abcd + abcf + ………..du cinquième terme
deviendront 5 fois la quatrième
puissance de « a » ou « 5 a 4 » .
Enfin,
le dernier terme « abcdf » sera la
cinquième puissance de
« a » ou « a5 »
Donc,
la supposition « a = b = c = d=
f »……rend les produits du point II identiques aux puissances du point I
Point
IV : mais la démonstration du point III permet d’étendre ces relations à un nombre
quelconque « m » de facteurs et par suite à la nième
puissance du même binôme.
En
conséquence , si dans le produit [G] on suppose égaux les seconds termes « a = b = c = …etc. , il sera facile de
déterminer la valeur des coefficients A , B , C , etc. …. ; en
effet :
Le
coefficient A du second terme étant la somme des seconds termes « a + b +
c+… » ,deviendra égal au terme « a » répété « m » fois
, et l’on aura « A = ma ».
Pour
le coefficient B = ab + ac + bc+ ……., on aura B = a² + a² + …., c'est-à-dire le
carré « a² » répété autant de fois qu’il y a de combinaisons 2 à 2
dans « m » lettres ; or, nous avons vu dans le cours sur les combinaisons que le nombre de combinaisons 2 à 2c est
exprimé par la formule : 
on aura donc 
De
même les combinaisons 3 à 3 du coefficient « C » du quatrième terme
deviendrons chacune « a3 » ,et cette puissance sera
répétée autant de fois qu’il y a de combinaisons 3 à 3 dans « m »
lettres c'est-à-dire 
; donc 
Le
coefficient du terme suivant « D » serait « a4 »
multiplié par le nombre qui exprime les combinaisons 4 à 4 qu’on peut former
avec « m » lettres, et l’on aurait
et ainsi de suite ….
Enfin,le
dernier terme « P » sera la m ième puissance de
« a », et l’on aura « P = am «
En
conséquence,on aura pour la formule du binôme de newton,ou de la puissance m ième
d’un binôme « x + a », le développement ci-dessous ,de ( x + a)m
Ce
qui donne la formule [B]
La
composition de ce développement qui contient « m+1 »termes tous
positifs, est soumise à une loi si simple,que rien n’est plus facile que de
prolonger indéfiniment et d’écrire séparément un terme d’un rang donné.
En
effet,puisque les exposants de « x » vont en diminuant d’une unité
depuis le premier terme « xm » qui ne contient pas
« a » jusqu’au dernier terme « am » qui ne
contient pas de « x »,pendant que ceux de « a » vont en
augmentant,il en résulte que dans tous les termes intermédiaires les exposants
de « x » et de « a » sont complémentaires et que leur somme
est constamment égale à « m » ;
c’est ainsi que l’on a
« a²xm-2 « , « a3x m-3 »
, ..a5 xm-5 »
, et en général « an xm-n »
,donc, pour chaque terme,l’exposant de « a » fait connaître
l’exposant de « x », et réciproquement .
Mais
l’exposant de « a »,toujours moindre d’une unité que le nombre qui
marque le rang du terme que l’on considère,est égal au nombre des termes qui
précédent ; par conséquent,ls exposants d’un terme quelconque sont faciles
à déterminer :ainsi, dans le vingtième terme,on aura « a19
x m-19 ».
Quant
aux coefficients numériques marqués par
les expressions m ; 
; 
, etc ils sont faciles aussi à calculer,puisqu’ils désignent
les nombres respectifs des combinaisons 1 à 1 ; 2 à 2 ; 3 à
3 ;etc….de « m » lettres , et que pour un terme quelconque
l’espèce de ces combinaisons est marquée par l’exposant de « a » dans
ce terme ;d’après cela,le vingtième terme du développement sera :
En
résumé , en appelant « T » un terme quelconque du binôme de Newton,
et « n +1» son rang , on
aura :
écrit
autrement : 
(
soit l’écriture
« n ! » :
lire « n factoriel »)
Ce terme général sert à former chaque terme du
développement en faisant tour à tous « n = 1 ; 2 ; 3 ;
4 ;……. »
Il
est à remarquer que, dans le développement de la puissance d’un binôme,les deux
termes également éloignés des extrêmes ont le même coefficient numérique, car (nous avons vu dans le cours sur la théorie des combinaisons que les combinaisons 3 à 3, par exemple de
« m » lettres,sont en même nombre que les combinaisons
« m-3 » à « m-3 » des mêmes lettres .
Point
IV) Cas un terme est négatif.
Nous
avons supposé que le binôme « x+a » pris pour racine avait deux
termes positifs ; mais si l’un d’eux était négatif,
, « a » par exemple, et qu’on eût formé le développement de ( x
–a)m , il est évident que les signes des termes auraient été
alternativement positifs et négatifs, parce que les puissances impaires de
« a » conserveraient le signe « -« , on trouverait donc alors cette autre formule [ C]
Point
V : Applications des deux cas :
Au moyen des formules [B ] et
[C],on pourra obtenir toutes les puissances d’un binôme ;il suffira
de faire « m » égal au degré de cette puissance. Pour application ,
supposons qu’on demande la septième puissance de « x+a » et
« x-a » ; en posant « m=7 »,
la formule B donnera :
( x + a ) 7
= x7 + 7 a x6 +
21a²x5 + 35 a3x4 + 35 a4 x3
+ 21 a5 x²+ 7a6x+ a7
et
la formule C deviendra : ( x + a ) 7 = x7 - 7 a
x6 + 21a²x5 - 35 a3x4
+ 35 a4 x3 - 21 a5
x²+ 7a6x - a7
Point
VI : MAIS, dans les formules (la formule B ) et ( formule C) ,
les deux termes « x » et « a » de la racine représentent
des quantités quelconques ; on a donc le moyen de former la puissance
« m i ême » de toutes quantités algébriques composées de
deux parties.
Ainsi
,par exemple,si l’on demandait la quatrième puissance du binômes « 3a²b +
5b² », on ferait,
Dans
la formule B , « x = 3a²b » et
« a = 5b²» et « m=4 »
et elle deviendrait :
( 3
a²b+5b²)4 = ( 3a²b)4
+ 4 ( 5b²) (3a²b)3 + 6 ( 5b²)²(3a²b)²+ 4 ( 5b²)3(3a²b) +
(5b²)4
Ou
( 3
a²b+5b²)4 = 81 a8
b4 + 540 a6b5
+ 1350 a4 b6 + 1500 a² b7 + 625 b8
Point
VII .Parmi toutes les valeurs que peuvent prendre “x” et “a” dans la formule du
binôme,il est un cas remarquable,c’est celui où l’on a a « x =1 » et
« a= 1 ». Dans cette supposition, la formule « B » donne la
suivante [b] :
tandis
que la formule [C] devient [c]
L’égalité
[b] contient,dans son second membre,tous les coefficients du binôme ;ainsi,ce
membre se compose de la somme de toutes les combinaisons de « m »
lettres prises 1 à 1 ; 2à 2 ; 3 à 3 ;4 à 4 ;.etc….plus
l’unité :
Par
conséquent , cette somme est égale à 2m,c'est-à-dire à 2 élevé à la puissance
marquée par le degré du binôme.
L’égalité
[c] prouve que la somme des coefficients des termes de rend impairs est égale à
la somme des coefficients de rangs pairs.
Point
VIII. La découverte du binôme de Newton,
par ses applications nombreuses,fit faire un pas immense à la science algébrique.
Cette formule est la base de la théorie
générale des équations et de la haute analyse. La seule application que nous en
ferons ici,ce sera d’en déduire la théorie de la formation des puissances et de
l’extraction des racines de tous les degrés, pour les quantités numériques
seulement.
Point
IX : Extraire une racine mième d’un nombre N
Supposons
donc que l’on ait à extraire la racine mième d’un nombre
N ;voici comment il faudra raisonner :
Si le
nombre donné N est moindre que 10 m ou que l’unité suivi de
« m » zéros, sa racine mième sera plus petite que 10 et
n’aura qu’un seul chiffre à sa partie entière ;il faudra donc former
les mième puissances des neufs premiers nombres entiers
1 ;2 ;3 ……9 pour connaître cette racine ou sa partie entière.
Mais
dans le cas où N > 10 m ,la racine demandée contiendra plus d’un
chiffre et refermera,par conséquent, des unités et des dizaines .Si donc
on représente par « a » les
unités et par « x » les dizaines,cette racine sera « x+a »
, et l’on aura,d’après la formule du binôme :
N = ( x + a)m = xm + m a xm-1+.....+ am
C’est
à dire que le nombre N devra être considéré comme la réunion de
« m+1 » parties distinctes faciles à former séparément.
Ces
parties sont :
1°)
la mième puissance des dizaines de la racine ;
2°) »m »
fois la (m-1) ième puissance des dizaines multipliées par les unités ;
3°) etc
….Enfin, la mième puissance
des unités.
Cette
composition étant connue,nous pourrons déterminer successivement les divers chiffres
de la racine demandée. A cet effet nous dirons : le premier terme « xm »,ou
la mième puissance des dizaines de la racine , est d’un
ordre marqué par 10m ou par l’unité suivie de « m » zéros
et ne peut se trouver que dans la partie gauche du nombre N,qui est au-delà du mième rang à
compléter des unités simples ; nous serons donc conduits à séparer,sur la
droite du nombre donné N,une première tranche de « m » chiffres.
Après
cela, si la partie du nombre N restante à gauche est encore supérieure à 10 m,ce
sera une preuve que la racine cherchée contient des centaines, et alors il
faudra admettre que dans le développement ci-dessus « x » représente ces centaines ;mais,
dans le cas , « xm » ,ou la mième puissance des centaines,sera d’un ordre marqué par (100)m ou bien par l’unité suivie de « 2m »
zéros,et ne se trouvera que dans la partie du nombre N qui est au-delà du 2 mième
rang à compter des unités simples ;il faudra donc séparer,sur la
droite du nombre donné N,une seconde tranche de « m » chiffres.
Pour
une raison analogue,on prouvera qu’il faut diviser le nombre proposé en
tranches de « m » chiffres,jusqu’à ce que la partie restante à gauche
,prise isolément,soit inférieure à 10m , cette première tranche à
gauche pouvant d’ailleurs ne renfermer qu’un seul chiffre.
Après
cela,on forme la table des mième puissances des nombres 1 ;2 ;3 ;….9 ;
et l’on voit les deux puissances entre lesquelles tombe la première tranche à
gauche du nombre N ; la plus petite des deux fera connaître le premier
chiffre « x » de la racine demandée. Alors on retranchera « xm »
de cette première tranche du nombre N,et le reste R ,réuni aux tranches
suivantes,contiendra toutes les autres parties du développement, ou bien « maxm-1 »
+ etc. ,dans lequel « a » représente ce qui manque à la racine, après
le premier chiffre connu « x ».
Mais
dans la première partie « maxm-1 »
de ce reste, le produit « mxm-1 »par les plus hautes unités
de « a » est d’un ordre de grandeur qui n’est inférieur à « xm »que
d’un seul rang ;ainsi, ce produit se trouvera dans le nombre qu’on obtient
en écrivant à la suite du reste R le premier chiffre de la seconde tranche. Si
donc on divise ce dernier nombre par « mxm-1 »,c'est-à-dire
par « m » fois la (m-1)ième puissance du chiffre « x »
de la racine,on aura au quotient le second chiffre de cette racine.
Quand
ce second chiffre sera connu,on fera la (m)ième puissance du nombre
formé par les deux chiffres de la racine ;on la retranchera des deux
premières tranches à gauche de N,ce qui donnera un second reste R’ ; à côté de ce reste R’ , on écrira le premier chiffre de la
tranche suivante , et , en divisant le nombre obtenu par « m » fois
la (m-1)ième puissance du nombre formé par les deux
premiers chiffres de la racine,on obtiendra le troisième chiffre de cette
racine,et ainsi de suite.
Au
reste,pour éclaircir cette théorie,il faut l’appliquer à un cas particulier, et
à cet effet, il faudrait résoudre les exercices suivants.
1°)
Former la 9ème puissance de 2 x² - 3a
2°)Quel
serait le 37ème terme dans la formule du binôme (x+a)m ?
3°) A quel rang serait situé,dans le
développement du binôme 
4°) Faire la 6ème puissance de 5 a3
b + 3 a²
5°) A
l’aide du binôme de newton,calculer la somme,des combinaisons que l’on peut
fromer avec les 25 lettres de l’alphabet,en les prenant successivement 1 à 1 ;
2 à 2 ; 3 à 3 ;…..2( à 25.
Extraire
des racines :
Extraire
la racine cubique de 282 429 536 481 et déduire du binôme la théorie complète de
cette opération .
Extraire
la racine 7ème de 174 964 690
45900 000
Trouver
la racine 5ème de 436 à moins d’un millième.
Les
solutions raisonnées sont dans les cours pré requis..
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TRAVAUX
AUTO – FORMATIFS |
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CONTROLE:
Enoncé le binôme de Newton.
Refaire les
calculs du cours..