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 Géométrie :  DOSSIER : THALES   / 

Pré requis :

 

Les triangles semblables et homothétiques

Boule verte

L’homothétie

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier

INDEX  « warmaths »

Objectif précédent :

1.           Les pré requis : approches sur les projections.   Sphère metallique

 

2.         Fiche de travaux « propriétés… »(fin collège) .

Objectif suivant :

:1°)Interdisciplinarités Sphère metallique

2°) Cours de niveau V

3°) les triangles homothétiques.

4°) Fiche sur : la réciproque de Thalès…(collège)

Tableau       Sphère metallique

)Liste des objectif sur Thalès

Liste des cours de géométrie plane.

 

 

DOSSIER : THEOREME DE THALES

 

 

 

 

 

1.      Définitions de termes……..

2.    Théorèm:première approche  

3.     Théorème : deuxième approche.

4.    théorème :énoncé général.

5.    Comment écrire les rapports…..

6.    1ère forme particulière du théorème de Thalès  et sa réciproque appliquée au trapèze.

7.     2ème forme particulière du théo. De Thalès appliquée aux triangles

8.     Généralisation sur l’écriture des rapports.

9.    Exemples de calculs.

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité  Boule verte               

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

:Evaluation diplômante :Contrôle Continu : Thalès

 

 

COURS :

 

 

Ce qu ‘il faut savoir sur le théorème   : ce théorème  rend compte , en fait , de propriétés à peu prés évidente qu’ont des droites parallèles quand elles en coupent  deux ou plusieurs autres.

 

La notion fondamentale qui est en jeu est celle de « rapport » , et le théorème énonce l ’ égalité de deux rapports , donc met en jeu une « proportion ».

 

(Stella BARUK  , Dictionnaire des Mathématiques élémentaires ;ed. Seuil , page 1193)

THALES et le THEOREME de THALES

Qui est « THALES » ?

  Thalès  de Millet.

Il vécut environ 600 ans avant J.C.

 Il est né en Grèce au VIIième siècle avant J.C. . Mathématicien  et philosophe grec , on lui attribua la première mesure « exacte » du temps, il aurait apporté d ’ Egypte en Grèce les fondements de la géométrie. 

Travaillant sur les lignes  (droites, cercles ,angles ) il donna son point de départ à la géométrie pure :il fut le premier à démontrer que le diamètre d’un cercle partage celui-ci en deux parties égales , que tout angles inscrit dans un demi cercle est droit , que deux angles opposés par le sommet sont égaux .

On suppose qu’il fut le premier à bâtir des démonstrations élémentaires à partir d ’ axiomes.

 

 

Quelques définitions :

« Axiomes »  un axiome est un énoncé évident par lui même et donc non susceptible d’être démontré.

Exemples d’axiomes d ’ Euclide : 

On peut ajouter ou soustraire la même quantité à deux quantités égales .Les quantités obtenues sont alors égales.

Deux quantités égales à la même quantité sont égales entre elles.

 

Postulat : Le postulat est un principe premier , indémontrable ou non démontré , dont l’admission est nécessaire pour établir une démonstration.

 

Exemples de postulats d’Euclide.

 Par deux points  passe une droite.

Un cercle est déterminé par la connaissance de son centre et de son rayon.

Tous les angles droits sont égaux .

Par un point extérieur à une droite  , on peut mener une  et une seule  droite parallèle à cette droite.

 Définition de « Théorème » :   du latin theorema , du grec théôrêma ,  « ce qu ‘on peut contempler »

          d’après le Littré :

            « théorème » : terme didactique, consiste en « toute proposition qui a besoin d’une démonstration pour devenir  évidente »

Le théorème est un  énoncé « vrai » dans une théorie mathématique donnée .Leur vérité a été établie , ils sont à redémontrer.(et non pas « à démontrer »)

 

 

 

Première approche du
Théorème de Thalès 

 

Soit  3 droites parallèles ( D) , (D ’)  et ( D ’’) coupées par deux droites sécantes ( D) et (D’) ; nous comparons  les rapports :   et

Partageons AB en trois parties et BC en sept parties

tal2

Deuxième  approche du
Théorème de Thalès :

Soient AB et BC  tels que (1)

Les parallèles ( D) , (D ’)  et ( D ’’) menées par les points de division de AB et BC forment avec ( D) , (D ’)  et ( D ’’) un ensemble de parallèles équidistantes découpant (D’) des segments consécutifs égaux : 3 sur A’B’ et  7 sur B’C’ ,

tal1

(2) 

 

ainsi de (1) et (2)  nous montrons que

 

Dans cette proportion nous pouvons permuter les moyens : ( info CD ++  « moyen »)

   =   

 

On retiendra :

 

 

Trois parallèles découpent sur 2 sécantes des segments correspondants proportionnels .

tal6

 

 

 

Enoncé général : lorsque des droites sont parallèles , elles déterminent sur deux sécantes quelconques  des segments correspondants proportionnels.

 

Soient  AB et CD deux segments déterminés sur la  sécante Δ , A’B’ et C’ D’ les segments correspondants déterminés sur Δ ‘   ( figure ci contre ) par les parallèles AA’ , BB ’ , CC ‘ , DD’ . Supposons  que  .

Nous pouvons donc partager AB en 3 segments  et CD en 5 segments , de telle sorte que les 8 segments ainsi obtenus soient égaux . Par les points  de division, menons les parallèles à AA’ , BB ‘ …Ces parallèles partagent A’ B’ et C’ D’ en segments égaux. En effet , si des parallèles déterminent des segments égaux sur une sécante , elles déterminent des égaux sur toute autre sécante.

5g

 

Il y a 3 de ces segments  sur A’ B’ et 5 sur C’ D’ . D’où :    nous en concluons que   soit en permutant les moyens :  .

 

On démontrerait de même que  

 

 

 

Remarque :  Nous pouvons supposer que les sécantes Δ  et Δ ‘  sont orientées. Les mesures algébriques des vecteurs de même sens    ,   et  sont de même signe et celles des vecteurs   ,   et  le sont également.

 

Les rapports :  tels que   égaux en valeur absolue , ont donc le même signe et nous pouvons écrire :

 

 

 

 

 

 

 

 

Comment écrire les rapports égaux du théorème de THALES ( ?) :

 

Les deux termes de chaque rapport doivent contenir au numérateur  un segment de la première sécante et au dénominateur le segment correspondant de la seconde .. Si on considère les rapports algébriques , il faut  de plus, que les extrémités correspondantes de ces segments soient énoncées dans le même ordre.

 

Exemple : Dans la figure ci contre les sécantes Δ et Δ’  se coupent en « O » . Nous pouvons toujours supposer qu’une parallèle passe par « O ».

 

Sur  Δ :

nous notons ordonnés les points :AOMR

Sur  Δ’ : nous notons ordonnés les points :BOKP

Il est facile d’écrire le système suivant :

   ou  le système 

 

6g

 

En mettant sur une ligne les points de Δ  et au dessous les points correspondants de Δ ‘ (ou inversement) . Les segments de chaque rapport se correspondent ainsi verticalement ;Nous obtenons les deux suites de rapports égaux suivantes :

 

 

 

 

ou

 

 

 

 

 

Application au trapèze : Première forme particulière du théorème de Thalès.

 

Toutes parallèle aux bases d’un trapèze détermine sur les côtés non parallèles des segments proportionnels.

 

Soit les deux figures suivantes :

 

7g

8g

 

Quel que soit le cas proposé nous obtenons ainsi trois parallèles  AB , MN  et DC coupées par deux sécantes  AMD et  BNC. Donc :

 

 

 

Réciproque : lorsqu’une sécante détermine des segments proportionnels sur les côtés non parallèles d’un trapèze , elle est parallèle aux bases.

 

Soit le trapèze ci contre ABCD et un sécante MN qui coupe AD en M et BC en N de telle sorte que :

   (1)

 

Par le point   « M » menons la parallèle aux bases qui coupe BC en N’. D’après le théorème « direct »  nous avons :

 

   (2)

 

9g

 

En rapprochant les égalités  (1) et (2)   nous obtenons :

 

 

Cette égalité montre que « N » et « N’ » partagent le segment « BC » dans le même rapport algébrique. Ces deux points sont confondus car , il n’existe qu’un seul point divisant un segment dans un rapport algébrique donné.

 

Donc   MN est ^parallèle aux deux bases  AB et CD .

 

Remarque : sur la disposition des points : si l’on ne considère que  des rapports arithmétiques , il faut     dans cette réciproque vérifier que les points M , A et D d’une part  , N B et c d’autre part ont bien la même disposition.

 

CALCULS :   APPLICATION :

 

AB = 15 cm  , A’B’ = 12 cm ; B’C’ = 20 cm .  Calculer « x »

Solution : on pose :     on remplace :

Calculs : on transforme          x ´  12  =  15´ 20 

x  =    ;

x   =  25 cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Deuxième forme particulière du théorème de Thalès.

Application au triangle

 

Toute parallèle à l’un des cotés du triangle détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels .

 

Soit les 3 figures ci dessous :

 

 

Figure 1

Figure 2

Figure 3

 

10g

11g

12g

 

Si nous observons ces figures , nous avons  sur les sécantes   ADB et AEC :

Nous pouvons établir les rapports communs aux  3  :

                   (1)

 

 

Réciproque :  :  lorsqu ‘une sécante détermine des segments proportionnels sur deux côtés d’un triangle , elle est parallèle au troisième côté  .

 

Il suffit de reprendre la démonstration relative au trapèze  (@ info) en supposant « B » confondu avec « A » . Ainsi , lorsque dans un triangle ABC  (Figure 1ci dessus) on a :

     la droite  DE  est parallèle à BC .

 

Remarque ; on écrit souvent les relations du théorème de Thalès appliqué sous l’une  des trois formes

 

 

 

Chacune de ces proportions s’obtient en échangeant les (@)  moyens dans les proportions résultant des relations  (1) ci dessus.

 

 

On peut établir pour les 3 cas suivants :  les rapports ci dessous.

 

 

tal4

tal5

tal3

 

D’après le théorème  de Thalès :

 

 

      

=

 

EXEMPLES de  CALCULS

 

Exemple 1 :

 

 

 Connaissant AM= 7 cm ; MB = 5 cm et AN = 4 cm . Calculer  NC.

Le théorème de Thalès  appliqué au triangle nous donne :

Calculs : on transforme          x ´  5  =  4´ 7 

x  =    ;

x   =  5,6 cm

 

tal11

 

¨Exemple 2 :

 

 Connaissant AB = 13 mm ; MB = 3 mm ; AC = 40 mm , calculer  « x » et « y ».

 

tal10

 

Solution :

        =   

          ; transformation   x =  13  ´  2,5   ; x = 32,5 mm

 

         ; transformation   y  =  3  ´  2,5   ; y  = 7,5 mm

 

 

3°) Généralisation sur l’écriture des rapports.

 

 

Appliquons le théorème de Thalès 3 droites parallèles ( d) , (d ’)  et ( d ’’) coupées par deux droites sécantes ( D) et (D’) 

 

 

tal7

tal9

 

tal8

 

 

 

De même pour ( d) , (d ’)  et ( d ’’) coupées par deux droites sécantes ( D) et (D’) .

 

Et    cela implique que :

 

Mais on a aussi :    =   

 

  = 

 

 

 

 

 Des parallèles découpent  sur 2 sécantes des segments correspondants proportionnels .


 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

Enoncé le théorème de Thalès ; vous  vous aidez  d’un dessin pour « expliquer ».

 

 

 

Etablir les rapports .

 

tal3

tal4

tal5

EVALUATION

 

N°1 : Calculer « x »

tal13

N°2 :

Calculer « x »

tal12

N°3 :

Calculer « x »

tal16

N°4 :

Calculer « x »

tal17

N°5 : Calculer « x »  et « y »

tal15

N°6 : Calculer « x »  et « y »

tal14

 

 

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