Classe de troisième

Applications affines.

Voir programme classe de troisième.

III )  LECON  n° 24  Les applications affines   .( classe 3^ème)

Fiche 1 : Définition d’une application affine.

Fiche 2 : Représentation graphique d’une application affine.

Fiche 3 : Le bon choix.

Fiche 4 : Détermination d’une application affine.

Fiche 5 : Déplacement a vitesse constante.

Les applications affines   .( classe 3^ème)

Fiche 1 : Définition d’une application affine

Exemple 1 :Le calcul du prix d’une course en taxi se fait de la manière suivante :

On ajoute une somme fixe appelée « prise en charge » à une somme proportionnelle au nombre de kilomètres parcourus.

Sachant que la prise en charge est « 10 € » et le prix du km  « 4 € », exprimons , en fonction du nombre de kilomètres , le prix de la course.

Pour une course de « 3 km » , le prix ( en € » est    «  »  , c'est-à-dire :  « 22 € »

Pour une course de « 7 km » , le prix ( en € » est    «  »  , c'est-à-dire :  « 38 € »

Pour une course de «   km » , le prix ( en € » est    «  »  , c'est-à-dire :  «  »

«   » désignant le nombre de km , à tout nombre «  » , on fait correspondre le nombre obtenu en « multipliant «  » » par «  4 » puis en ajoutant « 10 » au résultat. 

En désignant par « p » ce procédé , on écrit schématiquement :

  ou encore :    ( lire : «  » ).

Ce qui signifie :   Par le procédé  «   » , tout nombre  «  » a pour image   «  »

Exemple :     ou encore         , ( lire : «  » ).

Par le procédé  «   » , le  nombre  «  » a pour image   «  »

Exemple 2 :

Un réservoir contient «  » d’eau .

On le vide par l’intermédiaire  d’un robinet dont le débit est  de «  » par minute.

En désignant «  » le temps  ( en  « min ») , exprimons en fonction du temps , la quantité d’eau restant dans le réservoir .

 On la désigne par «   »  .

( On considérera que l’on commence à vider le réservoir à l’instant «  » )

La quantité d’eau écoulée est proportionnelle au temps . (le débit est  de «  » par minute).

Au bout de une ( 1 ) minute , il s’est écoulé    d’eau . Il reste  (en )   «   =   294 »

Au bout de ( 8 ) minutes , il s’est écoulé    d’eau . Il reste  (en )   «   =   252 »

Au bout de «  »  minute , il s’est écoulé    d’eau . Il reste  (en )   «    »

On a alors «   »   qui  peut  s’ écrire    «   »  

Comme dans l’exemple 1 , à tout nombre «  » , on fait correspondre le nombre obtenu en multipliant «  » par  «  »  puis en ajoutant «   » au résultat .

De tels procédés  sont appelés  « fonctions affines »  ou  «  applications affines » .

A retenir :

Etant donné deux nombres «  » et «  » , le procédé qui a tout nombre  « » fait correspondre  le nombre «  » est appelé une application affine .

«  » désignant cette application , on écrit   «    »    ou encore    «    »   

Dans l’exemple 1 ,    .       Qui joue le rôle de «  » ? ………………et de «  » ? ………………….

Dans l’exemple 2 ,    .  Qui joue le rôle de «  » ? ………………et de «  » ? ………………….

Remarque 1 : Toute application linéaire est une application affine dans laquelle «  » 

Remarque 2 :  Dans le cas où  «  » l’application est appelée « application constante » .

Activité :

«  » désignant un nombre quelconque , dans chacun des cas ci-dessous , dites ( par « oui » ou « non » ) s’il s’agit d’une application affine.

oui

oui

non

oui

Fiche 2 : Représentation graphique d’une application affine

Nous reprenons l’exemple de la fiche 1 : « le prix d’une course de taxi » et faisons la représentation graphique du prix en fonction du nombre de « km ».

Nous avons choisi deux axes de coordonnées  , la représentation graphique est constituée par tous les points dont l’abscisse « x » est un nombre de kilomètres  et dont « y » est le prix de la course correspondante.

Pour effectuer ce graphique nous avons choisi quelques points .

Complétez le tableau ci- dessus :

1

2,5

4,2

6

7,6

8,5

10

14

20

26,8

34

40,4

44

50

Placez les points . Vous constatez qu’ils sont alignés.

Tracez la droite passant par ces points.

Ce que vous avez constaté , nous allons le démontrer.

Considérons  l’application affine      ;

Tout point de la représentation graphique de «  » a pour abscisse un nombre «  » quelconque et pour ordonnée le nombre «  » image de «  » par «».

« y » et « x » sont donc liés par la relation «  ».

Or , vous savez  ( voir fiche 2 : fiche équations de droites) que l’ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient «  » est une droite .    ( Cette droite a pour équation «  »)

Donc , les points de la représentation graphique sont bien alignés.

Remarque :

    Dans le cas du taxi , les points de la droite ne conviennent pas tous : en effet « x » , le nombre de « km » est forcément positif , et il ne peut pas être trop grand.

·       Ce que l’on vient de dire pour l’application         est valable pour toute application affine. On dira alors :

A retenir :

Etant donné deux nombres « mm et  « p » , la représentation graphique de l’application affine    est la droite ayant pour équation  

    Reprenons l’exemple  « 2 » de la fiche « 1 » :  « quantité d’eau restant dans le réservoir »  et faisons la représentation graphique du nombre de litres restants en fonction du temps ( en min). 

La représentation graphique cherchée  est une portion de la représentation graphique de l’application  affine     

C’est donc une portion de la droite d’équation   .

Elle est  limitée par les deux points suivants.

Au départ : pour «  », la contenance est de  .

Le point de coordonnée  ( 0 ; 300 ) est donc un point limite.

Le bassin est vide quand «   » .

La valeur correspondante  de «  » est  alors  « 50 »

L’autre point limite a donc pour coordonnées : (  50 ; 0 )

Placez ces deux points et tracez le segment les joignant :

C’est la représentation graphique cherchée.

Fiche 3 : Le bon choix

Un club de foot professionnel propose à ses supporters 2 options :

Option « A » : Prix de la place « 40 € »

Option « B » : Abonnement de « 300 € »  par an et prix de la place « 20 € ».

1°) Calculez la dépense annuelle dans les cas suivants :

a)     « 5 »  matchs dans l’année :

Dépense avec l’option A : « 200 € »

Dépense avec l’option B : « 400 € »

 300 + 100

b)     « 20 »  matchs dans l’année :

Dépense avec l’option A : « 800 € »

Dépense avec l’option B : « 700 € »

300 + 400

2°) En désignant par « » le nombre de matchs en un an , exprimez  en fonction de «  »

a)     la dépense annuelle avec l’option « A » , notée «   »    ,  «   »  .

b)     la dépense annuelle avec l’option « B » , notée «   »    ,  «   »  .   

3°) Faites la représentation graphique des applications affines : 

« f » et « g » .

Vérifiez par le calcul les résultats  du tracé ci-contre.

( en abscisse en € ; en ordonnée les matchs )

4°) En utilisant le graphique , répondez aux questions suivantes :

Pour combien de matchs le prix est-il le même pour les deux options ? ………………..

Quelle est suivant le nombres de matchs  annuels , l’option le plus avantageuse ?

…………………………………………………………………………………. 

Fiche 4 : Détermination d’une application affine.

En France , les températures s’expriment en degré Celsius ( noté ° C).

Aux USA , les températures s’expriment en degré Fahrenheit  ( noté ° F).

En désignant par «  » une température  en °C  et par «  » la même température en  °F , vous allez déterminer la fonction qui a «  » fait correspondre « y » sachant que :

«  Cette fonction est une application affine , à « 0°C »  correspond « 32 °F » et à   « 100°C » fait correspondre « 212 ° F ».

              Puisque «  » est l’image de «  » par une application affine , alors « » et « » sont liés par une relation de la forme « » . Le problème consiste à déterminer «  » et «  ».

Sachant que  «  x = 0 » ,  « y = 32 » , on peut écrire  «   »    d’où «   »

Sachant que  «  x = 100 » ,  « y = 212 » , on peut écrire  «   » ;

       d’où  terminez le calcul : «   »      d’où «  »

l’application affine cherchée est définie par «   »

·       Utilisez  ce résultat pour compléter le tableau ci-dessous.

Degré Celsius

0° C

100°C

37°C

-25°C

-40°C

Degré Fahrenheit

32°F

212°F

0°F

14°F

·       Faîte la représentation graphique ( sur une autre feuille ) et contrôlez par simple lecture les résultats que vous venez de trouver.

Fiche 5 : Déplacement à vitesse constante.

Info +++ sur la vitesse uniforme.

5 marcheurs : Guy , Hans , Jean , Karl et Luc se déplacent sur un chemin reliant deux villages « A » et « B » distant de 25 km.

Leur vitesse et constante , elle est la même pour tous : 5 km /h.

Exprimons en fonction du temps , la distance « A »  de chacun des marcheurs.

Désignons par «  »le temps en heure . L’origine des temps est «  ».

1°) Guy part à « » de «  » et va vers « ».

Appelons «  » sa distance à «  » en fonction du temps.

A «  », Guy a fait ……0…km , sa distance de « » ( en km) est ………0 km………

A «  »,     Guy a fait …… …km , sa distance de « » ( en km) est ………25 km………

On a alors       est  une application affine . ( Elle est même linéaire )

2°) Hans  part à « » de «  » et va vers « ».

Appelons «  » sa distance à «  » en fonction du temps.

A «  », Hans  a fait …0……km , sa distance de « » ( en km) est ……0………

A « »,  ( par exemple )   Hans  a marché  pendant   «  » c'est-à-dire  «  »   , sa distance de « » ( en km) est ……10  ………

A « »,   il  a marché  pendant   «  ». Sa distance  à « A »  ( en km ) est  « ».

On a alors       et en développant ,    

C’est une application affine dont le coefficient   « 5 » est la vitesse du marcheur.

3°) Jean part à « 0 h »  de « C » situé à « 10 km » de « A » et va en « B ».

Appelons « j (t) » sa distance à « A ».

A «  », Jean a fait ……0…km , sa distance de « » ( en km) est ………10 km………

A «  »,     Guy a fait …… …km , sa distance de « » ( en km) est ………10 + 5 t ………c'est-à-dire : ……………

On a alors       est-ce   une application affine ? .. ………………….

4°) Karl part à «  » de «  » et va en «  ».

Appelons «  » sa distance à «  » en fonction du temps.

A «  », Karl  a fait ……0…km , sa distance de « » ( en km) est ………25 km………

A «  »,     Karl a fait …… …km , sa distance de « » ( en km) est ………25 -  5 t ………c'est-à-dire : ……………

On a alors       est-ce   une application affine ? .. ………………….

Vous constatez  que le coefficient « -5 » de cette fonction est l’opposé de la vitesse du marcheur .

Expliquez  , verbalement , pourquoi …..

5°) Luc part à «  »  de «  »  situé à   «  »   de «  » et va vers «  » .

Appelons « » sa distance à «  ».

A «  » , Luc a fait   . ……km . , sa distance de «  » ( en km ) est . ………

A «  »,     Luc  a marché pendant «   ». IL a parcouru  ( en km) : «   » .

Sa distance à « A » ( en km ) est alors :  « 20 - ……………… »  Développez et réduisez …………………………………..

On a alors :  « = ……………………»  Est-ce une application affine ? ………………………….

Remarque :

IL est possible de démontrer que si un mobile se déplace  à « vitesse constante » , la distance parcourue est une application affine du temps.

·       Faîtes les représentations graphiques correspondantes. ( Ce sont des segments ).

On a déjà représenté le déplacement de « Hans ».

Lisez sur ce graphique  « heure » et  « lieu » de rencontre des marcheurs.

Compétez le tableau.

Marcheurs

Heure

Distance de « A »

Guy et Karl