NIVEAU : Formation Niveau V (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS : - Savoir

I ) Pré requis:

i9	Résoudre l’équation ..	:i
i9	Fonction et équation	:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index warmaths

Dossier précédent : L’équation produit. Représentations type de la fonction « y = x² » Info : voir la parabole.

Dossier suivant : Etude de la fonction « ax² » Info : voir la parabole.

Généralités : Le second degré (au niveau 5)

III ) LECON n° : ETUDE DE LA FONCTION :

1. Etude de la fonction 

2. Sens de variation .

3. Représentation graphique de la fonction : « y = x ² »

4. Axe de symétrie :

5. Tangente au sommet .

6. Résumé .

IV) INFORMATIONS «  formation leçon » :

Test	COURS	Travaux auto - formation.			Corrigé des travaux auto - formation.
		Contrôle	évaluation	INTERDISCIPLINARITE	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

V ) DEVOIRS ( écrits):

Devoir diagnostique L tests.	
Devoir Auto - formatif (intégré au cours)	
Devoir Formatif « Contrôle : savoir » ; (remédiation)	
Devoir Formatif «  Evaluation  savoir faire » (remédiation)	
Devoir sommatif.	
Devoir certificatif : (remédiation)	

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

	ETUDE DE LA FONCTION :
N°

COURS

Etude de la fonction : On peut calculer « y » pour toutes les valeurs de « x ». La fonction « y= x² » est donc définie quel que soit « x » , c'est-à-dire pour « - < x < +  » . On obtient , par exemple :

x

- 10

- 5

-2

-1

0

+1

+2

+5

+10

Y= x²

+100

+25

+4

+1

0

+1

+4

+25

+100

1°) On voit que : « y = x² » est positif pour « x0 » , nul pour « x=0 » . D’autre part à deux valeurs opposées «  x =  » correspond la même valeur «  y = ² »

2°) Si « x » devient infiniment grand en valeur absolue il en est de même de « y ». Pour obtenir « « y > 10^6 » par exemple , il suffit de prendre « > 10 ^3 ». Donc lorsque «  x  ; y +  »

Sens de variation .

La fonction «  y = x² » est croissante lorsque « x » est positif , décroissante lorsque « x » est négatif.

1°) Si « x1 » et « x2 » sont positifs , l’inégalité  « x1 <  x2 » entraîne « x1^2 » < x1  x2 »  et « x1  x2 < x2^2»  donc : « x1^2< x2^2» , soit « y1 < y2 » 2°) Si « x1 » et « x2 » sont négatifs , l’inégalité  « x1 <  x2 » entraîne « x1^2 » > x1  x2 »  et « x1  x2 > x2^2»  donc : « x1^2> x2^2» , soit « y1 > y2 » On en déduit que : · Un nombre positif et son carré varient dans le même sens . · Un nombre négatif et son carré varient en sens contraire . On peut donc établir le tableau de variation suivant :

Commentaire : · Lorsque « x » croît de « -  » à « 0 » ; « y » décroît de « +  »  à « 0 ». · Lorsque « x » croît de «0 » à « +  » à « 0 » , « y » croît de « 0 ».à « +  ». · La fonction « y = x² » admet pour « x = 0 » , un minimum égal à « 0 ».

Représentation graphique de la fonction : « y = x ² »

Dans un repère cartésien ortho normal ( rectangulaire) «  x O y » , reporter la position des points :

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

O

( +1 ; +1)

( + 2 ; +4 )

( + 3 ; + 9)

……….

( -1 ; +1)

( - 2 ; +4 )

( - 3 ; + 9)

( O ; O )

Joindre les points ( comme ci contre) par une courbe continue , nous obtenons la représentation graphique ci contre : La courbe obtenue ( fonction : y = x ² ) se nomme « parabole ». Cette courbe admet un axe de symétrie……

Remarque : en construisant la courbe à une plus grande échelle (ci contre) on met en évidence la forme arrondie de la courbe au voisinage de son sommet.

Axe de symétrie :

Les points « M » et « M’ » d’abscisse «  +  » et «  -  »ont même ordonnée «  y = ² » . Ils sont symétriques par rapport à « O y » . Sur la parabole ci-dessus Il en est ainsi de « A et A’ » , de «  B ; B’ » ; etc…. La droite « O y » est donc axe de symétrie de la parabole. Le point « O » situé sur l’axe de symétrie est le sommet de la parabole.

Tangente au sommet  :

Info :+++

(voir la figure ci contre ) Considérons la droite sécante passant par les points « O » et « M » ; joignant le point fixe « O » et un point variable « M » de coordonnées «  x =  » et « y= ² » . Le coefficient directeur de la droite « OM » est : «  =  » et la droite « OM a pour équation : «  y = x »

Lorsque le point « M » vient se confondre avec le point « O » , sont abscisse «  » tend vers zéro et l’équation de la droite « OM » devient égal à «  y = 0 » . Autrement dit , la position limite de la sécante « OM » est la droite « x x ’ » qui constitue la tangente en « O » à la parabole.

En résumé :

La courbe «  y = x² » est une parabole de sommet « O » , admettant «  y ‘ y » pour axe de symétrie de «  x x ‘ » pour tangente au sommet.

Nota : le tracé de la courbe reste semblable à elle-même lorsque l’on fait varier le module des vecteurs unitaires ( ; ) du repère cartésien « xOy », en particulier si on adopte des valeurs d’unités différentes sur les axes.

Leçon	Titre
N°	TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur ETUDE DE LA FONCTION : y = x²

TRAVAUX N° d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

A venir

TRAVAUX N° d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

Compléter le tableau suivant :

x	- 10	- 5	-2	-1	0	+1		+5
Y= x²							+4		+100