Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.
Fonctions (présentation )
Fonction : devoirs sur les pré requis

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

1°)Les dérivées.(sommaire).

2°) les études de fonction.

TITRE : COURS sur la Dérivée et L’ ETUDE de FONCTIONS NUMERIQUES - APPLICATIONS

Calcul de la dérivée pour déterminer les divers sens de variation de la fonction ( tableau de variation)

· Dérivée en un point .

· Interprétation graphique. (exemple) :

· l’équation de la tangente.

· Fonction dérivée d’une fonction.

· Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

Travaux ; devoirs			Corrigé du :
TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation

COURS

Pré requis : La tangente en un point d’une courbe

A) Dérivée en un point .

· Soit x₀ , un élément d’un intervalle ]a ;b[ . On considère une fonction , f définie sur un ensemble D contenant ]a ;b[ . Soit . On appelle h un réel , on appelle « dérivée « de f pour x = x₀ la limite ( si elle existe) du rapport : quand h tend vers 0 .

	lim
	h ® 0

Notation : y’₀ ou f ’ (x₀)

· Interprétation graphique :

Pour qu’une fonction y = f(x) admette en x₀ une dérivée, il faut et il suffit que la courbe représentative admette au point d’abscisse x₀ une tangent (non parallèle à y_0.)

Le coefficient directeur de cette tangente est égal à la dérivée de la fonction pour x = x₀

Equation de la tangente : y = f ’ (x₀) . ( x – x₀) + f (x₀)

Remarque : f ’ (x₀) est la dérivée……

etud_fonct_tablo_var005

Exemple : Soit la fonction f(x) = 5 x² + 7 x + 4

Questions :

· Trouver la dérivée au point x_O = 2

· Déterminer l’équation de la tangente.

Calcul de la dérivée au point x_O = 2
	Calcul de f (x _O) pour x _O = 2 ; · f (2) = 5 (2 )² + 7 (2) + 4 · Soit 20 + 14 + 4 = 38	Calculatrice : taper : [ 5 (2 )² ] + [ + 7 (2)] + ( + 4)

	Calcul de f (x _O + h ) ; avec x _O = 2 · f (2 + h ) = 5 (2 + h )² + 7 (2 + h ) + 4	(2 + h )² = (2 + h ) (2 + h ) = 4 + 2 h + 2 h + h² = 4 + 4 h + h² = 5 ( 4 + 4 h + h² ) = 20 + 20 h + 5 h²
	· f (2 + h ) = 20 + 20 h + 5 h² + 14 + 7 h + 4 = 5 h² +27 h + 38

	Calcul de f (x _O + h ) - f (x _O) = · = 5 h² +27 h + 38 - 38 · = 5 h² +27 h

	Calcul de

Ainsi :

	lim	5 h + 27		= 27
	h ® 0

Lire : la limite de 5 h + 27 quand « h » tend vers 0 est égale à « 27 »

· l’équation de la tangente.

y = 27 ( x – 2 ) + 38

= 27 x – 54 +38

y = 27 x – 16

Nota : « dérivée et continuité » Si la fonction « f » admet une dérivée en x _O ( la réciproque n’est pas vraie )

· Fonction dérivée d’une fonction.

Soit « f » une fonction admettant une dérivée « f ’ (x_O) » pour toute valeur x_O d’un intervalle ] a , b [ ; la fonction qui a tout x_O de ] a , b [ associe le nombre dérivée « f’ (x_O) » s’appelle « fonction dérivée ».

Notation : « f ’»

Par abus de langage, on dit souvent « dérivée » au lieu de « fonction dérivée »

Info ++ : résumé dans un tableau des formules ..

Info +sur le calcul des dérivées++

Valeur de la fonction « f ( x) » ;

y =

Valeur de la fonction dérivée

« f ‘( x) » ; y ‘ =

y =C (constante)

y ‘ = 0

y = x

y ‘ = 1

y = x²

y ‘ = 2 x

y = x³

y ‘ = 3 x²

y = x ⁿ ; ( n N *)

y ‘ = n x ^n-1

y = ( x 0 )

y ‘ =

y = ( x > 0 ; N* )

y ‘ =

y = ( x > 0 )

y ‘ =

Info +++

Fonction ( y )

Dérivée ( y’)

y = u + v

y ‘ = u ’ + v ‘

y = u + v + w

y ‘ = u ’ + v ‘ + w ’

y = k u ( k : constante)

y ‘ = k u ’

y = u v

y ‘ = u ‘ v + u v ‘

y = ( v (x) 0 )

y ‘ =

y = u ²

y ‘ = 2 u . u’

y =u ³

y ‘ = 3 u ² . u’

y = ; ( u (x) 0 )

y ‘ =

y = ; ( u (x) 0 )

y ‘ =

Autres dérivées.

Fonction ; « f ( x) »

Dérivée : « f ‘( x) »

( info ++)

y =Sin x

Cos x

y =Cos x

- sin x

y = Tan . x

Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

N°1

« f ( x) » = 3 x ⁴ + 2 x² + 3 x + 4

« f ‘( x) » = 4 fois 3 ^4-1 + 2 fois 2 x ^2-1 + 3

f ‘( x) = 12 x ³ + x + 3

N°2

« f ( x) » = ( x – 1 ) ³ ( x + 2 ) ⁴ ;

est de la forme u . v = u ‘ v + u v ‘

Calcul de « u ‘ »

U = ( x – 1 ) ³ , ou U = ³ ; avec = ( x – 1 )

Donc u’ = 3 ² u’ = 3 ( x – 1 ) ² ; parce que ’ = 1

Calcul de « v ‘ »

V = ( x + 2 ) ⁴ ; ou V = v ⁴ avec v = x + 2

Donc V ’ = 4 v³ v ’ = 4 ( x + 2 ) ³ ; car v ’ = 1

On a alors : y ‘ = f ‘( x) = U V’ + V U’

U V’ + V U’ = ( x – 1 ) ³ fois 4 ( x + 2 ) ³ + ( x + 2 ) ⁴ fois 3 ( x – 1 ) ²

= ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) ³ [ 4 ( x – 1 ) + 3 ( x + 2 ) ]

y ‘ = ( x – 1 ) ² ( x + 2 ) ³ ( 7 x + 2 )

· Signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

Suivant le signe de la dérivée, on peut déterminer le sens de variation d’une fonction :

- Si la dérivée est nulle , la fonction est constante.

- Si la dérivée est positive dans un intervalle ] a , b [ , la fonction est croissante dans cet intervalle.

- Si la dérivée est négative dans un intervalle ] a , b [ , la fonction est décroissante dans cet intervalle.

Exemple 1 : Construire le tableau de variation de la fonction f(x) =

Info : f(x) = est de la forme ; donc la dérivée est de la forme : f ‘ (x) =

Calculs des dérivées des termes u et v :, u’ = 2 ; et v ’ = -1

Calcul de la dérivée de la fonction :

f ‘ (x) =

5 > 0 et ( 1- x )² 0 f ‘ (x) > 0

91001

Exemple 2 : Construire le tableau de variation de la fonction f (x) = - x ³ + 3 x – 2

Calcul de la dérivée de la fonction : f ‘ (x) = - 3 x² + 3 ; f ‘ (x) est de la forme ax² + bx + c ; nous devons calculer le discriminant ( ) rechercher les racines…….