Dérivées: application à l'étude d'une fonction

I ) Déterminer , s’il y a lieu, les valeurs de la variable, pour lesquelles la fonction n’est pas définie, c’est à dire n’est pas calculable ; ces valeurs sont dites « valeurs de discontinuité » .

A ce sujet se rappeler que : (deux cas souvent rencontrer)

si f(x) comporte un radical d’indice pair ( exemple : ; les valeurs de « x » négatives sont exclues) « y » n’est pas calculable pour les valeurs de « x » qui rendent négative l’expression sous ce radical.

Si f (x) est un quotient de fonctions de « x » , de la forme , « y » n’est pas calculable pour les valeurs de « x » qui annulent « v » sans annuler « u ». pour des valeurs infiniment voisines , en plus ( +ξ) ou en moins (- ξ) , d’une valeur de discontinuité la fonction « y = » a une valeur infiniment grande ( ∞ ) , le signe reste à déterminer .

II ) Calculer les valeurs remarquables suivantes :

- « y » pour « x = 0 » , les termes indépendants de « x » subsistent seuls, dans le cas d’une fonction algébrique.

- « x » pour « y = 0 » . On résout algébriquement ou graphiquement l’équation f (x) = 0

- en cas d’absence d’intervalle fixé : « y » pour « x = », lorsqu’ une fonction « y = f(x) s’exprime par un polynôme entier, ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la variable, elle est équivalente à son terme du plus haut degré pour « x = »,, soit , par exemple, la fonction : y = a x³ + b x² + c x + d

Elle peut s’écrire :

Quand « x » tend vers les fractions tendent vers zéro, l’expression entre parenthèse tend vers « 1 », « y » devient équivalente à son terme du plus haut degré « ax³ ».

Si pour « x = x₁ » , y = se présente sous l’une des formes indéterminées ou il est possible de trouver une autre fraction équivalente à et qui pour « x = x₁ » ne prend plus la valeur indéterminée ou mais prend au contraire une valeur déterminée finie , infiniment grande ou infiniment petite, appelée « vraie valeur » de pour « x = x₁ ».

Quand on a trouvé la vraie valeur de on dit « qu’on a levé l’indétermination ».A cet effet, plusieurs méthodes sont utilisées : un moyen pratique est l’application de la « règle de l’ Hopital » , que nous n’énonçons dans ce document.

« lorsqu’un quotient de fonction se présente, pour une certaine valeur de la variable, sous des formes indéterminées ou on obtient sa « vraie valeur » en substituant à , le quotient des dérivées des deux termes ou ou jusqu’à ce que l’indétermination se trouve levée.

Plus simplement : dans ce cas où les deux fonctions « u » et « v » étant des polynômes entiers l’indétermination a lieu pour « x = »,, on lève cette indétermination en remplaçant « u » et « v » par leur terme du plus haut degré, par rapport à la variable, puis on simplifie . La vraie valeur de « y » apparaît alors, égale à une constante si « u » et « v » sont du même degré par rapport à « x » , si le degré de « u » est supérieur au degré de « v » , à si le degré de « u » est inférieur au degré de « v ».

III ) Calculer la dérivée « y’ » puis les valeurs de « x » annulant « y’ ». Ces valeurs correspondent à un maximum ou à un minimum pour la fonction ou à un point d’inflexion , à tangente parallèle à l’axe des « x », pour la courbe représentative. La discrimination de ces différents cas se fera soit en utilisant la dérivée seconde , soit plus couramment , en étudiant le signe de « y’ ». Le signe de « y’ » s’obtiendra en résolvant les inégalités « y’ > 0 » et « y’< 0 » soit directement , en remplaçant dans cette dérivée la variable par des valeurs très voisines , de part et d’autre de cette valeur d’annulation.

On peut résumé les principaux cas par le tableau suivant :

On a :	3 Cas :	Conditions	Conséquences
y = 0	Cas 1	Si « y’ passe de + à - »	« y » est le maximum.
		et « y’’< 0 »
	Cas 2	Si « y’ passe de - à + »	« y » est le minimum.
		et « y’’> 0 »
	Cas 3	Si « y’ ne change pas de signe »	« inflexion » la tangente à la courbe au point d’inflexion est parallèle à l’axe des « x ».
		Et « y’’= 0 »

Départ :

2 possibilités

Alors :

« y » est définie

« y ’ » présente une discontinuité

« y’ » ne change pas de signe de part et d’autre de la valeur de discontinuité .

« inflexion » - la tangente à la courbe représentative au point d’inflexion est parallèle à l’axe des « y ».

« y’ » change de signe de part et d’autre de sa valeur de discontinuité.

« Rebroussement » - la tangente à la courbe représentative au point de rebroussement est parallèle à l’axe des « y ».

IV- On résume ces résultats dans un tableau de valeurs auquel on fait correspondre une courbe représentative.

Recherche des maxima et des minima :

La recherche des maxima et des minima d’une fonction ne nécessite pas l’étude complète de cette fonction mais seulement l’application de la règle suivante :

Pour trouver les maxima et les minima d’une fonction « y = f (x) » dans un intervalle où elle est continue , ainsi que sa dérivée première « y ’ » , on pose « y ’ = 0 » et on résout l’équation ainsi obtenue. Les solutions de cette équation sont les seules valeurs de la variable pour lesquelles « y » soit maximum ou minimum.

Si pour une de ces valeurs , « y ’ » de positive devient négative , « y » est maximum , si « y’ » de négative devient positive , « y » est minimum.

Si « y ’ » s’annule mais ne change pas de signe « y » n’est ni maximum , ni minimum.

On peut également faire la discrimination entre le maximum et le minimum en considérant le signe de la dérivée seconde « y ’’ »

« y’’ » est négative pour une valeur de la variable correspondant à un maximum de « y » , elle est positive pour une valeur de la variable correspondant à un minimum de « y ».

(voir des exemples)

Asymptote :

Les asymptotes aux branches de la courbe représentative sont de trois sortes :

« asymptote » verticale , asymptote horizontale ; asymptote oblique.

En principe :

(1) si la fonction est discontinue pour « x = a » il y a une asymptote verticale parallèle à « y y’ » d’équation « x = a ».

(2) Si la fonction a pour vraie grandeur « y =b » pour « x = » , il y a une asymptote horizontale parallèle à « x x’ » d’équation « y = b ».

(3) Cliquer ici pour savoir comment on détermine une asymptote oblique.

CONTROLE : aucun travail de prévu.

Savoir énoncer les règles.

EVALUATION: